高等代数课件

1. 高等代数课件 陇南师范高等专科学校数学系 2008年制作

2. 第五章 向量空间 • 5.1 向量空间的定义 • 5.2 向量的线性相关性 • 5.3 基维数和坐标 • 5.4 子空间 • 5.5 向量空间的同构

3. §5.1 向量空间的定义 一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质

4. 一、向量空间概念的引入 例1设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律： 1) a+b＝b+a； 2)(a+b)+c＝a+(b+c)； 3)0+a＝a； 4) 对任意aC ，存在bC ，使a+b＝0； 5) k(a+b)＝ka+kb； 6) (k+l)a＝ka+la； 7) (kl)a＝k(la)； 8) 1a＝a. 这里a，b，c是任意复数，k，l是任意实数。

5. 例2在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向例2在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向 量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对 任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y, ZV2，a, bR，有 1) X+Y＝Y+X； 2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)； 3)0+X＝X，其中0是V2中的零向量； 4) 对任意XV2，存在Y，使X+Y＝0，其中Y是X的负向量； 5) a(X+Y)＝aX+aY； 6) (a+b)X＝aX+bX； 7) (ab)X＝a(bX)； 8) 1X＝X.

6. 例3设Fn[x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同零多项式组成的集合. 对任意两个多项式f(x), g(x)Fn[x]，f(x)+g(x)Fn[x]. 又对F中的任意数k, kf(x)Fn[x]. 并且，对Fn[x]中任意多项式f (x), g(x), h (x)及F中任意数a, b，有 1) f (x)+g(x)＝g(x)+f (x)； 2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]； 3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn[x]中的零多项式； 4) 对任意f (x)  Fn[x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0； 5) a·(f (x)+g(x))＝a ·f (x) +a·g(x)； 6) (a+b) ·f (x)＝a·f (x)+b·f(x)； 7) (ab) ·f (x)＝a·(b·f(x))； 8) 1·f (x) ＝f (x).

7. 例4设Mmn(F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的例4设Mmn(F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的 A,BMmn(F)，A+B  Mmn(F), 对任意的k F，kA  Mmn(F). 并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有 1) A+B=B+A ； 2)(A+B)+C=A+(B+C) ； 3) 0+A=A ； 4) 对任意的A  Mmn(F)，存在B，使得A+B=0 ； 5) a(A+B)=aA+aB ； 6) (a+b)A=aA+bA ； 7) (ab)A=a(bA) ； 8) 1A=A .

8. 上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点，即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两种运算满足8条运算律。上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点，即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两种运算满足8条运算律。 1)  +=  +  ； 2) ( +)+ ＝ + (+ ) 3) 0+  =  4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a； 6) (a+b) =a +b； 7) a (b)=(ab)； 8) 1 = . 例 1： C, R a+b，ka 例 2 ： V2， R X+Y ，kX 例 3： Fn[x] ，F f(x)+g(x) , kf(x) 例 4： Mmn(F), F A+B，kA —————————————------——-

9. 二、向量空间的定义 定义1设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们 把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示， 把F中的元素用a，b，c，…来表示. 如果下列条件 被满足，就称V是F上的一个向量空间： 1V有一种加法运算.即对V中任意两个元素和 ，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为 与的和，记为 . 2有一个F中元素与V中元素的乘法运算.即对于 F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯 一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为 a  .

10. 3上述加法和数量乘法满足下列运算规律： 1)  =   ； 2) ( ) ＝ ( ) ； 3) 在V中存在一个元素0，使得对于任意V，都有 0  =  ,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）; 4) 对于V中的每一个元素，存在V中的元素，使得  ＝0,（具有这个性质的元素叫做的负元素）; 5) a ( ) = a  a ； 6) (a+b)  =a  b ； 7) (ab)  =a (b )； 8) 1  = . 这里，，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数.

