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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom. Wechselstromwiderstand. Es werden die drei Spannungen U C , U R und U ges gemessen. Ergebnis: U C = U R = U ges =. Im Wechselstromkreis ist die Gesamt-spannung nicht die algebraische Sum-me der Teilspannungen.

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Presentation Transcript
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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Wechselstromwiderstand

Es werden die drei Spannungen UC, UR und Uges gemessen.

Ergebnis:

UC =

UR =

Uges =

Im Wechselstromkreis ist die Gesamt-spannung nicht die algebraische Sum-me der Teilspannungen.

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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Wechselstromwiderstand

Der Vektor für die Stromstärke weist nach rechts.

Mit ihm phasengleich ist der Vektor für die Spannung am Widerstand UR.

Die Spannung am Kondensator UC hinkt der Stromstärke in der Phase 90o hinterher.

Die Gesamtspannung findet man als Vektoraddition von UR und UC zur Gesamtspannung Uges (grau unterlegtes Dreieck)

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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Wechselstromwiderstand

Auch Wechselstromwiderstände werden vektoriell addiert

Es gilt: (Uges)2 = (UC)2 + (UR)2

(Z*I)2 = (XC*I)2 + (R*I)2

Z2 * I2 = XC2 * I2 + R2*I2

Z2 = XC2 + R2

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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Phasenwinkel

Im grau unterlegten Dreieck gilt:

Weil die Spannung der Stromstärke hinterher hinkt, ist der Phasenwinkel  negativ.

Sonderfälle:

1.Ist R sehr groß gegenüber XC, dann ist der Phasenwinkel  klein.

2.Ist R sehr klein gegenüber XC, dann ist der Phasenwinkel  groß.

3.Ist R = XC, dann ist der Phasenwinkel -45o.

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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Bei einer Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und kapazitativem Widerstand im Wechselstromkreis gilt für den Scheinwiderstand Z oder Xs und die Pha-sendifferenz  zwischen angelegter Spannung und Stromstärke:

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Spule, Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Bei einer Reihenschaltung aus Kondensator, ohmschen Widerstand und induktivem Widerstand im Wechselstromkreis gilt für den Scheinwiderstand Z oder Xs und die Phasendifferenz  zwischen angelegter Spannung und Stromstärke:

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Spule, Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Die Stromstärke erreicht für eine Frequenz von ungefähr 710 Hz ein Maximum. Diese Frequenz fo nennt man Eigenfrequenz.

Die Erscheinung, dass die Stromstärke bei einer be-stimmten Frequenz besonders groß ist, heißt Resonanz. fo heißt deshalb auch Resonanzfrequenz.

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Spule, Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

Der Vergleich mit den Messergebnissen für Xs zeigt:

Der Schweinwiderstand Xs ist für alle Frequenzen kleiner als die Summe der Einzelwiderstände.

Bei der Eigenfrequenz fo schneiden sich die Kurven für XL und XC, d.h. für fo gilt: XL = XC

oder

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Der Siebkreis

Eine Reihenschaltung aus Kondensator und Spule heißt Siebkreis. Sein Scheinwiderstand hat bei der Resonanzfrequenz f0 seinen kleinsten Wert: Xs = R.

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Der Siebkreis

Der Strom im Lautsprecher ist eine Überlagerung zweier sinusförmiger Wechselströme mit den Frequenzen fo und f1. Zu fo gehört der viel größere Scheitelwert, weil bei dieser Frequenz der Scheinwiderstand besonders klein ist.

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Spule u. Kondensator parallel geschaltet

Bei sehr niedriger Frequenz f leuchten die Lämpchen L1 und L3 gleich hell, Lämpchen L2 ist dunkel.

Wird die Frequenz f weiter erhöht, so wird Lämpchen L2 heller und Lämpchen L1 dunkler. Wider Erwarten wird jedoch Lämpchen L3 noch dunkler als Lämpchen L1

Bei einer bestimmten Frequenz fo leuchten die Lämpchen L1 und L2 gleich hell, während Lämpchen L3 dunkel ist.

