简谐振动

1. 第六章 振 动 (Vibration) 章节简介 特征量 特征分析 简谐振动 动力学原因 描述方法 动力学方程 能量 阻尼振动 受迫振动 振动的合成 共 振 本章重点讨论简谐振动的运动特征，在此基础上进一步讨论一个质点同时参与两个振动的情况以及有阻力存在时振动的情形。 （课时数：共三讲，6学时）

2. 第十四讲 振动的描述及动力学原因 主要内容：简谐振动的概念，描述简谐振动的几个特征量， 运动的几何描述方法，运动的动力学方程 重点要求：正确理解相位的概念 难点理解：旋转矢量法 数学方法：周期性函数，建立相应的微分方程 典型示例：已知振动方程，求特征量；已知运动情况，求振动方程 课外练习：习题6.1, 6.2, 6.7, 6.8, 6.11

3. 6.1 简谐振动 一　简谐振动的概念 特征参量 振幅, 离开平衡位置的最大位移。 圆频率, 周期, 完成一次全振动所需的时间 频率, 单位时间内所作的全振动的次数 初位相, 简谐振动的特征参量. 特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )

4. (m) 0.02 t (s) x 0 1.0 0.5 t o m o x x0 = 0 二. 简谐振动的描述方法 1 解析法 由 x=Acos( t+ ) 已知表达式  A、T、 已知A、T、 表达式 2 振动曲线法 =  /2 A T -A 已知曲线  A、T、 已知 A、T、 曲线

5. 当= 2k , o 当= (2k+1) , 3 旋转矢量法 三. 相位差 初相差 对两同频率的谐振动 • 同相和反相 ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相 ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反 , 称反相 。

6. ω x o A2 A1 o t x ω x o o A2 A1 x t A1 x1 x2 A2 T 同相 - A2 -A1 A1 x1 A2 T 反相 - A2 x2 -A1

7. x ω A2 x2 A1 T A2 o x1 t o -A1 A1 x - A2 >0 • 超前和落后 则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前(或x1比x2落后)。 领先、落后以< 的相位角来判断 四.简谐振动的速度、加速度 1.速度

8. x、v、a a  2A v  A A x o t -A - A - 2A • 速度也是简谐振动 v比x领先/2 2. 加速度 也是简谐振动 T v > 0 > 0 < 0 < 0 a < 0 < 0 > 0 > 0 减速 加速 减速 加速

9. 振动方程为 例一： 已知一弹簧振子， （1）试画出旋转矢量图； （2）在旋转矢量图上标出与以下六个状态所对应的振幅矢量的位置 ③ ② ① x ① O ② ⑤ ⑥ ④ ① ③ ② A ④ ③ x ⑤ ④ ⑥ ⑥ ⑤

10. 例二 一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s，质点对平衡位置的位移 x0 =0.06m,此时刻质点向x轴正向运动。求： （1）此简谐振动的表达式； （2）t=T/4时，质点的位置、速度、加速度； （3）从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。 解 （1）取平衡位置为坐标原点。设简谐振动的数学表达式为 其中 由初始条件t=0时， x0 =0.06m可求初相

11. o x 这两个值中取哪个，要看初始速度条件。由于 >0 此简谐振动的表达式为 （2） 此简谐振动的速度 加速度为

12. o o x x 将t=T/4=0.5s代入得 t=T/4 （3） 通过平衡位置时，x=0,由位移表达式得

13. 简谐振动的证明： 1 2 • 6.2简谐振动的动力学问题 1. 作简谐运动的加速度对于平衡位置的位移的关系 根据牛顿第二定律,

14. o 例 复摆 c 弹簧振子？ 单摆？

15. 2. 简谐振动特征参量的确定 由系统本身的结构确定。 由初始条件确定。

16. x 例： 求系统的振动方程 解 设碰后系统处于平衡位置时弹簧的伸长量为Δ 碰后物体和盘一起向下运动位移为x时，由牛顿第二定律 由t=0初始时刻系统的状态确定