11. 例5令C [a, b]为闭区间[a, b]上所有实连 续函数的集合，R为实数域。则C [a, b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域R上的向量空间. 三、向量空间的例子 由例1、例2、例3、例4及向量空间的定义知，复数域C作成实数域R上的向量空间；V2作成实数域R上的向量空间； Fn[x] 作成数域F上的向量空间； Mmn (F)作成数域F上的向量空间。

12. 例6设V为正实数集，R为实数域，在V中 规定加法和数量乘法运算如下： =（即与的积） k =k （即的k次幂） 其中,V, kR. 对任意的，V, kR，有 = V,  = kV.

13. 1)  = = = 2) () =() =()=()= ()= ( ) 并且，对任意的,,V，k,m R，有 3) I  =1 = ，1是V中的零向量； 4) 对任意的 V，存在-1V，使得 -1 = -1 =1， -1是的负向量. 5) k ()=k ()=()k=kk=k  k ； 6) (k+m)  = k+m=km=k  m  7) (km) =km=(m)k =k m=k (m ) 8) 1  =  1 = . 所以，v对我们定义的加法和数乘运算作成数域R上的向量空间.

14. 例7令V是次数等于n的全体实系数多项 式组成的集合. 因为两个n次多项式的和未必是n次多项式. 例如，f (x)＝xn－1, g(x)＝－xn+x，则f (x)＋ g(x) =x-1，不再是n次多项式. 所以在多项式的加法及数与多项式的乘法 运算下，V不是实数域R上的向量空间.

15. 例8任意数域F总可以看成它自身上的向量空间. 例9实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上的一个向量空间. 二. 性质 命题5.1.1在一个向量空间V中, 零向量是唯一的; 对于V中的每一向量, 的负向量是由唯一确定的. 的负向量记作 . 命题5.1.2对于任意向量和任意数a都有: 0=0, a0=0. a()=(a) = a. a=0a=0 或 =0.

16. 三. 约定 设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵(1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果是一个以向量为元素的矩阵, 即: (1, 2,…, n)A=(1,  2,…, m) 其中: 可以证明: (1, 2,…, n)(AB)=((1, 2,…, n)A)B.

17. 5.2 向量的线性相关性 定义1设1, 2,…, r是向量空间V中的r个向量, 对于数域F中的任意r个数a1, a2,…, ar, 我们把a11+a22+…+ arr称为1, 2,…, r的一个线性组合. 如果向量等于向量1, 2,…, r的某个线性组合, 则称可以由1, 2,…, r线性表示. 定义2设1, 2,…, r是向量空间V中的r个向量, 如果存在数域F中的r个不全为零的数a1, a2,…, ar, 使得a11+a22+…+ arr=0, 则称1, 2,…, r线性相关. 否则称1, 2,…, r线性无关. 例1F3中的向量1=(1,2,3), 2=(2,4,6), 3=(3,5,4)线性相关. 例2判断F3中的向量1=(1,2,3), 2=(2,1,0), 3=(1,7,9)是否线性相关. 例3在向量空间F[x]中, 对任意非负整数n, 向量1, x, …, xn都线性无关.

18. 命题5.2.1向量组{1, 2,…, r}中每一向量i都可由这一组向量线性表示. 命题5.2.2向如果向量可由1, 2,…, r线性表示, 而每一i又可由1, 2,…, s线性表示, 那么可由1, 2,…, s线性表示. 命题5.2.3如果向量组{1, 2,…, r}线性无关, 则它的任意一部分也线性无关. 等价地,如果向量组{1, 2,…, r}有一部分线性相关, 则整个向量组{1, 2,…, r}线性相关. 命题5.2.4如果向量组{1, 2,…, r}线性无关,而向量组{1, 2,…, r,}线性相关, 则一定可以由{1, 2,…, r}线性表示. 定理5.2.5向量1, 2,…, r(r>1)线性相关的充要条件是其中存在一个向量是其余向量的线性组合. 定义 3设{1, 2,…, r}和{1, 2,…, s}是两个向量组. 如果每一个i都可1, 2,…, s由线性表示, 每一个i也都可由1, 2,…, r线性表示, 则称这两个向量组等价. 向量组的等价具有自反性, 对称性和传递性.