Bei sehr hoher Frequenz f leuchten die Lämpchen L2 und L3 gleich hell, während Lämpchen L1 dunkel ist.

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Spule u. Kondensator parallel geschaltet

Zu jedem Zeitpunkt liegt – wie beim Gleichstrom – die gleiche Spannung UAB(t) an beiden Zwei-gen. Alle ohmschen Widerstände seien vernach-lässigbar. Dann eilt im induktiven Zweig 1 die Stromstärke I1(t) der Spannung UAB(t) um T/4 nach, während im kapazitativen Zweig 2 die Stromstärke I2(t) der Spannung UAB(t) um T/4 voraus.

I1(t) und I2(t) haben also zu jedem Zeitpunkt einander entgegen-gesetzte Vorzeichen. Ist der Strom im Zweig 1 gerade aufwärts gerichtet, dann im Zweig 2 abwärts. Sind die Scheitelwerte I1m und I2m gleich, so wandern alle Elektronen, die aus dem Zweig 2 bei A ankommen, zum Zweig 1 weiter. In der Leitung 3 findet keine Elektronenwanderung statt.

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Spule u. Kondensator parallel geschaltet

Ist I1m = I2m , so folgt I3m = 0. Das ist aber genau dann der Fall, wenn gilt: RL = RC

Eine Parallelschaltung aus Kondensator und Spule heißt Sperrkreis. Sein Scheinwiderstand hat bei der Resonanzfrequenz f0 seinen größten Wert: Xs = R.

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Spule und Kondensator parallel geschaltet

Eine Parallelschaltung aus Kondensator und Spule heißt Sperrkreis. Sein Scheinwiderstand hat bei der Resonanzfrequenz f0 seinen größten Wert: Xs = R.

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Hoch- und Tiefpass

Legt man an eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand R und Kondensator C eine Eingangsspannung U1 und greift die Ausgangsspannung U2 entweder über den Kondensator oder über den Widerstand ab, so hat man einen frequenzabhängigen Spannungsteiler. Der Abgriff über dem Kondensator heißt RC-Tiefpass, der über dem Widerstand RC-Hochpass, weil im ersten Fall nur die tiefen Frequenzen, im zweiten Fall nur die hohen Frequenzen übertragen werden.

RC-Hochpass

RC-Tiefpass

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Hoch- und Tiefpass

Die Grenzfrequenz

Als Grenzfrequenz fg wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der der ohmsche Widerstand R genau so groß ist wie der kapazitative Widerstand XC.

Man erhält also: R = XC

Löst man jetzt nach fg auf, so erhält man

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Hoch- und Tiefpass

Die Grenzfrequenz

Wenn die beiden Widerstände R und XC gleich groß sind, dann sind demzufolge auch die Spannungen UR und UC an diesen Widerständen gleich groß:

UR = UC

Beide Spannungen UR und UC liegen an der Eingangspannung U1. UR und UC stehen in einem 90o Winkel zueinander. Daher berechnet sich die Spannung U1 wie folgt:

Wird die Grenzfrequenz fg er-reicht, gilt UR = UC = U2 = U, vereinfacht sich der obige Ausdruck:

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Hoch- und Tiefpass

Das Spannungsverhältnis von Eingangs- und Ausgangsspannung am Hochpass

Die Eingangsspannung sei U1, die Ausgangsspannung U2

Bildet man das Verhältnis U2/U1, so erhält man aus:

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Hoch- und Tiefpass

Das Spannungsverhältnis von Eingangs- und Ausgangsspannung am Tiefpass

Die Eingangsspannung sei U1, die Ausgangsspannung U2

Bildet man das Verhältnis U2/U1, so erhält man aus:

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Hoch- und Tiefpass

Das Spannungsverhältnis von Eingangs- und Ausgangsspannung

slide26

Der RC-Hochpass

Der Hochpass

Der Strom höherer Frequenz passiert den Hochpass besser als Strom niedriger Frequenz. Beim Hochpass werden die Bässe abgesenkt (geschwächt) und die hohen Töne relativ angehoben(verstärkt).

