主 编：吴承霞 刘卫红

1. 主 编：吴承霞 刘卫红 单元5 构件内力计算及荷载效应组合

2. 5.1 内力的基本概念 5.2 静定结构内力计算 5.3 荷载效应组合 本章小结 目 录 单元5 构件内力计算及荷载效应组合

3. 单元5 构件内力计算及荷载效应组合 www.techbook.com.cn

4. 5.1 内力的基本概念 5.1 内力的基本概念

5. 5.1 内力的基本概念 用手拉一橡皮条，可以看到橡皮条被拉长了，同时感到橡皮条也在拉我们的手。如果手的拉力加大，橡皮条拉手的力也增大。当手的拉力取消时，橡皮条拉手的力也会消失。 www.techbook.com.cn

6. 5.1.1 内力 5.1 内力的基本概念 • 构件是由许多质点组成的变形体。即使构件不受外力作用，构件内部质点之间依然保持着相互作用的内力，使构件具有固定形状。由引例可以看出，当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间的相互位置也发生改变，这时各质点之间相互作用的内力也发生变化。这种由外力作用而引起的构件内部质点之间相互作用力的改变量称为附加内力，简称内力。 内力只与外力有关。

7. 5.1.2 截面法求解内力 5.1 内力的基本概念 • 用一个假想截面将杆件截开，任取其中一部分为研究对象，然后利用静力平衡条件确定内力的方法称为截面法。截面法是计算内力最基本的方法。 • 如图5.1(a)所示，构件处于平衡状态，现研究构件在外力作用下m—m截面上的内力。假想用一平面m—m把构件截开，分为Ⅰ、Ⅱ两部分，取其中任一部分Ⅰ为研究对象，画出Ⅰ部分的受力图（图5.1(b)），为了保持该部分处于平衡状态，在Ⅰ部分上除外力作用外，在m—m截面上还一定存在Ⅱ部分对Ⅰ部分的作用力FⅠ,即m—m截面上的内力。

8. 5.1 内力的基本概念 • 对Ⅰ段来讲，外力F1、F2和m—m截面上的内力使Ⅰ部分保持平衡，根据平衡条件就可以确定m—m截面上的内力。同样如以Ⅱ部分为研究对象画受力图，根据作用力与反作用力的原理，在m—m截面上也必然有FⅠ大小相等、方向相反的FⅡ作用于m—m截面（图5.1(c)），所以同一截面，无论取哪一段为研究对象均能确定该截面的内力。 图5.1 截面法

9. 5.1 内力的基本概念 • 据上所述，截面法求内力的步骤可归纳如下： • （1） 截开 • 要求杆件某一截面上的内力时，可假想地将杆件沿着这个截面截开，移去一部分，保留另一部分作为研究对象。 • （2） 代替 • 取一部分为研究对象，并用作用于截面上的内力代替移去部分对研究部分的作用，画出受力图。 • （3） 平衡 • 对研究部分建立平衡方程求解内力。

10. 5.1 内力的基本概念 取两根粗细不同但材质相同的绳子,用同样大小的外力去拉它们,当拉力逐渐增大时,细绳子先被拉断。

11. 5.1.3 应力 5.1 内力的基本概念 • 在引例中了解到，两根材质相同的绳子在同样的外力作用下，横截面上的内力是相等的，但由于两根绳子的截面面积不同，单位面积上分布的内力值也不相同，粗绳子截面面积大，单位面积上分布的内力小，而细绳子截面面积小，单位面积上分布的内力大，所以细绳子容易被拉断。因此，内力的大小不能作为杆件是否破坏的根据。杆件的破坏还与单位面积上分布的内力密度相关。

12. 5.1 内力的基本概念 • 一般把单位面积上的内力称为应力。应力反映了内力分布的密集程度（简称集度）。 • 应力是一个矢量，既有大小又有方向。应力的方向是任意的，当应力与截面垂直时称为正应力或法向应力，用“σ”表示。当应力与截面相切时称为切应力或剪应力，用“τ”表示。 • 在国际单位制中应力的单位是Pa（帕或帕斯卡）。 • 1 Pa=1 N/m2 • 应力的数值往往很大，常用Pa的106倍为常用单位，即MPa（兆帕）。 • 1 MPa=106 Pa=106 N/m2 • 1 MPa=1 N/mm2

13. 5.1.4 杆件变形的基本形式 5.1 内力的基本概念 • 土木工程中，将长度方向尺寸远大于横向尺寸的构件称为杆件。杆件各个截面的形心连线叫做轴线，轴线是直线的杆件称为直杆。杆件在不同的外力作用下会产生不同的变形，但基本变形形式有以下四种。 • (1) 轴向拉伸或压缩 • 当杆件受到大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对外力作用时，则杆件沿轴线方向产生伸长或缩短变形，这种变形称为轴向拉伸或压缩。图5.2(a)、(b)所示为杆件在轴向拉伸作用下，产生伸长变形。网架中的杆件(图5.2(c))将产生轴向拉伸或压缩变形。