19. 例4向量组 1=(1, 2, 3), 2=(1, 0, 2) 与 1=(3, 4, 8), 2=(2, 2, 5), 3=(0, 2, 1) 等价. 定理5.2.6(替换定理)设向量组{1, 2,…, r}线性无关, 并且每一i都可由向量组{1, 2,…, s}线性表示. 那么必有rs, 并且必要时对{1, 2,…, s}重新编号, 使得用1, 2,…, r替换1, 2,…, r后所得向量组{1, 2,…, r, r+1, …, s}与{1, 2,…, s}等价. 推论5.2.7两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 定义 4向量组{1, 2,…, n}一个部分向量组{}称为一个极大线性无关部分组(简称极大无关组), 如果 (i) 线性无关; (ii) 每一都可以由线性表示. 推论5.2.8两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量. 特别地, 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.

20. 5.3 基、维数、坐标 一. 基 二. 维数 三. 关于基和维数的几个结论 四. 坐标 五. 过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系 六. 过渡矩阵的性质

21. 一. 基的概念 定义1设V是数域F上的一个向量空间, V中满足下列条件的向量组{1, 2,…, n}叫做V的一个基. (i)1, 2,…, n线性无关; (ii) V的每一个向量都可以由1, 2,…, n线性表示. 例3由例1已知{1, 2,…, n}是Fn的一组生成元. 它也是线性无关的. 因此{1, 2,…, n}是Fn的一个基. 称其为Fn的标准基. 例4在空间V2中, 任意两个不共线的向量1, 2都构成它的一个基. 在空间V3中, 任意三个不共面的向量1,2 ,3都构成它的一 个基. 例5令M是数域F上的一切mn矩阵所成的向量空间. Eij表示一 个mn矩阵, 除第i行第j列的的元素是1外它的其余元素都是0. 则所有这些Eij(i=1,2,…,m, j=1,2,..n, 共 mn 个)是M的一个基.

22. 二. 维数的定义 如果一个向量空间由有限个向量生成, 它的基可能不只一个. 但是由于所有的基都是等价的, 且每一基都是线性无关的. 因此由推论6.3.7可知一个向量空间的任意两个基所含的向量的个数都相等. 因此我们可以有如下定义 定义2设V是一个由有限个向量生成的非零向量空间,它的基所含向量的个数叫做V的维数. 零空间的维数定义为0. 如果一个向量空间不能由有限个向量生成, 则称这个向量空间是无限维的. 向量空间V的基记作dimV. 例6F[x]作为F上的向量空间不是有限生成的, 因而是无限维的.

23. 三. 关于基和维数的几个结论 定理5.3.2如果{1, 2,…, n}是向量空间V的一个基, 那么V的每一个向量都可以唯一地表示成1, 2,…, n的线性组合. 定理5.3.3设V是一个n维向量空间且r>n, 则V中任意r个向量都是线性相关的. 定理5.3.4设1, 2,…, r是n维向量空间V中的一组线性无关的向量, 那么总可以添加nr个向量r+1,…, n使得{1, 2,…, r, r+1, …, n }构成V的一个基. 特别地, n维向量空间V中任意n个线性无关的向量都构成V的一个基. 定理5.3.5如果W1和W2是向量空间V的两个有限维子空间, 那么 W1+W2也是有限维的, 且 dim(W1+W2)=dimW1+dimW2dim(W1W2).

24. 四. 坐标 设V是数域F上的n(n >0)维向量空间, {1, 2,…, n}是V的一个基, 则V中的任一向量都可以唯一地表示成 =x11+x22+…+xnn. 因此取定V的一个基{1, 2,…, n}后, V中每一向量都有唯一的n元数列(x1, x2, …, xn)与它对应. 数xi叫做向量关于基{1, 2,…, n}的第i个坐标. (x1, x2, …, xn)叫做向量关于基{1, 2,…, n}的坐标. 例1取定V3中三个不共面的向量, 那么V3中的任一向量都可以唯一地表示成=x11+x22+x33. 关于基{1, 2,3}的坐标就是(x1, x2, x3). 例2Fn的向量=(a1, a2, …, an)关于标准基{1, 2,…, n}的坐标就是(a1, a2, …, an). 定理5.3.8设V是数域F上的n(n >0)维向量空间, {1, 2,…, n}是V的一个基, , V, 它们关于基{1, 2,…, n}的坐标分别是(x1, x2, …, xn)和(y1, y2, …, yn). 那么+关于这个基的坐标就是(x1+y1, x2+y2, …, xn+yn). 再设aF, 则a关于这的基的坐标是(ax1, ax2, …, axn).