17. x 将A和 代入振动方程，即得到所求系统的振动方程 物体碰撞前的瞬间的速度 因发生非弹性碰撞， t=0时， （应在第三象限）

18. 第十五讲 简谐振动的能量及合成 主要内容：简谐振动的能量表达式及特征，简谐振动的合成 重点要求：简谐振动的能量特征，“拍”的形成 难点理解：一个质点同时参与两个振动 数学方法：解析法 典型示例：简谐振动系统的动能和势能，合振动的振幅和位相 课外练习：思考题6.9, 6.10. 习题6.14, 6.15

19. 6.3 简谐振动的能量 以弹簧振子为例 E (1/2)kA2 Ek Ep t o T x

20. E (1/2)kA2 Ek Ep t o T x 结论： * 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半. * 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比. * 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动。

21. M 例 如图所示，根据给定的条件（1）写出谐振子的振动方程 （2）求出x=A/2处系统的动能和势能 解 碰后一起运动的速度为V0 >0 设

22. o x • 6.4 简谐振动的合成 一 同一直线上 同频率简谐振动的合成 合振动仍然是同频率的简谐振动

23. 两种特殊情况 (1)若两分振动同相，  2 1=2k (k=0,1,2,…) 则A=A1+A2 , 两分振动合成的结果是振动加强 (2)若两分振动反相，  2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…) 则A=|A1-A2|, 两分振动合成的结果是振动减弱 如 A1=A2 , 则 A=0 一般情况：

24. 例 设n个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。求它们的合振动的振幅和位相。 在OCP中： 上两式相除得

25. 当 所以，合振动的表达式  讨论1： 即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。

26. 当 且 即： 这时各分振动 矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振 动的振幅为零。 o x 讨论2： 二 多个同方向同频率简谐振动的合成 多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的意义。

27. o X 三 同方向不同频率简谐振动合成 重合： 反向： 单位时间内A1比A2多转了 次 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频

28. x1 t x2 t x t 插入：

29. 第十六讲 简谐振动的合成及阻尼振动、受迫振动和共振 主要内容：两个互相垂直的简谐振动合成，阻尼振动、受迫振动 及共振 重点要求：两振动在不同位相时的合运动情形，有阻力作用时的 振动情况 难点理解：根据旋转矢量合成 数学方法：解析法，解微分方程 典型示例：简谐振动系统的动能和势能，合振动的振幅和位相 课外练习：思考题6.9, 6.10. 习题6.14, 6.15

30. 四 相互垂直的简谐振动的合成 1 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成

31. 上式是个平面曲线方程，具体形状由 分振动的振幅、 相位差决定。 质点的运动方向与 有关 当 质点沿顺时针方向运动； 当 质点沿逆时针方向运动。

32. y y y x x x 所以是在 直线上的运动。 所以是在 直线上的振动。 所以是在X轴半轴长为 ，Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。 1)、 2)、 3)、

33. y x 所以是在X轴半轴长为 ，Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。 4)、 5)、 质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。 6)、 则为任一椭圆方程。

34. 综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。

35. 2 两个互相垂直的不同频率的简谐振动的合成 如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。 条件: 位相差恒定，频率成简单整数比。 合成结果：李萨如图形。 用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率： 怎样根据李萨如图形测量频率？ 插入：

36. 6.5 阻尼振动 受迫振动 共振 （一） 阻尼振动 阻力与速度大小成正比，与其方向相反。 弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： 插入： 令：

37. 由初始条件决定A0和初相位 ,设 称 为振动系统的固有圆频率，称 为阻尼系数 （1） 方程的解: 即有：

38. 这种情况称为欠阻尼 方程的解: 欠阻尼 其中 是积分常数， 由初始条件来决定， 这种情况称为过阻尼 过阻尼 无振动发生。

39. （3）如果 方程的解： 是由初始条件决定的积分常数。 这种情况称之为临界阻尼 临界阻尼 无振动发生。

40. 设强迫力 （二） 受迫振动 共振 （1） 谐振子的受迫振动 阻尼力：

41. 其解为： 稳态解： 稳定态时的振幅为：

42. 求振幅 对频率的极值， 得出 共振的振幅。 共振的圆频率。 （2） 共振 振幅有极大值：