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弧 度 制. 角度制. 在角度制下,当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时,由于运算进率非十进制,总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢?. 在平面几何中研究角的度量,当时是用度做 单位来度量角, 的角是如何定义的?. 我们把用度做单位来度量角的制度叫做 角度 制 ,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度 — 弧度制,它是如何定义呢?. 弧度制定义. 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 .. 若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?

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角度制

在角度制下,当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时,由于运算进率非十进制,总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢?

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在平面几何中研究角的度量,当时是用度做

单位来度量角, 的角是如何定义的?

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度

制,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到

一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢?

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弧度制定义

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?

若弧是一个整圆呢?

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请思考:

为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢?

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若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数是  ,而在角度制里它是  , 若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数是  ,而在角度制里它是  , 

因此        .

角度制与弧度制的换算

 用“弧度”与“度”去度量每一个角时,除了零角

以外,所得到的量数都是不同的,但它们既然是度

量同一个角的结果,二者就可以相互换算.

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例1

把    化成弧度.

解:∵

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例2

把    化成度.

解:

  角度制与弧度制互化时要抓住    

弧度这个关键.

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②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)

的大小,而  是圆的   所对的圆心角(或该弧)

的大小;

角度制与弧度制的比较

①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;

③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一

个与半径大小无关的定值.

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例3

计算:

(1)   ;(2)   .

解:(1)∵∴

(2)∵

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练习

1.把下列各角化成            的形式:

(1)   ;(2)   ;(3)   .

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2.求图中公路弯道处弧  的长

(精确到  ,图中长度单位: ).

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练习反馈

(1)若三角形的三个内角之比是2:3:4,求其三个内

角的弧度数.

 (2)已知扇形的周长为  ,面积为   ,求扇形的中心角的弧度数.

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(1)     弧度;

(2)“角化弧”时,将 乘以  ;“弧化角”时,

将 乘以 ;

(3)弧长公式:

扇形面积公式:

(其中 为圆心角 所

对的弧长, 为圆心角的弧度数, 为圆半径.)

小结