14. 5.1 内力的基本概念 • 图5.2 轴向受力 • 轴向受拉杆件;(b) 轴向拉伸变形; • (c) 网架中的轴向受力杆件

15. 5.1 内力的基本概念 • （2） 剪切 • 当杆件受到大小相等、方向相反、作用线垂直于杆件轴线且相距很近的一对横向外力作用时，则杆件的横截面沿外力方向发生相对错动变形，这种变形称为剪切（图5.3(a)）。如被钢丝钳剪断的钢丝产生剪切破坏（图5.3(b)）。 图5.3 剪切 (a) 剪切变形杆件；（b） 钢丝绳剪切破坏

16. 5.1 内力的基本概念 • （3） 扭转 • 当杆件受到大小相等、转向相反、在垂直于杆件轴线的两个平面内的一对力偶作用时，则杆件横截面将产生绕轴线的相对转动变形，这种变形称为扭转（图5.4(a)）。如汽车的转动轴(图5.4(b))、雨篷梁(图5.4(c))均是（含有）扭转变形的构件。 • 图5.4工程中的扭转 • 受扭杆件； • (b) 汽车转动轴的受扭； • (c) 雨篷梁的受扭

17. 5.1 内力的基本概念 • （4） 弯曲 • 当杆件受到垂直于杆轴线的横向力或一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用时，杆件轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲（图5.5(a)）。如房屋建筑中阳台的挑梁将产生弯曲变形（图5.5(b)）。 图5.5 弯曲 (a) 直梁弯曲；(b) 阳台挑梁的弯曲

18. 5.2 静定结构内力计算 5.2 静定结构内力计算

19. 5.2.1 指定截面的内力 5.2 静定结构内力计算 • 以图5.6(a)为例，运用截面法计算杆件某一横截面m—m上的内力。为了显示杆件截面的内力，通常采用截面法。即用一个“假想截面”将杆件沿m—m截面截成左、右两部分，取左段为研究对象（图5.6（b））。由于整个杆件处于平衡状态，因此，左段也保持平衡，由平衡条件∑X=0可知，截面m—m上的内力一定沿着杆件的轴线方向，且FN=F,其指向背离截面。同样，若取右段为研究对象（图5.6（c）），可得到相同的结果。

20. 5.2 静定结构内力计算 • 作用线与杆件轴线重合的内力称为轴力，用符号FN表示。其方向背离截面的轴力为拉力，指向截面的轴力为压力。轴力正负号的规定：轴向受拉为正，轴向受压为负。 • 在国际单位制中，轴力的单位是牛顿（N）或千牛顿(kN)。 图5.6 轴力的求解图 求解内力时，先假定截面上的内力为正向。

21. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.1】图5.7（a）表示为阶梯状直杆的轴向受力情况,试计算各段轴力。 图5.7 直杆轴力的求解图

22. 5.2 静定结构内力计算 根据外力的作用点位置划分区段，计算各段的轴力。计算轴力时，均假设为正轴力（即背离截面方向）。 知识点2：受弯构件的内力——剪力、弯矩

23. 5.2 静定结构内力计算 • 图5.8（a）所示的跳板承受跳水运动员的荷载，图5.8（b）所示火车轮轴承受车厢的荷载，图5.8（c）支撑在桥墩上的桥梁承受上部荷载，这些构件在荷载作用下将会产生弯曲变形。 图5.8 工程中的受弯构件 (a) 跳板弯曲；(b) 火车轮轴弯曲；(c) 桥梁弯曲

24. 5.2 静定结构内力计算 • （1） 受弯构件 • 从引例中可以了解到，当构件受到垂直于构件轴线方向的荷载作用时，构件轴线由直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变形。以弯曲变形为主的构件称为受弯构件，梁和板是土木工程中最常见的受弯构件之一。轴线是直线的梁称为直梁。静定梁的三种基本形式是简支梁、外伸梁、悬臂梁。 想一想：火车轮轴、阳台挑梁简化为外伸梁、悬臂梁的原因。你还见过哪些结构可以简化成简支梁、外伸梁、悬臂梁？

25. 5.2 静定结构内力计算 • （2） 梁的内力 • 如图5.9(a)所示一简支梁受集中力F作用处于平衡状态。现用截面法求任一截面m—m上的内力。 • 剪力和弯矩的大小可由左段梁的静力平衡方程求得，即： 图5.9 梁内力的求解图 ∑Y=0, FAy-V=0, V=FAy ∑MC=0, M-FAyx=0, M=FAyx

