第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍

单纯形法的矩阵描述 • 改进单纯形法介绍第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍继续返回

设线性规划问题 不妨设基为则单纯形法的矩阵描述基变量非基变量

令得当前的基解为： 其中单纯形法的矩阵描述约束方程组当前基解

令得当前的目标函数值为： 单纯形法的矩阵描述目标函数当前目标值

其中当前对应的系数列单纯形法的矩阵描述检验数当前检验数

化为标准型，引入松弛变量 矩阵单纯形法计算的描述线性规划问题

非基变量 基变量初始单纯形表矩阵单纯形法计算的描述初始基变量

当基变量为时，新的单纯形表 基变量非基变量矩阵单纯形法计算的描述当前检验数当前基解

修正单纯形法简介 • 原因：单纯形法的目的是要求问题的最优解，而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与求最优解关系不大。因此，对单纯形法进行修正。 • 思路：每次迭代关键求出需要换入的变量对应的列

修正单纯形法的优点： • 能够从问题的原来参数（A，b，C），计算出单纯形表中所有的数据，只要导出即可。 • 单纯形表中的任一数字，只要作部分的矩阵乘法即可获得。修正单纯形法简介

当换入变量，换出变量时， 新的为：修正单纯形法简介 • 有关公式：

其中修正单纯形法简介确定新的换入变量 • 有关公式：单纯形乘子（行向量）确定新的换出变量

修正单纯形法要点： 寻求初始可行解，方法与单纯形法相同。其迭代过程如下： • 确定换入变量，方法与单纯形法相同。 • 确定换出变量，方法与单纯形法相同。 • 确定新的基可行解： • 首先导出B-1 • 然后计算XB= B-1 b • 迭代终止原则与单纯形法相同。修正单纯形法简介

第二节变量有界的 大规模线性规划返回

1、基本可行解概念的推广 • 考虑线性规划问题： A为m*n,秩为m 基本解X(0) ：X(0)为AX=b的一个解，其中m个分量对应A 的列线性无关，其余n-m个分量取上界或下界值。基本可行解X(0) ：基本解X(0) 中m个基变量的值介于上下界之间。

推广基本可行解的表达式： 推广基本可行解集与可行域凸集K的极点集等价

2、基本可行解的改进 • 设X(0)是一个基本可行解目标函数值

讨论最优性条件 • 换入变量？ • 换出变量？

讨论最优性条件 • 设x是线性规划（LP）的一个基本可行解，若对每个取下界值的非基变量，有对每个取上界值的非基变量，有则x是最优解。

3、计算步骤 • 例、解下列线性规划问题：

第三节可分解的 大规模线性规划学生讨论报告返回

线性规划应用 －－－数据包络分析法数据包络分析法（Data Envelopment Analysis, 简称DEA），是著名运筹学家 A.Charnes和W.W.Copper等学者以“相对效率”概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位（部门）进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方法。

重要概念 决策单元（Decision Making Units,简称DMU）一个经济系统可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的产品的活动，这样的单元就被称为决策单元。(当然，一个单元的不同时间阶段也可以看做是不同的决策单元）。特点：具有一定的输入和输出在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策目标。

重要概念 决策单元的相对有效性评价的依据是决策单元的“输入”和“输出”数据，根据输入和输出数据来评价决策单元的优劣。决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣）被称为DEA有效，它用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，为评价对象作出评价。

DEA步骤 假设设某个DMU的输入向量为 , 输出向量为。则n个（）对应的输入、输出向量分别为：而且即每个决策单元都有m种类型的输入以及s种类型的输出为第j个决策单元对第i种类型输入的投入量；为第j个决策单元对第r种类型输出的产出量。这些都是已知的数据。

DEA步骤 假设现在，我们是要最优化这些决策单元，那么我们假设一个假想决策单元满足产出最大，同时投入最小。在此基础上，我们来判断是否真的满足该条件。因此，我们假设该决策单元的第i项投入为产出为且

构造数学模型 我们进行检验，先假设存在其他的决策单元组合的产出不低于而且投入尽可能的比小，构造数学模型如下：

求解并判断 当求解结果为时，说明存在其他的决策单元比该决策单元更满足条件，所以，该决策单元非DEA有效；当时，该决策单元DEA有效。并可以根据所求得的最优解重新分配各决策单元的比例，也就是系数 ,再生成新的决策单元，又继续检验。

表1-16 产出单位：处理笔数/月习题例8 振华银行的4个分理处的投入产出情况如表1-16所示。要求分别确定各分理处的运行是否DEA有效。

解：根据数据包络法，我们假设构造一个决策单元组合，使得其第i个项的投入为第r项的产出为 且然后，让我们以分理处1为例，将分理处1作为，来判断分理处1的运行是否 DEA有效。建立数学模型如下：

将该模型代入到Excel电子表格中进行求解得θ=1。将该模型代入到Excel电子表格中进行求解得θ=1。

同理分别以分理处2，3，4作为要衡量的决策单元，得θ=0.966，1，1。同理分别以分理处2，3，4作为要衡量的决策单元，得θ=0.966，1，1。因此，这几个分理处的有效性见下表：

DEA在评价城市发展的可持续性中的应用 案例背景分析目前对城市可持续发展影响最大的是环境问题。所以，我们把城市的可持续发展系统视作DEA中的一个决策单元，它具有特定的输入输出，在将输入转化成输出的过程中，努力实现系统的可持续发展目标。现在，我们利用DEA方法对天津市的可持续发展进行评价。在这里选取具有代表性的指标作为输入变量和输出变量。输入变量：政府财政收入占GDP的比重、环保投资占GDP的比重、每千人科技人员数；输出变量：经济发展（用人均GDP表示）、环境发展（用城市环境质量指数表示，在计算过程中，城市环境指数的数值作了归一化处理）。（具体数值见下表）

同样的,我们以序号1（1990年）为例建立数学模型同样的,我们以序号1（1990年）为例建立数学模型

同样将该模型代入到Excel电子表格中进行求解得θ=0.2854同样将该模型代入到Excel电子表格中进行求解得θ=0.2854 同理可得其他的θ的最优解,所有决策单元的结果如下表所示: 我们可以看到θ值逐年增加,而1997年开始有效。显而易见,天津市在20世纪90年代的发展是朝着可持续发展的方向前进的,并且在1997年以后取得了显著效果。

第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