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Der RL-Tiefpass

Der Tiefpass

Der Strom niederer Frequenz passiert den Tiefpass besser als Strom hoher Frequenz. Beim Tiefpass werden die hohen Töne abgesenkt(geschwächt) und die Bässe relativ ange-hoben(verstärkt).

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Die elektrische und magnetische Energie

Das Magnetfeld eines vom Strom der Stärke I durch-flossenen Leiters mit der Ei-geninduktivität L besitzt die magnetische Feldenergie

Das elektrische Feld eines Kondensators mit der an-gelegten Spannung U und der Kapazität C hat die elektrische Feldenergie

wechselstromwiderst nde

Aufgaben

2.Aufgabe: Berechnen Sie den kapazitiven Widerstand für f = 50 Hz und

a) C1 = 500 pF, b) C2 = 20 nF, c) C3 = 12 F und

für C = 3 F

a) f1 = 400 Hz, b) f2 = 3 kHz, c) f3 = 1,8 MHz.

Wechselstromwiderstände

Lösung:

a)RC = 6,3662*106 b) RC = 1,59155*105

c)RC = 265,258 

a)RC = 1,32*102  b)RC = 17,6839 

c)RC = 0,294731 

wechselstromwiderst nde1

Aufgaben

3.Aufgabe: Man kann die Kapazität eines Kondensators dadurch bestimmen, dass man seinen Widerstand in einem Wechselstromkreis bekannter Frequenz misst. Berechnen Sie C aus folgenden Messergebnissen:

a) f = 50 Hz, Ueff = 6,3 V, Ieff = 2,2 mA

b) f = 50 Hz, Ueff = 200 V, Ieff = 0,8 mA.

Wechselstromwiderstände

Lösung:

a) C = 1,11156 Fb) C = 12,7324 nF

wechselstromwiderst nde2

Aufgaben

4.Aufgabe: Stellen Sie für einen Kondensator mit der Kapazität C = 10 F die Abhängigkeit des Widerstands von der Frequenz graphisch dar.

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde3

Aufgaben

4.Aufgabe: Stellen Sie für einen Kondensator mit der Kapazität C = 10 F die Abhängigkeit des Widerstands von der Frequenz graphisch dar.

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde4

Aufgaben

7.Aufgabe: Ein sinusförmige Wechselspannung mit der effektiven Spannung 2,0 V und der Frequenz 2,0 kHz wird an eine Spule mit geschlossenem U-Kern gelegt. Die effektive Stromstärke ist 300 mA. Wie groß ist die Induktivität? (wechsel3)

Wechselstromwiderstände

Lösung:

L = 5,30516*10-4 T

wechselstromwiderst nde5

Aufgaben

8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt:

a) Bei Ueff = 2,0 V und f = 100 Hz.

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde6

Aufgaben

8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt:

a) Bei Ueff = 2,0 V und f = 100 Hz.

(wechsel3)

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde7

Aufgaben

8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt:

b) Bei Ueff = 2,0 V und C = 1 F .

(wechsel3)

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde8

Aufgaben

8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt:

a)Bei Ueff = 2,0 V und f = 100 Hz.

(wechsel3)

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde9

Aufgaben

8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstan-des zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt:

a) Bei Ueff = 2,0 V und f = 100 Hz.

