焦點 F

1. 一、拋物線的意義 1. 拋物線的定義： 在一平面上，設有一定直線 L 及不在 L 上的一定點 F， 則在此平面上所有到直線 L 的距離等於到點 F距離的 動點 P 所成的圖形稱為拋物線， 其中直線 L稱為準線，點 F 稱為焦點。 L 準線 L P 焦點 F F 本段結束

2. 2. 拋物線的元素： 對稱軸：過焦點與準線垂直的直線，簡稱為軸。 頂點：軸與拋物線的交點。 焦距：頂點到焦點的距離。 焦弦 弦 焦半徑：拋物線上的任一點 軸 F 頂點 與焦點之連接線段。 正焦弦 焦弦：通過焦點的弦。 正焦弦：通過焦點且與軸垂直的弦。 本段結束

3. 3. 拋物線的正焦弦：拋物線的正焦弦長為焦距的 4 倍。 證明：由拋物線的定義可知： L 因此四邊形 BMHF B M 與 FHNC 均為正方形， 2k A H k F N C ＃ 注意：

4. 4. 範例：右圖為一拋物線的部分圖形，則 A，B，C，D，E 五個點之中，那一點最接近焦點。 解：拋物線的正焦弦長為焦距的 4倍。 故最接近焦點的是 C點。 2k k A B C D E Let’s do an exercise !

5. 馬上練習：右圖為一拋物線的部分圖形， 則 A，B，C，D，E 五點位置 與焦點之距離的大小順序為何? 解：拋物線上的點到焦點的距離 等於到準線的距離。 A E F 故 A，B，C，D，E五點 D B C 與焦點的距離 準線 由大到小的順序為A，E，D，B，C。 ＃ 注意：頂點是拋物線上與焦點距離最近的點。

6. 1. 水平軸的拋物線：坐標平面上，一拋物線的頂點在原點， 對稱軸為 x 軸，焦點為 F(c, 0)且c  0， 則拋物線的方程式 y2 = 4cx。 (標準式) y 證明：設P(x,y)為拋物線上任意點， L：x= c P(x, y) x O F(c,0) c > 0 整理可得 y2 = 4cx。 L：x= c y 反之，當點 P(x,y)滿足方程式 y2 = 4cx， P(x, y) x O F(c,0) c < 0 所以此拋物線的方程式為 y2 = 4cx。 To be continued  注 意

7. 注意：(1) 當 c > 0時，拋物線開口向右。 (2) 當 c < 0時，拋物線開口向左。 y y L：x=c L：x=c P(x,y) P(x,y) x x O O F(c,0) F(c,0) c > 0：開口向右 c < 0：開口向左 本段結束

8. 2. 範例：求滿足下列各條件的拋物線方程式： (2) 焦點F(1, 0)，準線L：x=1。 (1) 焦點F(2, 0)，準線 L：x=2 y 解： L：x=1 y L：x=2 x O F(1,0) x O F(2,0) 開口向右，頂點 (0, 0) 開口向左，頂點 (0, 0) 且 c = 2，由標準式 y2 = 4cx 且c = 1，由標準式 y2 = 4cx y2 = 4(1)x y2 = 42x 故所求為 y2 = 4x。 故所求為 y2 = 8x。 ＃ Let’s do an exercise !

9. 馬上練習：求滿足下列各條件的拋物線方程式：馬上練習：求滿足下列各條件的拋物線方程式： y 解： y x O x O 開口向左，頂點 (0, 0) 開口向右，頂點 (0, 0) 由標準式 y2 = 4cx 由標準式 y2 = 4cx  所求 y2 = 2x。  所求 y2 = x。 ＃ ＃

10. 3. 範例：求拋物線 y2 = 16x 的頂點、焦點、準線與正焦弦長。 解：y2 = 16x = 4(4)x c = 4， 知開口向左 L：x=4 頂點 (0, 0)， 16 焦點 F(c, 0) = (4, 0)， O F(4, 0) 準線 L：x = 4， 正焦弦長為 4c = 16。 Let’s do an exercise !

