Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

1. Θεωρία ΓραφημάτωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 4: Συνδεσμικότητα

2. Εισαγωγή (1) • Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας» .....

3. Εισαγωγή (2) • Σύνολο κόμβων τομήςV’ είναι το σύνολο των κόμβων, τέτοιο ώστε το γράφημα G-V  να μην είναι συνδεδεμένο ή να είναι τετριμμένο, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του V  με την ίδια ιδιότητα (vertex cut set, vertex separating set). • Συνδεσμικότητα κόμβων VC(G) ενός γραφήματος G είναι το ελάχιστο k=|V’|, ώστε το γράφημα G να έχει ένα σύνολο από k κόμβους τομής (vertex connectivity). • Ένα γράφημα G λέγεται k-συνδεδεμένο αν VC(G)≥ k. • k-συνδεδεμένο  η διαγραφή k < k κόμβων δημιουργεί μη-τετριμμένο συνεκτικό γράφημα k(G) ≥ k VC(G) k ≤ VC(G)

4. Εισαγωγή (2) • Θεώρημα: Ένας κόμβος ενός δένδρου v είναι κόμβος • τομής αν και μόνον αν d(v) > 1. ----------------------> • Τετριμμένο γράφημα • Μη συνεκτικό γράφημα • Πλήρες Γράφημα VC(G)=n-1 VC(G)=0, αλλιώς VC(G)≥1

5. Θεώρημα

6. Εισαγωγή (3) • Πόρισμα: Κάθε απλό συνδεδεμένο γράφημα έχει τουλάχιστον 2 κόμβους που δεν είναι κόμβοι τομής.

7. Εισαγωγή (3) • Θεώρημα: Ένας κόμβος v είναι κόμβος τομής αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κόμβοι u και w (u,w<>v), ώστε ο κόμβος v να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από τον u προς τον w.

8. Εισαγωγή (4) • Σύνολο ακμών τομής Ε  είναι το σύνολο των ακμών ώστε το γράφημα G-E να μην είναι συνδεδεμένο, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Ε  με την ίδια ιδιότητα (edge cut set, edge separating set) • Συνδεσμικότητα ακμώνEC(G) ενός γραφήματος G είναι το ελάχιστο k=|E |, ώστε το γράφημα G να έχει ένα σύνολο από k ακμές τομής (edge connectivity) • Ένα γράφημα G λέγεται k-συνδεδεμένο ως προς τις ακμές αν EC(G)>=k • Θεώρημα:Μια ακμή e είναι ακμή τομής αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κόμβοι u και w, τέτοιοι ώστε η ακμή e να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από τον κόμβο u προς στον w.

9. Εισαγωγή (5) • Θεώρημα: Μια ακμή είναι ακμή τομής αν και μόνον αν δεν περιέχεται σε κύκλο. • Θεώρημα Whitney:VC(G)<=EC(G)<=d(G). • Πόρισμα:EC(G)<=floor(2m/n). • Θεώρημα: Έστω 1<= l <= n-1. Αν d(G)>=(n+ l-2)/2, τότε ο G είναι l-συνδεδεμένος.

10. Θεώρημα: e ακμή τομής εάν –ν δεν περιέχεται σε κύκλο - Απόδειξη

11. Θεώρημα: e ακμή τομής εάν –ν δεν περιέχεται σε κύκλο u v P

12. Θεώρημα: e ακμή τομής εάν –ν δεν περιέχεται σε κύκλο

13. ΘεώρημαChartrand – Harary, 1968

14. Τεμάχια Γράφου (1) • Ένας δισυνδεδεμένο (biconnected) γράφημα δεν έχει κόμβους τομής. Ένα τέτοιο γράφημα αποτελεί ένα τεμάχιο (block) ή μια δισυνιστώσα (bicomponent). • Εσωτερικά ξένα μονοπάτια (internally disjoint paths) είναιδύο μονοπάτια με κοινούς τερματικούς κόμβους, χωρίς άλλες κοινούς κόμβους. • Θεώρημα Whitney: Ένα γράφημα είναι δισυνδεδεμένο αν και μόνον αν 2 οποιοιδήποτε κόμβοι του είναι συνδεδεμένοι με τουλάχιστον 2 εξωτερικά ξένα μονοπάτια. • Πόρισμα: Αν ένας γράφος είναι δισυνδεδεμένος, τότε δύο οποιεσδήποτε κορυφές του ανήκουν σε έναν κύκλο y u P1 y u Κάθε ακμή σε κύκλο P2

