數學評量 國立臺南師範學院數學教育系 謝 堅

1. 　　數學評量 • 國立臺南師範學院數學教育系 • 謝　　堅

2. 為什麼學校考試的試題，絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目？為什麼學校考試的試題，絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目？ • 為什麼老師們不喜歡出沒有見過(或不常見到)的題目? • 沒有見過的題目，漂亮的題目， 是怎麼冒出來的？

3. 困難，但是算過的題目。 • 簡單，但是沒有看過的題目。 • 簡單，但是文字描述很長的題目。 • 那些是學童無法得分的題目? • 為什麼學童害怕這些簡單的題目?

4. 如果要你命一份紙筆測驗，你會注意那些事項?如果要你命一份紙筆測驗，你會注意那些事項? • 你如何命一份紙筆測驗?

5. 參考課本、 習作、參考書的例題及習題，或參考書局光碟的題庫、 考古題等題目，再透過改數字，改情境， 轉化題型（填充題 改成選擇題）等方式命題。

6. 不參考任何試題(或者只是純參考， 但是不使用)，依據考試範圍的教學目標、重要的數學概念、上課時學童混淆的教材以及重點教材，憑空想題目。

7. 為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題，讓部份大學數學系的教授在規定的時間內，無法答完所有的考題？為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題，讓部份大學數學系的教授在規定的時間內，無法答完所有的考題？ • 為什麼現在國中升高中的基本學力測驗數學科的考題，所有大學數學系的教授都能在規定的時間內答完所有的考題，而且多數問題不必計算就能夠看到答案?

8. 基本學力測驗的命題方式，和以前聯考的命題方式，有那些改變?基本學力測驗的命題方式，和以前聯考的命題方式，有那些改變? • 準備數學基本學力測驗與準備以前數學科聯考： • 學童讀書的方式是否要改變? • 教師教學的方式是否要改變? • 評量命題的方式是否要改變？

9. 課本給一些例子，幫助學童抽象 • 數學概念。 • 課本給一些例題，幫助學童澄清 • 數學概念。 　 • 課本給一些習題，檢查學童是否 • 掌握該數學概念。 　

10. 參考書給一些例題，延伸課本的 • 數學概念。 　 • 參考書給一些習題，檢查該學童 • 是否掌握延伸的數學概念。 • 以前聯考數學試題，常由課本或參考書的例題或習題為出發點命題。

11. 現在基本學測數學科的試題： • 只要題目和參考書的題目雷同，一定不會變成學測的試題。 • 由概念或生活情境直接命題。

12. 如果試題以參考書的例題或習題為出發點，一路走來的學生，很容易抓到命題的脈動，不必回溯至原始的數學概念，就可以成功解題。如果試題以參考書的例題或習題為出發點，一路走來的學生，很容易抓到命題的脈動，不必回溯至原始的數學概念，就可以成功解題。 • 沒有一路走來的教授，必須由原始的概念出發，思考如何解題，因此必須花較多的思考時間，才能夠解題成功。

13. 算很多題目，對考試是否有幫助？ • 小範圍的考試 (例如月考) • vs • 大範圍的考試(例如基本學測)

14. 由概念出發的考題 • vs • 由課本或參考書轉化的考題

15. 全國統一的教科書 • vs • 一綱多本的教科書

16. 如何命一個沒有見過的新題目？ • 由數學概念開始思考： • 由日常生活情境開始尋找：

17. 由數學概念開始思考： • 嘗試創造與生活情境無關，但是可以澄清或延伸數學概念的考題。 • 嘗試尋找生活情境中有那些現象或問題，可以透過數學概念解題。

18. 由日常生活情境開始尋找： • 嘗試在日常生活中尋找有趣或有規律的現象，判斷這些現象可以評量那些數學概念，並將這些現象轉換成考題。

19. 面對問題「一瓶水4/5公升，3/11 瓶水有多少公升？」時，我們可以透過「分子乘以分子，分母乘以分母」的方式算出答案。 • 請問下面那些人的說法正確？

20. 甲說：分母乘以分母，是將1瓶水 平分成55等份的意思。 • 乙說：分母乘以分母，是將1公升平分成55等份的意思。 • 丙說：分子乘以分子，是算有12個1/55瓶水的意思。 • 丁說：分子乘以分子，是算有12個1/55公升的水的意思。