25. 五. 过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系 设{1, 2,…, n}和{1, 2,…, n}是n(n >0)维向量空间V的两个基. 那么j可以由1, 2,…, n线性表示: 其中(a1j, a2j,…, anj )就是关于基{1, 2,…, n}的坐标. 以这n个坐标为列作一个矩阵 矩阵T叫做由基{1, 2,…, n}到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵. 利用第一节中的约定, 我们知道这两个基之间的关系是: (1, 2,…, n)=(1, 2,…, n)T.

26. 设V, 它关于基{1, 2,…, n}和{1, 2,…, n}的坐标分别是(x1, x2, …, xn)和(y1, y2, …, yn). 则有 比较上面两个等式可得 定理5.3.9设V, 它关于基{1, 2,…, n}和基{1, 2,…, n}的坐标分别是(x1, x2, …, xn)和(y1, y2, …, yn). 从基{1, 2,…, n}到基 {1, 2,…, n}的过渡矩阵是T, 则有

27. 例3设1, 2是V2的两个正交单位向量, 则它构成V2的一个基. 1, 2分别是由1, 2旋转角得到的两个向量, 则它们也构成V2的一个基.我们有 因此从{1, 2}到{1, 2}的过渡矩阵是 设的一个向量关于{1, 2}和{1, 2}的 坐标分别是{x1, x2}到{x1, x2}, 则由定 理5.5.2得: 即 这就是解析几何中旋转坐标轴的坐标变换公式. 2 2 1  O 1

28. 六. 过渡矩阵的性质 设从基{1, 2,…, n}到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵是A,从基{1, 2,…, n}到基{1,  2,…,  n}的过渡矩阵是B, 则从基{1, 2,…, n}到基{1,  2,…,  n}的过渡矩阵是AB. 定理5.3.10设在n(n >0)维向量空间V中从基{1, 2,…, n}到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵是A, 则A是一个可逆矩阵, 并且从基{1, 2,…, n}到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵是A1. 任何一个可逆矩阵都可以作为n(n >0)维向量空间中从一个基到另一个基的过渡矩阵. 例 4已知R3中的向量 1=(2,1,3), 2=(1,0,1), 3=(2,5,1),证明{1, 2, 3}构成R3的一个基, 并求向量=(4,12,6)关于这个基的坐标. 例 5已知R3的两个基 {1=(3,1,2), 2=(1, 1,1), 3=(2,3,1)}, {1=(1,1,1), 2=(1,2,3), 3=(2,0,1)}. 求从{1, 2, 3}到{1, 2, 3}的过渡矩阵.

29. 5.4 子空间 封闭性设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W中任意两个向量的和仍是W中的向量, 则称W对于V的加法是封闭的; 如果F中的任意一个数与W中的任意一个向量的积仍是W中的一个向量, 则称W对于V的纯量乘法是封闭的. 定理5.4.1设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的, 那么W本身也是F上的一个向量空间. 定义1设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的, 则称W是V的一个子空间. 例1向量空间V是其自身的一个子空间. 仅由零向量构成的集合{0}也V的一个子空间, 称其为零空间. 一个向量空间本身和零空间叫做V的平凡子空间. V的非平凡子空间叫做V的真子空间.

30. 例2在空间V2中平行于一条固定直线的向量构成V2的一个子空间. 在空间V3中平行于一条固定直线或一个固定平面的向量分别构成V3的子空间. 例3在Fn中一切形如(a1, a2, …, an1, 0)的向量构成Fn的一个子空间. 例4F[x]中一切次数不大于给定整数n的多项式连同零多项式一起构成F[x]的一个子空间. 例5闭区间[a, b]上的所有可微函数的集合构成C[a, b]的一个子空间. 定理5.4.2向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间, 当且仅当对于a,bF, , W, 都有a+bW. 子空间的交与和设W1, W2是向量空间V的两个子空间, 则W1W2及W1+W2={1+2 | 1W1, 2W2}也V的子空间, 分别称为子空间W1 与W2的交与和. 有限个子空间的交仍是子空间,有限个子空间的和仍是子空间.

