第八章 函 数

1. 第八章 函 数 8.1 函数的定义与性质 8.2 函数的复合与反函数

2. 设 为二元关系，若 都存在唯一的 使 成立，则称 为函数。 由集合相等的条件知，对函数 ， 有 8.1 函数的定义与性质 函数是一种特殊的二元关系

3. 所有从 到 的函数的集合记作 ，读作“B上A”，即 若 ，且 则 例 设 求 设 A 、B 为集合，如果f为函数，dim=A,ranB 则称f 为从A 到B 的函数，记作

4. （2）令 ，称 为 在 下的完全原像。 设函数f:AB A1A B1 B （1）令f(A1)={y|xA1,f(x)=y }，称f(A1)为 A1在 f 下的像,特别地当 A1=A 时，称f(A1) 为函数的像。

5. （1）若 则称 是满射的。 （2）若 都存在唯一的 使得 则称 是单射。 （3）若 既是满射又是单射的，则称 是双射的。 设函数

6. 例 8.4 判断下列函数是否为单射、满射、双射，为什么？ （1） （2） （3） （4） （5）

7. （1） （2） ， 同(1) （3） ， 同(1) 例 对给定的 A ，B 和 f，判断是否构成函数，如果是，说明是单射，满射，还是双射，并按要求计算。

8. （4） （5） （6） 令 ， 计算 （7） 计算

9. (1) (2) (3) (4) 例 对于给定的集合 和 构造双射函数

10. 设 ，如果存在 使得对所有的 都有 称 上的恒等关系 为 上的恒等函数，对所有 的 都有 常用函数 (1) 常函数 (2) 恒等函数

11. 如果对任意的 就有 则称 为严格单调递增的。 (3) 单调函数 设 为偏序集， ，如果 对任意的 ， 则称 为单调递增的；

12. 设 为集合，对于任意的 的特征 函数 定义为 设 是 上的等价关系，令 称 为从 到商集 的自然映射 (4) 特征函数 (5) 自然映射

13. TH1 设 是函数，则 也是函数，且满足 (1) (2) 有 8.2 函数的复合与反函数 函数的复合

14. 推论2 设 ，则 且 都有 推论1 设 为函数，则 和 都是函数，且

15. (1) 若 都是满射的， 则 也是满射的。 (2) 若 都是单射的， 则 也是单射的。 (3) 若 都是双射的， 则 也是双射的。 TH2 设

16. 一个函数 的逆 不一定是函数。 一个函数 的逆 不一定是函数。 一个函数 的逆 不一定是函数。 一个函数 的逆 不一定是函数。 一个函数 的逆 不一定是函数。 TH4 设 是双射的，则 也是双射的 一个双射函数 的逆 是它的反函数。 TH3 设 则有 反函数

17. 定理8.5 设 f:AB是双射，则

18. 例 设 求 若 和 存在反函数，求出它们的 反函数。