11. 馬上練習：求拋物線 y2 = 12x 的頂點、焦點、準線與正焦弦長。 解：y2 = 12x = 43x L：x= 3 c = 3， 知開口向右 頂點 (0, 0)， 12 O F(3, 0) 準線 L：x = 3， 焦點 F(c, 0) = (3, 0)， 正焦弦長為 4c=12。 ＃

12. 4. 鉛直軸的拋物線：坐標平面上，一拋物線的頂點在原點， 對稱軸為 y 軸，焦點為 F(0,c) 且 c  0， 則拋物線的方程式 x2=4cy。 (標準式) 證明：設 P(x,y)為拋物線上任意點， y c>0 P(x,y) F(0,c) x O L：y= c 整理可得 x2 = 4cy。 y 反之，當點 P(x,y)滿足方程式 x2 = 4cy， L：y= c O x F(0,c) P(x,y) c<0 所以此拋物線的方程式為 x2 = 4cy。 To be continued  注 意

13. 注意：(1) 當 c > 0時，拋物線開口向上。 (2) 當 c < 0時，拋物線開口向下。 y y L：y= c O x P(x,y) F(0,c) F(0,c) P(x,y) x O L：y= c c > 0：開口向上 c < 0：開口向下 本段結束

14. 5. 範例：求滿足下列各條件的拋物線方程式： (2) 焦點 F(0, 3)，準線 L：y = 3 (1) 焦點 F (0, 1)，準線L：y = 1 y 解： y L：y = 3 O x F(0,1) F(0,3) x O L：y = 1 開口向下，頂點 (0, 0) 開口向上，頂點 (0, 0) 且 c = 3，由標準式 x2 = 4cy 且 c = 1，由標準式 x2 = 4cy x2 = 41y x2 = 4(3)y 故所求為x2 = 4y。 故所求為 x2 = 12y。 ＃ Let’s do an exercise !

15. 馬上練習：求滿足下列各條件的拋物線方程式：馬上練習：求滿足下列各條件的拋物線方程式： 解： y y O x x O 開口向下，頂點 (0, 0) 開口向上，頂點 (0, 0) 由標準式 x2 = 4cy 由標準式 x2 = 4cy 故所求 x2 = 2y。 故所求 x2 = y。 ＃

16. 6. 範例：求拋物線 x2 = y 的頂點、焦點、準線與正焦弦長。 解： 頂點為 (0, 0)， 1 O 正焦弦長為 4c = 1。 Let’s do an exercise !

17. 馬上練習：求拋物線 x2 = 8y的頂點、焦點、準線與正焦弦長。 解：x2 = 8y = 4(2)y L：y = 2 c = 2， 知開口向下 O 頂點 (0, 0)， F(0,2) 8 焦點 F(0, c) = (0, 2)， 準線 L：y = 2， 正焦弦長為 4c = 8。 ＃

18. 三、拋物線的平移 1. 水平軸的拋物線： 軸平行 x軸且頂點 (h, k)的拋物線方程式為 (yk)2 = 4c(xh)。 說明：設拋物線 1：y2=4cx上任一點 P(x, y) Q(u,v) 平移向量 (h, k)後的坐標為 Q(u, v)， A(h,k) y=k P(x,y)  x = u  h ， y = v  k， 2 O(0,0) y=0 又 ( x , y )滿足 y2 = 4cx ( vk )2 =4c( uh ) 1 即 (u, v)滿足方程式 (vk)2 = 4c(uh)， 故所求拋物線 2上任一點 (x, y)滿足方程式 (yk)2 = 4c(xh)。 To be continued  注 意

19. 注意：(1) 由上可知 y2 = 4cx平移向量 (h , k)後 的方程式為 (y  k)2 = 4c(x  h)。 (2) 當 c > 0時，拋物線開口向右 ； 當 c < 0時，拋物線開口向左。 A(h, k) A(h, k) F F c > 0， c < 0， 本段結束