(wechsel3)

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde10

Aufgaben

1.Aufgabe: An eine Spule mit R = 10,0 wird sinusförmige Wechselspannung von Uaneff = 8,00 V und f1 = 2000 Hz gelegt. Es fließt ein Strom von Ieff = 0,078 A.

a) Berechnen Sie die Eigeninduktivität unter Vernachlässigung des ohmschen Widerstandes.

b) Berechnen Sie die Eigeninduktivität unter Berücksichtigung des ohmschen Widerstandes. Berechnen Sie die Phasendifferenz zwischen Uan(t) und I(t).

c) Bei welcher Frequenz f2 hat die Phasendifferenz zwischen Uan(t) und I(t) den Wert /4?

wechsel1

Wechselstromwiderstände

Lösung

a)RS = Uaneff/Ieff = 103 . Bei vernachlässigbarem ohmschen Wi-derstand ist RL  RS, also RL  103  . Wegen RL =  L folgt

L = RL /  = RL/ (2  f) = 8,2010-3 H.

wechselstromwiderst nde11

Aufgaben

Lösung

b)Aus ,also nahezu das gleiche Ergebnis wie in a). Weiter folgt L = RL /  = 8,1210-3 H.

tan  =RL / R = 10,2, also  = 1,47 = 0,469  oder im Gradmaß:  = 84,4o.

c) Das Dreieck ist in diesem Fall gleichschenklig, also RL = R = 10,0 .

 = RL / L = 1,23103 1/s, f =  / (2 ) = 196 Hz.

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde12

Aufgaben

3.Aufgabe: Bei der Spule aus Aufgabe 1 ist Uaneff = 8,00 V, f durchläuft die Werte

0 Hz, 100 Hz, 200 Hz,...., 2000 Hz.

a) Stellen Sie RL und RS in Abhängigkeit von f in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar. 200 Hz  1 cm, 5   1 cm. Von welcher Frequenz ab beträgt der Unterschied zwischen RS und RL weniger als 5%?

b) Stellen Sie Ieff in Abhängigkeit von f in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar. 0,1 A 1 cm.

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde13

Aufgaben

Bei 600 Hz beträgt der Unterschied zwischen RS und RL ca. 5%

Ausführliche Rechnung:

RS – RL < 0,05 RS, daraus ergibt sich:

Wechselstromwiderstände

Mit = 10  u. L = 8,1210-3 H ergibt sich dann:

 > 3747 1/s  f > 596 Hz

wechselstromwiderst nde14

Aufgaben

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde15

Aufgaben

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde16

Aufgaben

5.Aufgabe: C = 5,0 F und R1 = 0 bzw. R1 = 30 sind in Reihe an eine Wechselspannungsquelle mit f = 200 Hz, 400 Hz,.., 2000 Hz gelegt. Zeichnen Sie für beide Fälle das f-RS-Diagramm. 200 Hz  1 cm, 10   1 cm.

b) Bei welcher Frequenz hat in der Reihenschaltung die Phasendifferenz zwischen angelegter Spannung und Stromstärke den Betrag /4?

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde17

Aufgaben

Aufgabe 5

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde18

Aufgaben

Aufgabe 5

Wechselstromwiderstände

wechselstromwiderst nde19

Aufgaben

Aufgabe 5 b)

Aus RC = R = 30  folgt

 = 1 / RC = 6.667103 1/s  f = 1061 Hz

Wechselstromwiderstände

siebkreis

Aufgaben

Aufgabe 3: An einen Siebkreis L = 0,1 H, C = 0,2 F, R = 150  wird Wechselspannung von Uaneff = 10 V, f = 1000 Hz angelegt. Wie groß sind die Scheitelwerte der Stromstärke und der Teilspannungen? Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen I(t) und Uan(t)?

