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數學評量 國立臺南師範學院數學教育系 謝 堅. 為什麼學校考試的試題,絕大多數都是我們 ( 或學童 ) 熟悉的題目? 為什麼老師們不喜歡出沒有見過 ( 或不常見到 ) 的題目 ? 沒有見過的題目,漂亮的題目, 是怎麼冒出來的?. 困難,但是算過的題目 。 簡單 ,但是沒有看過的題目 。 簡單 ,但是文字描述很長的題目 。 那些是學童無法得分的題目 ? 為什麼學童害怕這些簡單的題目 ?. 如果要你命一份紙筆測驗 ,你會注意那些事項 ? 你如何命一份紙筆測驗 ?.
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數學評量 • 國立臺南師範學院數學教育系 • 謝 堅
為什麼學校考試的試題,絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目?為什麼學校考試的試題,絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目? • 為什麼老師們不喜歡出沒有見過(或不常見到)的題目? • 沒有見過的題目,漂亮的題目, 是怎麼冒出來的?
困難,但是算過的題目。 • 簡單,但是沒有看過的題目。 • 簡單,但是文字描述很長的題目。 • 那些是學童無法得分的題目? • 為什麼學童害怕這些簡單的題目?
如果要你命一份紙筆測驗,你會注意那些事項?如果要你命一份紙筆測驗,你會注意那些事項? • 你如何命一份紙筆測驗?
參考課本、 習作、參考書的例題及習題,或參考書局光碟的題庫、 考古題等題目,再透過改數字,改情境, 轉化題型(填充題 改成選擇題)等方式命題。
不參考任何試題(或者只是純參考, 但是不使用),依據考試範圍的教學目標、重要的數學概念、上課時學童混淆的教材以及重點教材,憑空想題目。
為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題,讓部份大學數學系的教授在規定的時間內,無法答完所有的考題?為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題,讓部份大學數學系的教授在規定的時間內,無法答完所有的考題? • 為什麼現在國中升高中的基本學力測驗數學科的考題,所有大學數學系的教授都能在規定的時間內答完所有的考題,而且多數問題不必計算就能夠看到答案?
基本學力測驗的命題方式,和以前聯考的命題方式,有那些改變?基本學力測驗的命題方式,和以前聯考的命題方式,有那些改變? • 準備數學基本學力測驗與準備以前數學科聯考: • 學童讀書的方式是否要改變? • 教師教學的方式是否要改變? • 評量命題的方式是否要改變?
課本給一些例子,幫助學童抽象 • 數學概念。 • 課本給一些例題,幫助學童澄清 • 數學概念。 • 課本給一些習題,檢查學童是否 • 掌握該數學概念。
參考書給一些例題,延伸課本的 • 數學概念。 • 參考書給一些習題,檢查該學童 • 是否掌握延伸的數學概念。 • 以前聯考數學試題,常由課本或參考書的例題或習題為出發點命題。
現在基本學測數學科的試題: • 只要題目和參考書的題目雷同,一定不會變成學測的試題。 • 由概念或生活情境直接命題。
如果試題以參考書的例題或習題為出發點,一路走來的學生,很容易抓到命題的脈動,不必回溯至原始的數學概念,就可以成功解題。如果試題以參考書的例題或習題為出發點,一路走來的學生,很容易抓到命題的脈動,不必回溯至原始的數學概念,就可以成功解題。 • 沒有一路走來的教授,必須由原始的概念出發,思考如何解題,因此必須花較多的思考時間,才能夠解題成功。
算很多題目,對考試是否有幫助? • 小範圍的考試 (例如月考) • vs • 大範圍的考試(例如基本學測)
由概念出發的考題 • vs • 由課本或參考書轉化的考題
全國統一的教科書 • vs • 一綱多本的教科書
如何命一個沒有見過的新題目? • 由數學概念開始思考: • 由日常生活情境開始尋找:
由數學概念開始思考: • 嘗試創造與生活情境無關,但是可以澄清或延伸數學概念的考題。 • 嘗試尋找生活情境中有那些現象或問題,可以透過數學概念解題。
由日常生活情境開始尋找: • 嘗試在日常生活中尋找有趣或有規律的現象,判斷這些現象可以評量那些數學概念,並將這些現象轉換成考題。
面對問題「一瓶水4/5公升,3/11 瓶水有多少公升?」時,我們可以透過「分子乘以分子,分母乘以分母」的方式算出答案。 • 請問下面那些人的說法正確?