20. 2. 鉛直軸的拋物線： 軸平行 y軸且頂點 (h, k)的拋物線方程式為 (xh)2 = 4c(yk)。 說明：設拋物線 1：x2 = 4cy上任一點 P(x, y) x=h 2 平移向量 (h, k)後的坐標為 Q(u, v)， Q(u,v) A(h,k)  x = u  h ， y = v  k， x=0 1 又 (x, y)滿足x2 = 4cy P(x,y) ( u  h )2=4c( v  k )， O(0,0) 即 (u, v)滿足方程式 (uh)2 = 4c(vk)， 故所求拋物線 2上任一點 (x, y)滿足方程式 (xh)2=4c(yk)。 To be continued  注 意

21. 注意：(1) 由上可知 x2 = 4cy平移向量 (h, k)後 的方程式為 (x  h)2 = 4c(y  k)。 (2) 當 c > 0時，拋物線開口向上。 當 c < 0時，拋物線開口向下。 A(h,k) F F A(h,k) c < 0， c > 0， 本段結束

22. 3. 範例：求滿足下列各條件的拋物線方程式： (2) 頂點 A(1, 1)，準線 L：y = 4。 (1) 焦點 F(6, 3)，準線 L：x = 2。 L：x = 2 x=1 解： L：y = 4 A(1, 1) F(6, 3) y=3 F(1, 2) A(2, 3) 頂點在準線 L下方，距離為 3， 焦點在準線L右方，距離為 8，  2c =8，且頂點 A(h, k) = (2, 3)  c =  3，且頂點 A(h, k) = (1, 1) 由 (x  h)2 =4c(y  k) 由 (y  k)2 = 4c(x  h) 得所求為 (y  3)2 = 16(x  2)。 得所求為 (x + 1)2 = 12(y  1)。 ＃ Let’s do an exercise !

23. 4. 範例：(1) 求拋物線 (y2)2 = 8(x+1)的焦點與準線。 (2) 求拋物線 x2 + 2x + 4y  7 = 0的頂點與正焦弦長。 L：x = 3 解：(1) 由 (y2)2 = 8(x+1) = 42(x+1)  c = 2，頂點 (1, 2)， F(1, 2) 且開口向右， y = 2 A(1, 2) 得焦點 (1, 2)， 準線為 x = 3。 (2) 由 x2 + 2x + 4y  7 = 0 x = 1 得 (x+1)2 = 4y+8 = 4(1)(y2)。 L：y = 3 A(1, 2)  c = 1，頂點 (1, 2)， F(1, 1) 4 且開口向下， 正焦弦長為4c=4。 Let’s do an exercise !

24. 馬上練習：(1)求拋物線 (y + 1)2 = 12(x  2)的焦點與準線。 (2)求拋物線 x2 + 4x  8y + 12 = 0的頂點與正焦弦長。 L：x=5 解：(1) 由 (y+1)2 = 12(x2) = 4(3)(x2)  c = 3，頂點 (2,1)， F(1,1) 且開口向左， y = 1 A(2,1) 則焦點 (1, 1)， 準線為 x = 5。 (2) 由 x2 + 4x  8y + 12 = 0 x = 2 得 (x+2)2 = 8y  8 = 82(y1)。  c = 2，頂點 (2, 1)， 8 F(2, 3) 且開口向上， A(2,1) L：y = 1 正焦弦長為 4c= 8。 ＃

25. 5. 範例：求準線平行於 y 軸，焦點 F(2, 5)， 且正焦弦長為 12 的拋物線方程式。 解：正焦弦長 4c= 12，得 c= 3， (y5)2=12(x+1) (y5)2=12(x5) (1) c = 3，軸為水平線， c = 3 c = 3  焦點 F(2, 5)在頂點右方 3 單位，  頂點 A(1, 5) A(1, 5) A(5, 5) 方程式為 (y5)2 = 12(x+1)。 y=5 F(2, 5) (2) c = 3，軸為水平線，  焦點F(2, 5)在頂點左方 3 單位，  頂點 A(5, 5)  方程式為 (y5)2 = 12(x5)。 ＃

26. 6. 拋物線的一般式： (1) 上下開口的拋物線方程式 (x  h)2 = 4c(y  k) 都可化為y = ax2 + bx + c 的型式。 (2) 左右開口的拋物線方程式 (y  k)2 = 4c(x  h) 都可化為x = ay2+ by + c的型式。 範例：若拋物線的軸平行 y 軸，且通過 (1, 0)，(2, 2)，(3, 8) 三點， 求其方程式。 解：軸與 y軸平行，設所求y = ax2 + bx + c， 將 (1, 0)，(2, 2)，(3, 8)三點坐標代入 y = ax2 + bx + c， 軸 解得 a = 2，b = 4，c = 2， 即所求為 y = 2x2  4x + 2。 Let’s do an exercise !