Lösung:

Mit  = 2f = 6,28103 1/s und RL = L = 628 , RC = 1/ C = 796  erhält man

Ieff = Uaneff/RS = 0,0444 A, Im = 2 Ieff = 0,0628 A,

ULm = RLIm = 39,4 V, UCm = RCIm = 50,0 V, URm = RIm = 9,42 V

Wegen RC > RL, also UCm > ULm arbeitet der Kreis kapazitativ. Wenn im Zeigerdiagramm der Zeiger für UR nach rechts weist, so weist der Zeiger für Ub im vorliegenden Fall nach unten. Die angelegte Spannung eilt gegenüber der Stromstärke nach.  ist negativ: tan  = (RL – RC)/R = -1,12   = -0,842 = -0,268  oder in Grad:  = - 48,2o

Siebkreis

siebkreis1

Aufgaben

4.Aufgabe: Im folgenden gelten die Daten aus Aufgabe 3 (soweit nicht anders angegeben).

a) Zeichnen Sie das Spannungszeigerdiagramm für 1000 Hz und 1300 Hz. 10 V = 1 cm.

b) Für welche Frequenzen arbeitet der Kreis induktiv?

c) Bei welchen Frequenzen ist = 45o? Berechnen Sie jeweils Ieff, ULeff und UCeff.

d) Zeichnen Sie das f-Ieff-Diagramm für 0 Hz bis 2000 Hz. 200 Hz = 1 cm, 0,1 A = 1 cm.

e) Wie groß sind die maximalen Feldenergien Wmagn und Wel für f = 1000 Hz bzw. f = fo?

Siebkreis

siebkreis2

Aufgaben

Lösung Aufgabe 4 a

Siebkreis

Ablesung für 1000 Hz und für 1300 Hz:

Uanm 14 V

siebkreis3

Aufgaben

Lösung Aufgabe 4 b c

b) Der Kreis arbeitet induktiv für

c)  = 45o bedeutet tan  = 1, R = Rb = RL - RC

1.Fall: R = RL – RC. Auflösen nach  ergibt

Nur die positive Wurzel ist physikalisch sinnvoll, da sich sonst <0 ergäbe: 1= 7861 Hz, f1 = 1251 Hz. Das Ergebnis ist plausibel, da nach Aufgabe a) schon bei 1350 Hz Rb > 150 .

Zu f1 = 1251 Hz gehören: RL1 = 786,0  , RC1 = RL1 – 150  = 636,0 , RS1 = 2 R = 212,1 , Ieff1 = 0,0471 A, ULeff1 = 37,1 V, UCeff1 = 30,0 V

Siebkreis

siebkreis4

Aufgaben

Lösung Aufgabe 4 c

c)  = 45o bedeutet tan  = 1, R = Rb = RL - RC

2.Fall: R = RC – RL. Auflösen nach  ergibt

Wieder ist nur die positive Wurzel physikalisch sinnvoll, da sich sonst <0 ergäbe: 2= 6361 Hz, f1 = 1012 Hz. Auch dieses Ergebnis ist plausibel, da nach Aufgabe a) schon bei 1000 Hz Rb > 150 .

Zu f2 = 1012 Hz gehören: RC2 = 786,0  , RL2 = RC2 – 150  = 636,0 , RS2 = 2 R wie im 1. Fall, Ieff2 = 0,0471 A wie im 1. Fall, ULeff2 = 30,0 V, UCeff2 = ULeff1 = 37,1 V

Siebkreis

siebkreis5

Aufgaben

Lösung Aufgabe 4 d

Siebkreis

siebkreis6

Aufgaben

Lösung Aufgabe 4 e

f = fo: Im = 2  Ieff = 0,943 A

Siebkreis

siebkreis7

Aufgaben

6.Aufgabe: Die Abbildung zeigt Spannungsteiler für Wechsel-spannungen mit Wechselstromwiderständen, wie sie in elek-tronischen Schaltungen vorkommen. Berechnen Sie jeweils U1eff und U2eff für f = 200 Hz, 400 Hz, 600 Hz.