甲說:分母乘以分母,是將1瓶水 平分成55等份的意思。 • 乙說:分母乘以分母,是將1公升平分成55等份的意思。 • 丙說:分子乘以分子,是算有12個1/55瓶水的意思。 • 丁說:分子乘以分子,是算有12個1/55公升的水的意思。
(1)甲、丙的說法正確。 • (2)甲、丁的說法正確。 • (3)乙、丙的說法正確。 • (4)乙、丁的說法正確。
某特製腳踏車前輪半徑是20公分,在腳踏車前輪上(半徑外緣)加裝一個燈泡,讓腳踏車往前行走時燈泡會發光,請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。某特製腳踏車前輪半徑是20公分,在腳踏車前輪上(半徑外緣)加裝一個燈泡,讓腳踏車往前行走時燈泡會發光,請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。 • 也可以改成選擇題。 • 此題是日常生活中可能存在的情境。
一個邊長是10公分的正方體黏土,將這個正方體黏土揉成一個球, 請問下列敘述何者正確?
球的直徑比10公分長,球的體積是1000立方公分。球的直徑比10公分長,球的體積是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分長,但是球的體積不是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分短,球的體積是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分短,但是球的體積不是1000立方公分。
有一棵神木,二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈,請問神木的直徑大約是幾公分?有一棵神木,二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈,請問神木的直徑大約是幾公分? • 100公分。 • 500公分。 • 1000公分。 • 2000公分。
上體育課或休閒時,你在籃球場打過籃球嗎?估算看看,籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍?上體育課或休閒時,你在籃球場打過籃球嗎?估算看看,籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍? • 也可以考教室的面積是這張考卷的多少倍(學童可以同時看到教室與考卷)。
數學是為了解決日常生活問題而產生的學問。 • 但是數學公式或數學模型無法解決日常生活中所有的問題,它們只能解決在某些限制下(透過定義或約定俗成)所形成的問題。 • 數學概念清楚,才能解決日常生活中的問題。
將7塊蔥油餅平分給4個人,全部分完,每個人可以分到多少蔥油餅?將7塊蔥油餅平分給4個人,全部分完,每個人可以分到多少蔥油餅? • 7/4 • 1+3/4 • 1+1/2+1/4 • 那一個答案比較合理?
當全國使用同一套數學課本時, 數學問題的題意不清,不會引起太大的困擾,因為大家很容易形成解題的共識。 • 當全國使用多種數學課本時,學測的命題者必須出一些大家沒有見過的數學問題,為了將問題的情境描述清楚,題目會變的很長。
選擇題命題時應注意事項: • 選項的個數: • 如果涉及統計(量的研究)作業,選項個數最好一致)。 • 能產生多少個良好的誘答項,是決定選項個數的重要因素。
選項答案出現頻率: • 採隨機亂數編寫選項 • 選項出現的頻率儘量相同 • 為了閱卷方便,形成有規律或容易記憶的答案。
如何製作合理的誘答項: • 教師應思考多數學童可能出現錯誤的答案,讓最多數的學童都有答案可以選。
以71-25=?為例 • 學童可能出現那些答案? • 標準答案:46 • 錯誤答案:56,54,51,50,95,44…. • 那些是學童最發生錯誤機率最大的答案?