27. 馬上練習：若拋物線的軸平行 x 軸， 且過 (0, 1)，(1, 0)，(3, 2 ) 三點，求其方程式。 解：軸與x軸平行，設所求 x = ay2 + by + c， 將 (0, 1)，(1, 0)，(3, 2)三點坐標代入 x = ay2 + by + c， 軸 解得 a = 2，b = 3，c = 1， 即所求為 x = 2y2  3y + 1。 ＃

28. 7. 範例：求通過 (6, 5) 且與拋物線 y2  4x + 6y + 5 = 0 共軸且共焦點 的拋物線方程式。 (y + 3)2 = 4(x + 1) 解：y2  4x + 6y + 5 = 0  軸為 y = 3， 且點 (1, 3)右方 1單位 (6, 5) A(8, 3) 即為焦點 F(0, 3)， A(2, 3) y = 3 F(0, 3) c = 0  k= k， 設頂點 A(k, 3) 設所求 (y + 3)2 = 4(k)(x  k)， (y+3)2 = 8(x+2) (y+3)2 = 32(x8) 又過 (6, 5) 64 = 4k(6  k)， 解得 k = 2或 8。 故所求為 (y+3)2 = 8(x+2)或 (y+3)2 = 32(x8)。 Let’s do an exercise !

29. 馬上練習：已知探照燈內的反射鏡是一個拋物面，馬上練習：已知探照燈內的反射鏡是一個拋物面， 此曲面由拋物線繞軸旋轉而成， 因此其縱切面是拋物線的一部分。 A F 80 現在有一探照燈的燈口直徑為 80 公分， 燈的深度為 40 公分，如右圖所示， 40 求此探照燈的焦距。 解：令拋物線頂點 A(0, 0)， y 設所求為 y2 = 4cx， P(40, 40) 將 P(40, 40)代入 y2 = 4cx， F A x 得 1600 = 4c40 c = 10。 故所求焦距為 10公分。 ＃

30. 四、拋物線的極值與準線 1. 範例：求拋物線 y2 = 16x 與直線 L：4x  3y + 24 = 0 的最小距離，及此時拋物線上最近點的坐標? 4x  3y + 24 = 0 解：令拋物線y2 = 16x上動點 P(t2, 4t) y y2 = 16x P(t2, 4t) x O = 3， ＃

31. 2. 範例： 設 A(1, 0) 與 B(b, 0) 為坐標平面上的兩點，其中 b＞1。 若拋物線 Γ﹕y2 = 4x上有一點 P 使得 ABP 為一正三角形，求 b = ? < 92學測 > 解： y2 = 4x的焦點 A(1, 0)， P 4 H 60º 準線 L：x = 1， 60º 4 4 60º 由圖知 △PHA為正三角形， 2 4 60º 60º 60º x O A(1, 0) B(b, 0) 故所求 b= 1 + 4 = 5。 y2 = 4x x = 1 Let’s do an exercise !

32. 馬上練習：設 F 為拋物線 (y1)2 = 12(x1) 的焦點， 若 P(a , b) 在拋物線上， 解：(y  1)2 = 12(x  1) 9 H = 43(x  1) P(a, b) c = 3 9 ∵ 頂點為 A(1, 1) (4, 1) F 又 c = 3 ∴ 焦點 F(4, 1)， A(1,1) 且準線 L：x = 2， (y1)2 = 12(x1) x = 2 ＃

33. 3. 範例：已知坐標平面上圓 O1：(x7)2 + (y1)2 = 144 與 O2：(x+2)2 + (y13)2 = 9 相切，且此兩圓均與 直線 L：x = 5 相切。若  為以 L 為準線的拋物線， 且同時通過 O1與 O2的圓心，求  的焦點坐標。 y L：x = 5 解： 兩圓外切。 O2(2, 13) 設拋物線焦點 F， 3 ∵ 拋物線通過 O1與 O2且準線 L：x = 5 F 12 O1(7, 1) x 故焦點 F恰為兩圓的切點 O Let’s do an exercise !