21. （1）甲、丙的說法正確。 • （2）甲、丁的說法正確。 • （3）乙、丙的說法正確。 • （4）乙、丁的說法正確。

22. 某特製腳踏車前輪半徑是20公分，在腳踏車前輪上（半徑外緣）加裝一個燈泡，讓腳踏車往前行走時燈泡會發光，請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。某特製腳踏車前輪半徑是20公分，在腳踏車前輪上（半徑外緣）加裝一個燈泡，讓腳踏車往前行走時燈泡會發光，請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。 • 也可以改成選擇題。 • 此題是日常生活中可能存在的情境。

23. 一個邊長是10公分的正方體黏土，將這個正方體黏土揉成一個球， 請問下列敘述何者正確？

24. 球的直徑比10公分長，球的體積是1000立方公分。球的直徑比10公分長，球的體積是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分長，但是球的體積不是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分短，球的體積是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分短，但是球的體積不是1000立方公分。

25. 有一棵神木，二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈，請問神木的直徑大約是幾公分？有一棵神木，二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈，請問神木的直徑大約是幾公分？ • 100公分。 • 500公分。 • 1000公分。 • 2000公分。

26. 上體育課或休閒時，你在籃球場打過籃球嗎？估算看看，籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍？上體育課或休閒時，你在籃球場打過籃球嗎？估算看看，籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍？ • 也可以考教室的面積是這張考卷的多少倍（學童可以同時看到教室與考卷)。

27. 數學是為了解決日常生活問題而產生的學問。 • 但是數學公式或數學模型無法解決日常生活中所有的問題，它們只能解決在某些限制下（透過定義或約定俗成）所形成的問題。 • 數學概念清楚，才能解決日常生活中的問題。

28. 將7塊蔥油餅平分給4個人，全部分完，每個人可以分到多少蔥油餅?將7塊蔥油餅平分給4個人，全部分完，每個人可以分到多少蔥油餅? • 7/4 • 1+3/4 • 1+1/2+1/4 • 那一個答案比較合理?

29. 當全國使用同一套數學課本時， 數學問題的題意不清，不會引起太大的困擾，因為大家很容易形成解題的共識。 • 當全國使用多種數學課本時，學測的命題者必須出一些大家沒有見過的數學問題，為了將問題的情境描述清楚，題目會變的很長。

30. 選擇題命題時應注意事項: • 選項的個數： • 如果涉及統計（量的研究）作業，選項個數最好一致)。 • 能產生多少個良好的誘答項，是決定選項個數的重要因素。

31. 選項答案出現頻率： • 採隨機亂數編寫選項 • 選項出現的頻率儘量相同 • 為了閱卷方便，形成有規律或容易記憶的答案。

32. 如何製作合理的誘答項： • 教師應思考多數學童可能出現錯誤的答案，讓最多數的學童都有答案可以選。

33. 以71-25=?為例 • 學童可能出現那些答案? • 標準答案:46 • 錯誤答案:56,54,51,50,95,44…. • 那些是學童最發生錯誤機率最大的答案?

34. 『以上皆非』，『以上皆是』， 適合當做選項嗎？ • 『以上皆是』最好不要出現。 • 『以上皆非』應考慮出現的時機。

35. 題組： • 併聯型的題組（每個問題都是獨立的，前面的問題不會，不影響後面問題的作答）。 • 串聯型的題組（前面的問題不會或答錯，影響後面問題的作答）。 • 儘量命併聯型的題組。 • 什麼情境適合命串聯型的題組？

