第四章随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 • 数学期望 • 随机变量函数的数学期望 • 方差 • 协方差和相关系数 • 矩

4.1 数学期望 一.数学期望的定义数学期望——描述随机变量取值的平均特征例1 袋中有5个大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5。从中任取三球，以随机变量表示取出的三个球中的最大号码，求的数学期望。解：按题意知，的分布律为:

容易知道，各取值对应的概率的大小，正好就是它对均值影响的大小，因此要以概率为权来求各取值的加权平均值，即容易知道，各取值对应的概率的大小，正好就是它对均值影响的大小，因此要以概率为权来求各取值的加权平均值，即

定义 1. 设离散型随机变量的分布律为 若级数绝对收敛，则的数学期望为：即的数学期望等于它的各取值与其相应概率的乘积之和。

定义 2. 设连续型随机变量的密度函数为 若积分绝对收敛，则的数学期望为：即的数学期望等于它的取值与其相应概率的乘积之和，不过，此处的“和”是以“微分的无限积累—积分”的形式出现的。注意：不论随机变量是离散型的还是连续型的，它的数学期望总是由其概率分布所唯一确定。

例1. 掷一颗均匀的骰子，以 表示掷得的点数，求的数学期望。解：例2. 设服从几何分布求解：

例3. 若随机变量 服从拉普拉斯分布，其密度函数为，试求解：

几个重要随机变量的数学期望 1.0-1分布 2. 二项分布B(n, p)

3.泊松分布 4.均匀分布U(a, b)

5.指数分布

6. 正态分布N(, 2)

（1）对于二维离散型随机变量， 的边缘分布律实质上就是一维随机变量的分布律。于是同理

例4.若的联合分布律如下表所示，求 解：

（2）对于二维连续型随机变量， 的边缘密度函数实质上就是一维随机变量的密度函数。于是同理

例5. 在区域上服从均匀分布，其联合密度函数为，求解：

4.2 随机变量函数的数学期望 例1：设随机变量的分布律为求随机变量的数学期望。解:

（1）对于离散型随机变量的分布律为： （2）对于连续型随机变量的密度函数为，

注意：上述结果还可以推广到两个或两个以上随即变量的函数的情况：注意：上述结果还可以推广到两个或两个以上随即变量的函数的情况：例2. 解：

例3. 设二维随机变量的概率密度为 ，求解:

数学期望的性质 1. c为常数,则有 2. c为常数，为随机变量，则有证明:设 ,则

3. 设是任意两个随机变量，则有 证明:设

4. 设是两个相互独立的随机变量，则 证明:设

例4. 任意掷5颗骰子，为5颗骰子出现的 点数之和，求解:设为第颗骰子出现的点数

例5. 设 ,求 解:设则

4.3 方差 方差是反映随机变量的取值对其均值偏离程度的一个数字特征。定义：设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记为显然：

注意： 证明:

例6. 在区域上服从均匀分布，其联合密度函数为，求解：

于是

例7：设随机变量的概率密度为 1)求 , 2)求

方差的性质 1. c为常数,则有 2. c为常数，为随机变量，则有证明:

3. 设是两个相互独立的随机变量，则 证明: 同理可得：

几个重要随机变量的方差 1. 二项分布设：则

2. 泊松分布：

3. 均匀分布U(a, b)： 4.指数分布： 5. 正态分布N(, 2)：

（1）契比雪夫不等式 若随机变量的期望和方差存在，则对任意0，有或：

例8. 已知某种股票每股价格 的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由契比雪夫不等式令

(2) 当方差为0时，随机变量 （以概率为1）的取值集中于数学期望这一数值上，亦即，若则证明：令事件则由契比雪夫不等式得

(3) 随机变量对于其数学期望的偏离程度比随机变量关于其它任何数的偏离程度都来得小。亦即，若为随机变量，为常数，则对于有证明：

4.4 协方差和相关系数 协方差是可以表征之间是否线性相关的一个数字特征；相关系数是可以表征之间线性相关的密切程度的一个数字特征定义：称为随机变量的协方差，记作如果则称为随机变量的相关系数。

注1：由定义可推得： 注2：若记分别称为的标准化。易知

协方差和相关系数的性质 （1）若相互独立，则，从而证明：因为相互独立，所以当或当）时，称和是不相关的。

（2）对于任意常数有 证明：

（3）对任何，恒有 证明：令则又从而得

（4）相关系数的充要条件是 证明：必要性令当时，有当时，有

又又当时，有所以即又等价于令有

充分性设 则当时，当时，

独立性和不相关性之间的关系 如果相互独立，则一定不相关；但是如果不相关，则未必一定相互独立。例9. 设二维随机变量的概率密度函数为试验证不相关却也不相互独立。证明：容易获得

显然，所以 不相互独立。用G表示区域：则所以因此不相关。

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