31. 生成元、生成子空间 设V是数域F上的一个向量空间, 1, 2,…, nV. 容易证明, 1,2,…, n 的一切线性组合所成的集合是V的一个子空间. 我们把这个子空间称为由1, 2,…, n生成的子空间, 记作L(1, 2,…, n). 把1, 2,…, n称为这个子空间的一组生成元. 例1考虑Fn中如下n个向量: i=(0,…,0,1,0,…,0), i=1,2,…,n, i中除第i个元素是1外其余位置的元素都是0. 这n个向量是Fn的一组生成元. 例2考虑F[x]中, 由多项式1, x, …, xn生成的子空间是: L(1, x, …, xn)={a0+ a1x+ …+ anxn|aF} 这就是F[x]的一切次数不大于n的多项式连同零多项式构成的子空间. 定理5.5.1{1, 2,…,n}是一组不全为零的向量,{}是他的一个极大线性无关组, 则 L(1, 2,…,n)=L().

32. 余子空间、子空间的直和 定义2设W1和W2是向量空间V的两个子空间, 如果 (i) W1+W2 =V; (ii) W1W2 ={0}; 则称W2是W1的余子空间, W1是W2的余子空间. 此时也称V是W1与W2的直和, 并记作V=W1W2. 定理5.3.6设向量空间V是W1与W2的直和, 那么V中每一向量都可以唯一地表示成  =1+ 2, 其中1 W1, 2 W2. 定理5.3.7n维向量空间V的每一子空间W都有余子空间. 如果W’是W的余子空间, 那么 n=dimV=dimW+dimW’.

33. 5.5 向量空间的同构 定义 1设V和W是数域F上的两个向量空间. V到W的一个映射f叫做一个同构映射, 如果 (1) f是V到W是的双射; (2) 对于任意, V, f(+)=f()+f(); (3) 对于任意aF, V, f(a)=af(). 如果数域F上的两个向量空间V和W之间可以建立一个同构映射, 则称W与V同构, 数记作. 定理5.5.1数域F上的任一n维向量空间都与Fn同构.

34. 定理5.5.2设V和W是数域F上的两个向量空间, f是V到W的一个同构映射. 那么: (i)f(0)=0. (ii) 对任意V, f()=f(). (iii) 对任意iV,aiV, i=1,2,…,n,都有: f(a11+a22+…+ann)=a1f(1)+a2f(2)+…+anf(n). (iv) 1,2,…,nV线性相关f(1),f(2),…,f(n)W线性相关. (v) f的逆映射f1是W到V的同构映射. 定理5.5.3数域F上的两个有限维向量空间同构的充要条件是它们有相同的维数.

35. 第六章 线性方程组 • 6.1 消元解法 • 6.3 齐次线性方程组解的结构 • 6.4 一般 线性方程组解结构 • 6.5 秩与线性相关性 • 6.6 特征向量与矩阵的对角化

36. 6.1 消元解法 一. 线性方程组的初等变换 二. 矩阵及其初等变换 三. 矩阵与线性方程组的解 四. 例题

37. 一. 线性方程组的初等变换 例1.用消元法解线性方程组: 线性方程组的初等变换是指线性方程组的下述三种变换: 1) 交换两个方程的位置 2) 用一个非零数乘某一个方程 3) 用一个数乘一个方程后加到另一个方程 定理6.1.1初等变换把一方程组变一个与它同解的方程组.

38. 二. 矩阵及其初等变换 1.矩阵 由st个数cij排成的一个s行t列的表 叫做一个s行t列(或st)矩阵. cij叫做这个矩阵的元素. 2. 矩阵的初等变换 矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行的下列变换之一: 1) 交换矩阵的两行(列); 2) 用一个非零数乘矩阵的某一行(列), 即用一个非零数乘矩阵的某一行(列)的每一元素; 3) 用某一数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列), 即用某一数乘矩阵的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的对应元素上.