36. 時針一小時轉1大格，分針一小時轉1圈，秒針一秒鐘轉1小格。時針一小時轉1大格，分針一小時轉1圈，秒針一秒鐘轉1小格。 • 分針330秒鐘轉（　）小格？ • 時針150分鐘轉（　）大格？ • 秒針1小時轉（　）圈？ • （如果答案不是整數，可以使用小數表示，也可以使用分數表示）

37. 小明和小英玩射飛鏢的遊戲，飛鏢靶上有1，3，5，7，9等5種分數，小明射了10支飛鏢都射中鏢靶（每鏢都得到一種分數），得了ａ分，小英射了10支飛鏢只有9支射中鏢靶，得了ｂ分，請問下面哪一組答案是可能的得分數？

38. （1）ａ＝56、ｂ＝48 • （2）ａ＝56、ｂ＝67 • （3）ａ＝57、ｂ＝66 • （4）ａ＝57、ｂ＝47

39. 一些例子: • 兩個長方形（任兩邊都不重疊）最多有ａ個交點，兩個圓（不同圓心）最多有ｂ個交點，ａ＋ｂ＝？ • （1）6 • （2）8 • （3）10 • （4）12

40. 有一個五邊形，其中四個邊的長度分別是5、9、12、29公分，第五個邊的長度是ａ公分。有一個五邊形，其中四個邊的長度分別是5、9、12、29公分，第五個邊的長度是ａ公分。 • 甲說：ａ可以是2公分。 • 乙說：ａ可以是50公分。 • 丙說：ａ可以是70公分。 • 請問有多少個人的說法正確？ • （1）０　　 （2）１　　 （3）２　 　　（4）３

41. 台灣的面積是36000平方公里。在一個比例尺為50萬分之一的地圖上，台灣的面積是（　　）平方公尺？台灣的面積是36000平方公里。在一個比例尺為50萬分之一的地圖上，台灣的面積是（　　）平方公尺？

42. 111111111110÷8547 ＝13000012 ....8546 • 13000013×6＝78000078。 • 請問78000078×8547＝(　）？

43. 47×147＋（247＋□）×47＝23500， • □＝（　　）？

44. 甲工廠現有鋁錠1047公斤、連接劑85公升、鐵線210公尺。甲工廠現有鋁錠1047公斤、連接劑85公升、鐵線210公尺。 • 甲工廠要完成一件成品需要用掉鋁錠23公斤、連接劑2公升、鐵線5公尺。如果甲工廠要盡量把成品做完，最多可以做甲件成品，剩下鋁錠a公斤、連接劑b公升、鐵線c公尺。請問甲＝（　　）？ • a＋b＋c＝（　　）？

45. 小明以1公尺為單位，使用四捨五入法量四條繩子的長度。小明以1公尺為單位，使用四捨五入法量四條繩子的長度。 • 小明量出甲繩長20公尺，乙繩長30公尺，丙繩長40公尺，丙繩長50公尺。 • 如果將這４條繩子接起來，再用四捨五入法量一次，繩長可能是幾 公尺？（請寫出所有可能的答案）

46. 整數甲除以86的商數是8.4（四捨五入法取概數到小數第一位），請問甲數可能是多少？整數甲除以86的商數是8.4（四捨五入法取概數到小數第一位），請問甲數可能是多少？

47. 甲÷37=467……7。 • 甲÷37=( ) (使用四捨五入法，商數算到小數第二位)。

48. 3點8分時，分針與時針兩針的夾角是多少度？ • （1）38度 （2）42度 • （3）46度 （4）50度 • 4點到5點，時針與分針兩針何時成直角？

49. ａ、ｂ、ｃ是任意正整數，請問下列敘述何者正確?ａ、ｂ、ｃ是任意正整數，請問下列敘述何者正確? • ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。 • ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）。 • ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）。 • ａ×ｂ÷ｃ＝ａ÷ｂ×ｃ。

50. 甲：乙＝１０：１， • 乙：丙＝１０：１， • 丙：丁＝１０：１， • 丁：戊＝１０：１， • 戊：己＝１０：１， • 己：庚＝１０：１， • 庚：辛＝１０：１， • 辛：任＝１０：１， • 任：葵＝１０：１。