15. Τεμάχια Γράφου (2) • Πόρισμα: Αν ένα γράφημα αποτελείται από ένα τεμάχιο με n>=3, τότε δύο οποιεσδήποτε ακμές του ανήκουν σε έναν κύκλο. • Θεώρημα Menger: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από ένα κόμβο u σε ένα κόμβο v ισούται με τον ελάχιστο αριθμό κόμβων που χωρίζουν τους κόμβους u και v. • Θεώρημα: Ένα γράφημα είναι k-συνδεδεμένο αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κόμβων ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια.

16. Τεμάχια Γράφου (3) • Θεώρημα: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από ένα κόμβο u σε ένα κόμβο v ισούται με τον ελάχιστο αριθμό ακμών που χωρίζουν τους κόμβους u και v. • Θεώρημα: Ένα γράφημα είναι k-συνδεδεμένο ως προς τις ακμές, αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κόμβων ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια.

17. Ισομορφισμός (1) • Δεν υπάρχει αποτελεσματικός αλγόριθμος για τη διαπίστωση της ισομορφικότητας δύο γραφημάτων. • Πρώτη λύση (η χειρότερη): Κρατούμε το ένα γράφημα σταθερό και επαναδιατάσσουμε τους κόμβους του άλλου. Εκτελούμε n2συγκρίσεις. Άρα η πολυπλοκότητα είναι τάξης Ο(n!n2)=O(nn). • Δεύτερη λύση: Αν το γράφημα είναι αποθηκευμένο με πίνακα πρόσπτωσης, τότε αρκεί ο πίνακας του ενός γραφήματος να μετατραπεί στον πίνακα του άλλου με τη βοήθεια αντιμεταθέσεων γραμμών ή/και στηλών. • Υπάρχουν αποτελεσματικοί αλγόριθμοι για ειδικές περιπτώσεις γραφημάτων.

18. Ισομορφισμός (2) • Τεχνάσματα για την εύκολη διαπίστωση αν δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά: • Ίδια τάξη • Ίδιο μέγεθος • Ίδια ακολουθία βαθμών • Ίδιος αριθμός συνιστωσών • Για κάθε συνιστώσα του (4) απαντώνται θετικά οι πρώτες τρεις ερωτήσεις; • Έχουν οι δύο γράφοι το ίδιο χρωματικό πολυώνυμο; • Για n<8, αν όλες οι ερωτήσεις απαντηθούν θετικά, τότε τα γραφήματα είναι ισομορφικά.

19. Ισομορφισμός (3) y u z y y y z

20. Ισομορφισμός (4) • Δύο γραφήματα είναι 1-ισομορφικά αν καθίστανται ισομορφικά μετά την επανειλλημένη διάσπαση των κόμβων τομής. Αν το γράφημα αποτελείται από ένα τεμάχιο, τότε η έννοια της 1-ισομορφικότητας ταυτίζεται με την έννοια της ισομορφικότητας. • Θεώρημα: Αν δύο γραφήματα είναι ισομορφικά, τότε ισούνται η σειρά και η μηδενικότητά τους. • Δύο γραφήματα έχουν αντιστοιχία κύκλων, αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ακμών και κύκλων. • Θεώρημα: Δύο 1-ισομορφικά γραφήματα έχουν αντιστοιχία κύκλων.