39. 定理4.1.2设A是一个m行n列的 可进一步化为: 矩阵: 用行初等变换 和第一种列初等变换可以把A化为以下形式: r行

40. 三. 矩阵与线性方程组的解 1.线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 称矩阵 和 分别为方程组 的系数矩阵和增广矩阵.

41. 2.线性方程组的解 由定理4.2.1知, 对方程组 的增广矩阵施行行变换和不涉及最后一列的列变换, 可把该增广矩阵化为如下形式:

42. 而对增广矩阵的行的初等变换就是对其对应的方程组的初等变换, 而不涉及最后一列的第一种列变换无非是交换两个未知数的位置. 因此矩阵(2)就是一个与方程组(1)同解的方程组 的增广矩阵. 因此要方程组(1)解只需解方程组(3). 方程组(3)的解有以下两种情形: 情形1.当 r<m, 且dr+1, dr+2, … , dm不全为零时, 方程组(3)无解, 即方程组(1)无解. 情形2.当r=m或r<m而dr+1, dr+2, … , dm全为零时, 方程组(3)与

43. 同解. 当r=n时, 方程组(4)有唯一解 当r<n时, 方程组(4)可以写为: 此时, 给未知量 任意指定取值, 它们连同它们代入(5) 后所决定的 将是方程组(4), 即方程组(1)的解. 因此, 这 时, 方程组(1)有无穷多个解. 称(5)为方程组(1)的一般解.

44. 四. 线性方程组有解的条件 考虑线性方程组: 分别用A和表示它的系数矩阵和增广矩阵, 用1, 2,…, n以及表示增广矩阵的列向量. 如果方程组有解, 则存在数x1, x2,…, xn使 x11+ x22+…+ xnn=. 所以系数矩阵的列空间(的维数)与增广矩阵的列空间(的维数)相同. 即秩A=秩. 反之, 如果A=秩,则1, 2,…, n的一个极大无关组也是1, 2,…, n, 的一个极大无关组. 即可用1, 2,…, n线性表示. 这说明线性方程组有解. 我们又一次得到:线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.

45. 线性方程组有解的判别法 定理4.2.2线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩. 定理4.2.2如果一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r, 那么当r与这个方程组的未知量个数n相等时, 这个方程组有唯一解, 当r<n时, 方程组有无穷多解.

46. 四. 例题 例2.解方程组 例2.解方程组

47. 6.3 齐次 线性方程组解的结构 一. 线性方程组的公式解 定理4.3.1设线性方程组 有解, 它的系数矩阵和增广矩阵的秩都是r0. 那么可以在这个方程组的m个方程中选出r个方程, 使得剩下的 m–r 个方程中的每一个都是这r个方程的结果, 因而解方程组 (1)可以归结为解由这r个方程构成的方程组.

48. 说明: 1)如果方程组(1)的系数矩阵的秩是r, 则它有一个r阶子式D0, 设D的元素分别来自系数矩阵的第i1, i2, … , ir行, 则方程组(1)中的第 i1, i2, … , ir 个方程就是定理中要找的r个方程. 2)当r=n时, 线性方程组(1)的公式解由克莱姆法则给出 3)当r<n时, 不妨设由定理4.3.1找出的r个方程就是方程组(1)的前r个方程, 并进一步把这r方程写为 把方程组(2)中等号右边的项看作常数项, 利用克莱姆法则就可以得出方程组(1)的求解公式.

49. 二. 齐次线性方程组的解 定义 称常数项都等于零的线性方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组的一般形式为: 让所有未知数都等于零, 就得到齐次线性方程组(3)的一个解, 称此解为零解. 如果(3)还有其它解, 则称这些解为(3)的非零解. 齐次线性方程组永远有解, 它至少有一个零解. 因此对于齐次线性方程组, 我们关心的是它有没有非零解. 下面的几个结论给出了齐次线性方程组有非零解的条件.

50. 齐次线性方程组有非零解的条件 定理4.3.2一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是: 它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数. 推论4.3.3含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是: 它的系数行列式等于零. 推论4.3.4若在一个齐次线性方程组中, 方程的个数小于未知量的个数, 则这个方程组一定有非零解.