『以上皆非』,『以上皆是』, 適合當做選項嗎? • 『以上皆是』最好不要出現。 • 『以上皆非』應考慮出現的時機。
題組: • 併聯型的題組(每個問題都是獨立的,前面的問題不會,不影響後面問題的作答)。 • 串聯型的題組(前面的問題不會或答錯,影響後面問題的作答)。 • 儘量命併聯型的題組。 • 什麼情境適合命串聯型的題組?
時針一小時轉1大格,分針一小時轉1圈,秒針一秒鐘轉1小格。時針一小時轉1大格,分針一小時轉1圈,秒針一秒鐘轉1小格。 • 分針330秒鐘轉( )小格? • 時針150分鐘轉( )大格? • 秒針1小時轉( )圈? • (如果答案不是整數,可以使用小數表示,也可以使用分數表示)
(1)a=56、b=48 • (2)a=56、b=67 • (3)a=57、b=66 • (4)a=57、b=47
一些例子: • 兩個長方形(任兩邊都不重疊)最多有a個交點,兩個圓(不同圓心)最多有b個交點,a+b=? • (1)6 • (2)8 • (3)10 • (4)12
有一個五邊形,其中四個邊的長度分別是5、9、12、29公分,第五個邊的長度是a公分。有一個五邊形,其中四個邊的長度分別是5、9、12、29公分,第五個邊的長度是a公分。 • 甲說:a可以是2公分。 • 乙說:a可以是50公分。 • 丙說:a可以是70公分。 • 請問有多少個人的說法正確? • (1)0 (2)1 (3)2 (4)3
台灣的面積是36000平方公里。在一個比例尺為50萬分之一的地圖上,台灣的面積是( )平方公尺?台灣的面積是36000平方公里。在一個比例尺為50萬分之一的地圖上,台灣的面積是( )平方公尺?
111111111110÷8547 =13000012 ....8546 • 13000013×6=78000078。 • 請問78000078×8547=( )?
47×147+(247+□)×47=23500, • □=( )?
甲工廠現有鋁錠1047公斤、連接劑85公升、鐵線210公尺。甲工廠現有鋁錠1047公斤、連接劑85公升、鐵線210公尺。 • 甲工廠要完成一件成品需要用掉鋁錠23公斤、連接劑2公升、鐵線5公尺。如果甲工廠要盡量把成品做完,最多可以做甲件成品,剩下鋁錠a公斤、連接劑b公升、鐵線c公尺。請問甲=( )? • a+b+c=( )?
小明以1公尺為單位,使用四捨五入法量四條繩子的長度。小明以1公尺為單位,使用四捨五入法量四條繩子的長度。 • 小明量出甲繩長20公尺,乙繩長30公尺,丙繩長40公尺,丙繩長50公尺。 • 如果將這4條繩子接起來,再用四捨五入法量一次,繩長可能是幾 公尺?(請寫出所有可能的答案)
整數甲除以86的商數是8.4(四捨五入法取概數到小數第一位),請問甲數可能是多少?整數甲除以86的商數是8.4(四捨五入法取概數到小數第一位),請問甲數可能是多少?
甲÷37=467……7。 • 甲÷37=( ) (使用四捨五入法,商數算到小數第二位)。
3點8分時,分針與時針兩針的夾角是多少度? • (1)38度 (2)42度 • (3)46度 (4)50度 • 4點到5點,時針與分針兩針何時成直角?
a、b、c是任意正整數,請問下列敘述何者正確?a、b、c是任意正整數,請問下列敘述何者正確? • a÷b×c=a÷(b×c)。 • a÷b÷c=a÷(b÷c)。 • a×b÷c=a×(b÷c)。 • a×b÷c=a÷b×c。
甲:乙=10:1, • 乙:丙=10:1, • 丙:丁=10:1, • 丁:戊=10:1, • 戊:己=10:1, • 己:庚=10:1, • 庚:辛=10:1, • 辛:任=10:1, • 任:葵=10:1。