21. Ισομορφισμός (5) • Δύο γραφήματα είναι 2-ισομορφικά αν καθίστανται ισομορφικά μετά την επανειλημμένη εφαρμογή των πράξεων • Διασπώντας τις ακμές τομής, ή/και • Επανασυνδέοντας τα υπογραφήματα αλλάζοντας τα σημεία σύνδεσης. • Δύο ισομορφικά γραφήματα είναι 1-ισομορφικά, δύο 1-ισομορφικοί γράφοι είναι 2-ισομορφικοί. Το αντίθετο δεν ισχύει.

22. Ισομορφισμός (5) • Θεώρημα: Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν και μόνον αν έχουν αντιστοιχία κύκλων.

23. Αλγόριθμοι (1) • Bfs-Moore-1959-χρήση ουράς. • Dfs-Hopcroft-Tarjan-1973-χρήση στοίβας. • Χρησιμοποιούνται για επίσκεψη κόμβων, εύρεση συνιστωσών, εύρεση αποστάσεων.

24. Αλγόριθμοι (2) • Παράδειγμα εύρεσης αποκοπτουσών κόμβων (σημείων άρθρωσης) με dfs. • Απαιτείται ο υπολογισμός των dfi(v) και l(v) για κάθε v. Για τον κόμβο v, το l(v) είναι το ελάχιστο των τριών ποσοτήτων: • dfi(v) • l(s), όπου το s γιός του v • dfi(w), όπου w είναι κορυφή με οπίσθια ακμή (v,w)

25. Αλγόριθμοι (3) • Ένας κόμβος v είναι κόμβος τομής αν: • Είναι ρίζα δένδρου και έχει περισσότερο από 1 παιδιά. • Δεν είναι ρίζα δένδρου, αλλά έχει dfi(v) <= l(s), όπου s γιός του v.

26. Αλγόριθμος για κόμβους τομής

27. Αλγόριθμος για κόμβους τομής

28. Θεώρημα (για κόμβους τομής)

29. Κόμβοι τομής

30. Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (1) • Το πρόβλημα του συνδέσμου είναι το γνωστό πρόβλημα της εύρεσης των ελάχιστων ζευγνυόντων δένδρων. • Ένα ελάχιστο ζευγνύον δένδρο έχει συνδεσμικότητα κορυφών/ακμών ίση με 1. • Το γενικευμένο πρόβλημα του συνδέσμου είναι «να βρεθεί το υπογράφημα δοθέντος γραφήματος ελάχιστου βάρος, ώστε η συνδεσμικότητα να ισούται με l. Αν l=1, τότε τα προβλήματα ταυτίζονται. n≥3 Πιο αξιόπιστο VC(G)=1 EC(G)=3 VC(H)=EC(H)=4

31. Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (2) • Θα θεωρηθεί η περίπτωση μη ζυγισμένου γράφου. Σκοπός είναι η εύρεση του πλήρους υπογραφήματος H1n με τον ελάχιστο αριθμό ακμών και κόμβων αριθμημένων από 0 ως n-1. • Ο αλγοριθμος έχει τρεις περιπτώσεις: • lάρτιο (l=2r). • lπεριττό (l=2r+1), n άρτιο. • lπεριττό (l=2r+1), n περιττό.

32. Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (3) • Ο αλγόριθμος έχει τρεις περιπτώσεις: • lάρτιο (l=2r). Δύο κόμβοι i και j είναι γειτονικοί, αν i-r<=j<=i+r • lπεριττό (l=2r+1), n άρτιο. Κατασκευάζεται το γράφημα H2r,n (εφαρμόζεται η προηγούμενη σχέση), ενώ επίσης δύο κόμβοι i και i+n/2 ενώνονται για 1<=i<=n/2. • lπεριττό (l=2r+1), n περιττό. Κατασκευάζεται το γράφημα H2r,n, ενώ επίσης ενώνεται ο κόμβος 0 με τους (n-1)/2 και (n+1)/2 και τον κόμβο l με τον κόμβο i+(n+1)/2 για 1<= i <= (n-1)/2.

33. Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (3) • Θεώρημα: Το γράφημα Η1,n είναι l-συνδεδεμένο. • Θεώρημα: Ο ελάχιστος αριθμός ακμών του γραφήματος Η1,n είναι ceil(ln/2). H4,8 H5,8 H5,9