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第十四章 等候理論

作業研究. 第十四章 等候理論. 林吉仁 著 高立圖書公司出版. 14-1 緒　論. 等候線 (queues 或 waiting line) 隨處可見 有形的等候線 and 無形的等候線 等候理論 (queueing theory) 是在 1909 年由丹麥數學家 A. K. Erlang 提出 等候理論是透過數學模式來描述等候系統的現象，並研究經長時間運行，系統已達穩定，所有量數指標已不再改變下的系統狀態，比如等候線上平均有多少顧客、每位顧客在等候線的平均等候時間，服務站閒置的機率等等。. 14-2 等候系統的結構. 等候系統基本架構.

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第十四章 等候理論

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  1. 作業研究 第十四章等候理論 林吉仁 著 高立圖書公司出版

  2. 14-1緒　論 • 等候線 (queues或waiting line)隨處可見 • 有形的等候線 and 無形的等候線 • 等候理論 (queueing theory) 是在1909年由丹麥數學家A. K. Erlang提出 • 等候理論是透過數學模式來描述等候系統的現象，並研究經長時間運行，系統已達穩定，所有量數指標已不再改變下的系統狀態，比如等候線上平均有多少顧客、每位顧客在等候線的平均等候時間，服務站閒置的機率等等。

  3. 14-2 等候系統的結構 等候系統基本架構

  4. 等候系統說明 等候系統三要素， (1)投入母體；(2) 等候線 ；(3)服務機構 • 投入母體：是指顧客的來源，可分為無限的 (infinite) 與有限的 (finite) • 到達間隔時間：即顧客每多少單位時間到達一個，大都設為指數分配。 單位時間到達人數(到達率)設為卜氏分配 • 到達單位：假設是個別到達

  5. 等候線容量：是指等候線上能容納幾位顧客，可以是無限的或有限的等候線容量：是指等候線上能容納幾位顧客，可以是無限的或有限的 系統容量：等候線容量加上服務站個數 • 單線等候系統，不論服務站個數 • 服務規則: (1)先到先服務-FCFS , (2)後到先服務-LCFS , (3)優先次序服務-PR , (4)隨機選擇的服務-RS • 並聯服務站：「單一窗口服務」 • 服務時間：指數分配，或說顧客接受完服務後以卜氏分配離去

  6. 14-3等候系統的名詞與代號 Kendall符號：(A/B/C)：(X/Y/Z) 其中A位置乃到達間隔時間的機率分配 B位置乃服務時間的機率分配 M：指數分配；D：確定常數； C位置乃並聯之服務台個數 X位置乃系統容量的大小 Y位置乃投入母體的大小 Z位置乃服務規則  FCFS, FCLS,

  7. 其他常用符號

  8. 14-4生死過程與Little公式 • 生死過程與轉移速率圖 • Pn之通式：

  9. Little四公式 • s個服務站，「每個服務站的平均閒置率」 公式

  10. 等候線問題運算要則：

  11. 14-5 (M/M/1)：(∞/∞/FCFS) • 除Kendall符號所顯示的，又假設無論等候線有多長，顧客均會很有耐心地等下去 • 顧客到達率 =系統平均到達率 • 轉移速率圖 • 假設 ，即服務率 > 平均到達率

  12. 本模式基本公式彙整如下： (系統中至少k人的機率)

  13. 例題14-1

  14. 解：

  15. 14-6(M/M/1)：(N/∞/FCFS) • 當系統內顧客少於 N位時，到達率為  ；顧客有 N位時，到達率=0 • 轉移速率圖如下： • 容量有限，等候線會自然收斂，所以不須 有  之條件。

  16. 例題14-2

  17. 解：

  18. 課本還有第二方法，請自行參考

  19. 例題14-3 如果例14-2僅一張板凳，其他條件相同。師傅欲使顧客因板凳已滿而離去的機率小於0.1，試問服務率 ( 人 / 小時 ) 至少應提高到多少？ 解： 為 (M/M/1)：(2//FCFS)，= 2, N = 2

  20. 14-7 (M/M/1)：(N/N/FCFS) • 模式同義於 (M/M/1)：(/N/FCFS) • 為每位顧客的到達率。如果系統內有 n位顧客，則到達率為 (Nn) • 由於來源有限，等候線會自然收斂 • 系統內顧客人數僅有 0, 1, 2, , N等 N+1，其轉移速率圖如下：

  21. 系統之平均到達率

  22. 例題14-4

  23. 解：

  24. 課本還有第二方法，請自行參考

  25. 14-8 (M/M/S)：(∞/∞/FCFS) • 為每個服務站的服務率，當系統內顧客人數 ns時，n=n；若ns則n=s • 到達率  且為定值，所 以= • 每一服務站利用率 ，收斂條件 1，即 s • 轉移速率圖如下：

  26. 例題14-5 某銀行有三個服務櫃台，顧客以平均每小時80位卜氏分配到達，每個櫃台每位顧客的服務時間呈平均數2分鐘的指數分配。如果櫃台沒有空間，顧客得在一條總等後線依到達次序排隊等候，無個別櫃台的等候線，試求 (1)系統內無人、2人、4人的機率？ (2)至少一個櫃台閒置的機率？ (3)第二櫃台閒置的機率？ (4)L,Lq,W,Wq各是多少？

  27. 解：

  28. 課本還有第二方法，請自行參考

  29. 14-9 (M/M/S)：(N/∞/FCFS) • 假設Ns • 轉移速率圖如下： 其中  為顧客平均到達率，  為每一服務台的服務率

  30. 例題14-6

  31. 解：

  32. 課本還有第二方法，請自行參考

  33. 例題14-7 某汽車停車場僅3個停車位，汽車到達屬卜氏分配，平均每小時4輛。汽車停放時間屬指數分配，平均1小時。問 (1)平均有幾個空的停車位？ (2)汽車到達時已滿的機率？ (3)每個停車位的平均利用率？

  34. 解：

  35. 14-10 (M/M/S)：(N/N/FCFS) • 模式同義於 (M/M/S)：(/N/FCFS) • 轉移速率圖如下：

  36. 例題14-8 兩位技術員負責五部機器故障時的修復工作，每部機器平均運轉時間30分鐘，呈指數分配。修理時間為平均15分鐘的指數分配，請問： (1)兩位技術員均無事的機率？ (2)一位技術員無事的機率？ (3)平均有幾部機器故障？ (4)一部機器自故障到修復平均需多久？ (5)一位技術員的平均利用率多少？

  37. 解：

  38. 課本還有第二方法，請自行參考

  39. 14-11其他模式 14-11-1(M/D/1)：(∞/∞/FCFS) • 自動化設備若服務工作均相同，其服務時間可視為固定常數 • 本模式之公式：

  40. 例題14-9 某自動販賣機，製造一杯飲料須10秒，而顧客以平均每分鐘4人的卜氏分配到達，求： (1)販賣機閒置的機率？ (2)求L,Lq,W,Wq？

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