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九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

退出. 九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 ). 3.2 特殊的平行四边形 (2) 菱形 , 正方形的性质及判定. 有一个角 是直角. 有一个角 是直角. 矩形. 平行四边形. 有一组 邻边相等. 有一组 邻边相等. 两组对边分别平行. 菱形. 四边形. 等腰梯形. 一组对边平行另一组对边不平行. 正方形. 梯形. 直角梯形. 两腰相等. 腰与底垂直. 四边形之间的关系. 四边形之间有何关系？. 特殊的平行四边形之间呢？. 还记得它们与平行四边形的关系吗 ?. 能用一张图来表示它们之间的关系吗 ?. A. A.

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九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

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  1. 退出

  2. 九年级数学(上)第三章 证明(三) 3.2 特殊的平行四边形(2) 菱形,正方形的性质及判定

  3. 有一个角 是直角 有一个角 是直角 矩形 平行四边形 有一组 邻边相等 有一组 邻边相等 两组对边分别平行 菱形 四边形 等腰梯形 一组对边平行另一组对边不平行 正方形 梯形 直角梯形 两腰相等 腰与底垂直 四边形之间的关系 • 四边形之间有何关系？ • 特殊的平行四边形之间呢？ • 还记得它们与平行四边形的关系吗? • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?

  4. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 驶向胜利的彼岸 矩形的性质,推论 • 定理:矩形的四个角都是直角. • ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 定理:矩形的两条对角线相等. • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. ∴AC=BD. 推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,

  5. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 驶向胜利的彼岸 矩形的判定,直角三角形的判定 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. • ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 在△ABC中, ∵AD=BD=CD, ∴ ∠ACB=900.

  6. D 1 我思,我进步 A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的性质 • 定理:菱形的四条边都相等. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. • 分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD.

  7. 我思,我进步 2 D O A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的性质 • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O. 求证: (1).AC⊥BD; (2).AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. • 分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明. 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  8. 例题欣赏 A E B D C 菱形性质的应用 • 已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900, ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积

  9. D 1 我思,我进步 A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的判定 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.. 求证:四边形ABCD是菱形. • 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.

  10. 2 我思,我进步 D O A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的判定 • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形. • 分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可. • 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC. ∴四边形ABCD是菱形.

  11. 我思,我进步 1 A D B C 驶向胜利的彼岸 正方形的性质 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • 已知:四边形ABCD是正方形. • 求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. • (2)AB=BC=CD=DA. • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证. • 证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABCD是矩形,也是菱形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900, AB=BC=CD=DA.

  12. 我思,我进步 2 A D O B C 正方形的性质 • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • 已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. • 求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证. • 证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. ∴AO=CO,BO=DO; AC=BD; AC⊥BD; AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  13. 我思,我进步 1 A D B C 驶向胜利的彼岸 正方形的判定 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. • 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.

  14. 我思,我进步 2 A D O B C 驶向胜利的彼岸 正方形的判定 • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. • 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.

  15. 我思,我进步 3 A D O B C 正方形的判定 • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可. • 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形.

  16. 例题欣赏 如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC交AB于M，交CB于的延长线于F， 求证：AB、EF互相平分。 • 思路点拨：连接AF、BE、BD，欲证AB、EF互相平分，只要证四边形AFBE为平行四边形即可，为此，只要证AE=BF即可。 证明：连接AF、BE、BD ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD 又∵EF⊥AC ∴EF//BD ∴ED=AE 又∵ED//FB ∴FB=AE ∴四边形FBDE是平行四边形 又∵FB//AE ∴FD=ED ∴四边形AFBE是平行四边形 又∵E是AD的中点 ∴AB、EF互相平分

  17. D A C D B O A C B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 菱形的性质 • 定理:菱形的四条边都相等. • ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. • ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  18. D A C D B O A C B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 菱形的判定 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. • 在四边形ABCD中, • ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形. • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形.

  19. A A D D O B B C C 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 正方形的性质 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA. • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  20. A A D D O B B C C 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 正方形的判定 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. • ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.

  21. D O A C P A D ◎ ◎ ◎ B 独立 作业 ◎ Q B ◎ C ◎ P90习题3.5 2、3题 2.菱形的面积等于其 对角线乘积的一半. 3、已知，如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上,且PD=QC.证明:两条直路BP=AQ,且BP⊥AQ.

  22. 下课了! 再 见 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.

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