Siebkreis

siebkreis8

Aufgaben

Lösung Aufgabe 6

Schaltung a: Die Widerstände und somit auch die Teilspannungen ver-halten sich wie die Eigeninduktivitä-ten. Keine Phasendifferenzen zwi-schen den Teilspannungen: Also: U1eff = 3,0 V, U2eff = 6,0 V

Siebkreis

Schaltung b: Die Widerstände und somit auch die Teilspannungen verhalten sich umgekehrt wie die Kapazitäten. Keine Phasendifferenzen zwischen den Teilspannungen: Also: U1eff = 6,0 V, U2eff = 3,0 V

siebkreis9

Aufgaben

Lösung Aufgabe 6

6 c)

Siebkreis

6 d)

hoch und tiefpass

Aufgaben

4.Aufgabe: a)Geben Sie für Hoch- und Tiefpass das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung U2/U1 als Funktion der Frequenz f an. Zeichnen Sie für C = 10 nF und R = 120 k die Frequenzgangkurven, d.h. die Abhängigkeit des Verhältnisses U2/U1 von der Frequenz f.

b)Bei der sog. Grenzfrequenz fg sind ohmscher und kapazitativer Widerstand gleich groß. Wie groß ist dann die Phasendifferenz zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung? Wie berechnet sich die Grenzfrequenz fg bei Hoch- und Tiefpass aus R und C?

Berechnen Sie fg für C = 10 nF und R = 120 k.

c)Welchen Wert hat das Spannungsverhältnis U2/U1 bei der Grenzfrequenz fg für Hoch- und Tiefpass?

Hoch- und Tiefpass

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Aufgaben

Hoch- und Tiefpass

4.Aufgabe: a)

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Aufgaben

Hoch- und Tiefpass

4.Aufgabe: b)

fg = 132,629 Hz

 = 45o.

4.Aufgabe: c)

Das Verhältnis U2/U1 bei fg = 132,629 Hz (Hochpass) ist: 0,707107

Das Verhältnis U2/U1 bei fg = 132,629 Hz (Tiefpass) ist ebenfalls: 0,707107

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Aufgaben

Hoch- und Tiefpass

5.Aufgabe: Ein Tiefpass soll die Grenzfrequenz fg = 10 kHz haben.

a)Berechnen Sie die zu R = 47 k gehörige Kapazität.

b)Bei welcher Frequenz beträgt die Ausgangsspannung U2 nur noch 10% der Eingangsspannung U1?

a) Die Kapazität beträgt: C = 1,06383 nF

b) Die Frequenz beträgt dann: f = 319,913 Hz

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Aufgaben

Hoch- und Tiefpass

6.Aufgabe: An eine Serienschaltung eines Wider-stands (R = 1,0 k) mit einem Kondensator (C = 4,0 F) wird eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert Ueff,1 = 50 V (f1 = 50/(2 ) Hz) angeschlossen.

a)Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Zei-gerdiagramms (Planfigur) den Effektivwert des im Stromkreis fließenden Stroms und geben Sie dessen Phasenverschiebung zur angelegten Wechselspan-nung an.

Zur Spannungsquelle aus a) wird eine zweite Quelle in Reihe geschaltet (Ueff,2 = 8,0 V, f = 1500/(2 ) Hz).

b)Die Spannung am Widerstand wird nun mit dem Oszilloskop dargestellt. Welches der folgenden Signale ist am Oszilloskop zu erwarten? Geben Sie für Ihre Entscheidung eine plausible Begründung.

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Aufgaben

Hoch- und Tiefpass

6.Aufgabe:

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Aufgaben

Hoch- und Tiefpass

6.Aufgabe:

Die Anordnung stellt einen Hochpass dar. Es ergibt sich das rechte Bild

Der ohmsche Widerstand ist frequenzunabhängig.

Der Kondensator stellt für hohe Frequenzen einen niedrigen Widerstand, für niedrigere Frequenzen einen hohen Widerstand dar  relative Anhebung des hochfrequenten Anteils am Widerstand (vom hochfrequenten Anteil fällt mehr Spannung am ohmschen Widerstand als am Kondensator ab).