26. 5.2 静定结构内力计算 图5.10 剪力的正负 （a） 正剪力；(b) 负剪力 图5.11 弯矩的正负 （a） 正弯矩；(b) 负弯矩

27. 5.2 静定结构内力计算 • (3) 用截面法计算梁指定截面的内力 • 用截面法计算梁指定截面内力的步骤如下： • ① 计算支座反力。 • ② 在欲求内力处用假想的截面将梁截成两段，取其中一段为研究对象。 • ③ 画出研究对象的受力图。由平衡条件可知，除保留作用在研究对象上的一切外力（含支座反力）之外，在截开的截面上还应有未知内力（剪力和弯矩），内力的方向先均假设为正号。 • ④ 建立平衡方程，求解内力。

28. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.2】简支梁如图5.12(a)所示，F1=F2=20 kN，试计算1—1、2—2截面上的剪力和弯矩。

29. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.3】如图5.13（a）所示悬臂梁，已知q=300 N/m, F=500 N，试计算1—1截面上的内力。 图5.13 悬臂梁内力的求解图

30. 5.2 静定结构内力计算 知识点3：受扭构件的内力——扭矩 如图5.14所示的雨篷梁受到雨篷板和墙体作用，雨篷梁除了发生剪切、弯曲变形外，也将会产生扭转变形。 图5.14 雨篷梁的受力图

31. 5.2.2 内力图 5.2 静定结构内力计算 • 当杆件受到两个以上轴向外力作用时，杆件不同区段的轴力将不相同。为了能够直观反映轴力沿杆件轴线的变化情况，通常采用绘制轴力图的方法来表示。绘制轴力图的方法：建立FN - x坐标系，用平行于杆件轴线的坐标表示杆件横截面的位置，用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上的轴力大小，按适当的比例将正轴力画在x轴的上侧，负轴力画在x轴的下侧，这种表示杆件各横截面上的轴力沿其轴线变化情况的图形就称为轴力图。

32. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.4】图5.15（a）表示为等截面直杆的轴向受力情况，试绘出杆件的轴力图。 图5.15 轴力图的求解

33. 5.2 静定结构内力计算 • (1) 剪力图和弯矩图的概念 • 一般情况下，梁的不同截面上的内力是不同的。在工程中，了解剪力和弯矩在全梁内沿梁轴线的分布情况，知道剪力和弯矩的最大值及其所在横截面的位置，有助于施工人员理解图纸的设计意图，从而采用正确的施工方法。若用平行于梁轴线的横坐标表示梁横截面位置，用垂直于梁轴线的纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按适当的比例绘制出来，这种表示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。 知识点5：梁的内力图——剪力图和弯矩图

34. 5.2 静定结构内力计算 • 在绘制梁的内力图时，习惯上把正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐标轴的下方，并表明正负号；弯矩图则画在梁的受拉一侧（即正弯矩画在横坐标的下方，负弯矩画在横坐标的上方，由于弯矩图画在梁的受拉侧，故弯矩图的正负号可标可不标）。将梁的弯矩图画在梁的受拉一侧的目的之一，是便于判别混凝土梁中受拉钢筋的配筋位置，即混凝土梁的受力钢筋基本上配置在梁的受拉一侧。

35. 5.2 静定结构内力计算 • (2) 梁内力图的特征 • ① 静定梁在简单荷载作用下的内力图 • 绘制梁的内力图的基本方法是：先建立剪力方程和弯矩方程，再根据剪力和弯矩的函数关系，采用描点法得到相应的剪力图和弯矩图。表5.1是应用这种方法绘制出的简支梁在简单荷载作用下的内力图，读者可用截面法计算指定截面内力的方法加以验证。 • ② 直梁在简单荷载作用下的内力图 • 直梁在简单荷载作用下的内力图特征见表5.2。

36. 5.2 静定结构内力计算 表5.1 静定梁在简单荷载作用下的内力图

37. 5.2 静定结构内力计算 续表5.1

38. 5.2 静定结构内力计算 表5.2 直梁在简单荷载作用下的内力图特征

39. 5.2 静定结构内力计算 • (4) 梁内力图的绘制 • 绘制梁的内力图的步骤： • ① 求支座反力（悬臂梁可以不求）。 • ② 找控制截面。梁的起、至截面，均布荷载的起、至截面，集中力（包括中间的支座反力）和集中力偶作用截面，剪力为零的截面。 • ③ 绘制剪力图。利用剪力图的规律，看荷载图，跟集中力、均布荷载走。 • ④ 绘制弯矩图。利用弯矩图的规律，看荷载图中有无集中力偶（梁的两段无集中力偶作用，弯矩必为零；梁的截面处有集中力偶作用，按内力图规律第③条绘制），跟剪力图走。 • ⑤ 检查校对。剪力图、弯矩图自行封闭，绘图正确，否则绘图错误。

40. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.5】如图5.16（a）所示外伸梁，已知 F=10 kN,q=5 kN/m,试作该梁的剪力图和弯矩图。 图5.16 外伸梁的内力图 (a) 荷载图；(b) V图（kN）；（c） M图（kN·m）

41. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.6】如图5.17所示悬臂梁，已知F=10 kN，q=5 kN/m,试作该梁的剪力图和弯矩图。 图5.17 悬臂梁的内力图 （a） 荷载图；（b） V图（kN）;(c) M图(kN·m)

42. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.7】图5.18(a)为案例一砖混结构楼层平面图中简支梁L2的计算简图，计算跨度l0=5100 mm，已知梁上均布永久荷载标准值gk=13.332 kN/m，绘制简支梁L2在永久荷载标准值作用下的内力图。 图5.18 简支梁L2内力图

43. 5.2 静定结构内力计算 • 【例5.8】图5.19(a)为案例一砖混结构楼层平面图中悬挑梁XTL1的计算简图，l0=2.10 m，永久荷载标准值gk=12.639 kN/m, Fk=16.665 kN，绘制悬挑梁XTL1在永久荷载标准值作用下的内力图。 不难看出：跨中截面弯矩最大Mmax=43.346 kN·m，且引起该截面上部受压、下部受拉；支座处剪力最大，Vmax=33.997 kN。 图5.19 悬挑梁XTL1的计算简图与内力图

44. 5.2.3 刚架、桁架和三铰拱的内力特征 5.2 静定结构内力计算 知识点6：静定刚架 • 5.2.3.1 静定刚架 • (1) 静定刚架的概念 • 如图5.20所示的站台雨篷、屋架，在外力作用下，在梁和柱的连接点处其夹角总是不变的，这类节点称为刚节点。工程中把由梁、柱等直杆组成的具有刚节点的静定结构称为静定刚架。刚节点是刚架的主要结构特征。当组成刚架的各杆轴线和外力都在同一平面内时，称为平面刚架。

45. 5.2 静定结构内力计算 • 静定平面刚架的常见形式有： • ① 悬臂刚架（图5.20（a）），常见于火车站台、雨篷等。 • ② 三铰刚架（图5.20（b）），常见于仓库、小型厂房等。 • ③ 简支刚架（图5.20（c）），常见于渡槽等。 图5.20 静定平面刚架 (a) 火车站台；（b） 厂房；（c） 渡槽

46. 5.2 静定结构内力计算 • (2) 静定刚架的内力特征 • 图5.21（a）所示为某一简支梁，其弯矩图如图5.21（b）所示。图5.21（c）所示为跨度相同的静定三铰刚架，其弯矩图如图5.21（d）所示。比较两者在相同均布荷载作用下的弯矩图，由图5.21可知，静定刚架的弯矩峰值较小且内力分布较合理。 图5.21 静定刚架与静定梁的弯矩对比图

47. 5.2 静定结构内力计算 • 【知识链接】 • 刚架结构根据组成和构造方式的不同，分为无铰刚架、两铰刚架、三铰刚架，如图5.22（a）、（b）、（c）所示。 图5.22 刚架结构 (a) 无铰刚架；(b) 两铰刚架；(c) 三铰刚架

48. 5.2 静定结构内力计算 • 5.2.3.2 桁架 • (1) 桁架的概念 • 桥梁结构(图5.23)、钢屋架（图5.24）是由若干直杆在其两端用圆柱铰链连接而成的承重体系，这种体系称为桁架。桁架在土木工程中应用广泛。 知识点7：桁架 图5.24 钢屋架 图5.23 桥梁结构

49. 5.2 静定结构内力计算 • (2) 桁架的内力特征 • 由图5.25可以看出，桁架的各杆只在两端受力（自重忽略不计），都是二力杆。其内力为轴力，在各杆的任意横截面上，正应力均匀分布，能充分发挥材料的作用，从而取得较好的经济效果。 图5.25 桁架结构的受力图 桁架比梁能承受更大的弯矩，可跨越更大的跨度、承受更大的荷载。

50. 5.2 静定结构内力计算 • 5.2.3.3 三铰拱 • (1) 三铰拱的概念 • 拱结构是一种重要的结构形式，在桥梁和房屋建筑中经常采用。它适用于宽敞的大厅，如礼堂、展览馆、体育馆等。因支撑及连接形式不同，拱可分为无铰拱（图5.26(a)）、两铰拱（图5.26(b)）及三铰拱（图5.26(c)）。两根曲杆与基础用不在同一直线上的三个铰两两相连组成的结构体系称为三铰拱。 知识点8：三铰拱