34. 馬上練習：在坐標平面上，過 F(1, 0) 的直線交拋物線 ：y2 = 4x 於P，Q 兩點，其中 P 在上半平面上， 則 P 點的 x 坐標為_____。（化成最簡分數） < 95學測 > 解：y2 = 4x的焦點 F(1, 0)，準線 L：x = 1， 3k P A 3k F(1, 0) H 1 x O 2k B Q 2k x = 1 y2=4x a m n ＃ b

35. 直線 L：y = 5 與拋物線 4. 範例： 坐標平面上給定點 ：x2=8y。 以 d(P, L) 表示點 P 到直線 L 的距離。 若點 P 在 上變動， y < 99學測 > 解：x2 = 8y的焦點 F(0, 2)， x2 = 8y P(x, y) 準線 y = 2，設動點 P(x, y)， y + 2 F P A y = 2 3 L：y = 5 當 F、A、P三點共線時， ＃

36. 五、拋物線的作圖與軌跡 1. 範例： 求：(1) 對稱軸方程式 (2) 頂點坐標 (3) 正焦弦長。 解：(1) 方程式表動點 P(x, y)到點 (2, 1)的距離 xy1=0 等於 P(x, y)到直線 x + y + 1 = 0的距離。 P(x,y) 故圖形為拋物線， F(2,1) 焦點 F(2, 1)， 準線為 x + y + 1 = 0。 A(0,1) S 設對稱軸為 x  y + k = 0。(垂直準線) x+y+1=0 又過 F(2, 1)，得 k = 1， 故對稱軸 x  y  1 = 0。 (2) 準線 x + y + 1 = 0 與對稱軸 x  y  1 = 0相交於 S(0, 1)， 且頂點為 F(2, 1)與 S(0, 1)的中點  頂點 A(1, 0)。 ＃

37. 2. 範例：求拋物線 y2 = 8x 上任一點與焦點連線 之線段中點軌跡方程式。 解：設拋物線 y2 = 8x上任一點 P(x, y)與焦點 F(2, 0) 的連線段中點為 M(u, v)， y P(x, y) y2=8x M(u,v) 即 (x , y) = (2u2 , 2v)， x O F(2,0) 代入 y2 = 8x 得 (2v)2 = 8(2u  2) v2 = 4(u  1)。 故所求為 y2 = 4(x  1)。 ＃

38. 3. 範例：求與圓 x2 + y2  8x + 12 = 0 及 L：x + 2 = 0 相外切 之圓心的軌跡方程式。 解：定圓 x2 + y2  8x + 12 = 0的圓心 F(4, 0)，半徑 2， 設所求動圓的圓心為 P，半徑 r L：x+2=0 L：x+4=0 r P 2 令 L：x + 4 = 0， r 2 x O 因此點P的軌跡為拋物線， F 其準線 L：x + 4 = 0， 焦點 F(4, 0)，頂點 (0, 0)， 故所求為軌跡方程式 y2 = 16x。 Let’s do an exercise !

39. 馬上練習：求與圓 x2 + y2  8x + 12 = 0 及 L：x + 2 = 0 相內切 之圓心的軌跡方程式。 解：定圓 x2 + y2  8x + 12 = 0的圓心 F(4, 0)，半徑 2， 設所求動圓的圓心為 P，半徑 r L：x+2=0 L：x=0 令L：x = 0， r2 P 2 r r2 因此點 P的軌跡為拋物線， F x O 其準線 L：x = 0， 2 焦點 F(4, 0)，頂點 (2, 0)， 故所求為 y2 = 8(x  2)。 本 節 結 束

41. 結 束 離 開 23 ＃ 總複習 第九章 結束 本段結束 Let’s do an exercise ! To be continued  注 意 To be continued  範 例