例題 11 ：計算 的一個近似值？

1. 例題11：計算 的一個近似值？

2. 例題11：計算 的一個近似值？ 想想看？34.6附近的什麼數，可以很容易 的被開根號出來，36應該是一個適當的數字。

3. 解：令 有 ，且 利用 即 的近似值為 5.8833。

4. 例題12：計算 的一個近似值？

5. 例題12：計算 的一個近似值？ 想想看？29附近的什麼數，可以很容易的 被開立方根出來，27應該是一個適當的數字。

6. 解：令 有 ，且 利用 即 的近似值為 3.074。

7. 例題13：求 的一條直線近似？

8. 例題13：求 的一條直線近似？ 想想看？3附近的什麼數，可以很容易的 被開根號出來，1+3應該是一個適當的數字。

9. 解：令 ，且 利用 即 ，適用範圍在x=1附近。

10. 上述的近似在x=1附近時所計算的誤差較小 即

11. 例題13：求 的一條直線近似？ 解：令 ，且 利用 即 ，適用範圍在x=1附近。

12. 上述的近似在x=1附近時所計算的誤差較小 即

13. 例題13：求 的一條直線近似？

14. 例題13：求 的一條直線近似？ 另解： 6+3也是容易被開根號出來的數字。 13+3也是容易被開根號出來的數字。 22+3也是容易被開根號出來的數字。 我們就以6+3為例來求解。

15. 另解： 令 ，且 利用 即 ，適用範圍在 x= 6 附近。

16. 例題14：求 的一條直線近似？

17. 例題14：求 的一條直線近似？ 想想看？什麼數的自然指數，可以很容易 的被計算出來，0應該是一個適當的數字， 因為 。

18. 解：令 ，且 利用 即 ，適用範圍在x=0附近。

19. 總複習

20. 我們可將 dy/dx視為 dy除以 dx，如此不僅可利用 dy 來求某些近似值的問題，往後在求某些微分與積分的問題時會更方便。

21. 微分定義 設函數y = f(x)在x處可微分，則定義 dy = f’(x)dx ………………(1) 稱為y的微分，其中dx = Δx為任意實數。

22. 上述dy為兩變數x與dx之函數，例如: • d(x2 + 1) = 2xdx • d(2x3 + 2x + 5) = (6x2 + 2)dx • 若dx ≠ 0，以dx除(1)式，得

23. (1)式表示y = f(x)之微分，而(2)式表示y = f(x) 的導函數，微分與導函數雖然不同， 但在dx ≠ 0之條件下，由(1)式可得(2) 式，由(2)式亦可得(1)式，我們稱求導函數 的方法為微分法，不過在那裏的”微分”， 是當作動詞用，而此處的微分則是名詞。

24. 複習1. 設 y = (x2 + 1)10，求dy

25. 複習1. 設 y = (x2 + 1)10，求dy 解:

26. 複習2. 設 ，求dy

27. 複習2. 設 ，求dy 解:

28. 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何?

29. 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何? 解:

30. 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何? 解:

31. 複習3. 設 ，求dy, 又當 x = , dx = 時 dy 之值為何? 解:

32. 設y = f(x) 為可微分函數，令dx = Δx ≠ 0，且當x 增至x + Δx 時，y 增為 y + Δy。因y + Δy = f (x +Δx)，故 Δy = f(x + Δx) – f(x) = f(x + Δx) – f(x)

33. 複習4. 設 ，求當x = 3, Δx = 0.1時之y的增量Δy。 解:

34. 以下討論Δy與dy的關係

35. 因 故 即

36. 因此，當 |Δx| 很小時，Δy (符號 為近似) Δy dy 如令Δx =dx (甚小時)，則得 dy為Δy的最佳近似值。

37. 複習5. 試用微分法，求 之近似值

38. 例5. 試用微分法，求 之近似值 解: 我們要作開立方的運算，故可設

39. 例5. 試用微分法，求 之近似值 解:

40. 練習題

41. 練習1. 求下列各題已知函數之微分dy:

42. 練習2. 已知 x 及Δx 之值，試求Δy及dy:

43. 練習3. 試用微分法求下列各題的近似值:

44. 練習4. 一正方盒之邊長為12吋，其可能誤 差為0.1吋，則此盒子之體積的可能 誤差為多少?

45. 練習5. 一個球的半徑為3吋，其可能誤 差為0.03吋，則此球的表面積之可 能誤差為多少?

46. 本單元到此結束