Дисциплина ЛААГ (линейная алгебра и аналитическая геометрия)

1. Дисциплина ЛААГ(линейная алгебра и аналитическая геометрия) Кафедра высшей математикиТПУЛектор:доцент Тарбокова ТатьянаВасильевна

2. Тема 4.Аналитическая геометрия в пространстве • Разделы • 1. Плоскость • 2. Прямая в пространстве • 3. Поверхности второго порядка

3. § Плоскость1. Общее уравнение плоскости ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальнымвектором этой плоскости.

4. ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа. 2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ Если в уравнении Ax+By+Cz+D= 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю –неполным. 1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках.

6. 2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C – ненулевые, а D= 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax+By +Cz= 0. Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0). ℓ1: By+Cz=0 (пересечение с плоскостью Oyz) ℓ2: Ax+By=0 (пересечение с плоскостью Oxy)

7. 3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A,B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскостиодин из следующих трех видов: а) Ax+By+D = 0 б)Ax+Cz+D = 0 в)By+Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде а) плоскость отсекает на осях Oxи Oyотрезки aи bсоответственно и параллельна оси Oz;

8. б) плоскость отсекает на осях Oxи Ozотрезки aи cсоответственно и параллельна оси Oy; в) плоскость отсекает на осях Oyи Ozотрезки bи cсоответственно и параллельна оси Ox. Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей в уравнении координаты.

9. 4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D0, т.е. уравнение плоскости имеет вид:а) Ax+D= 0 или б) By+D= 0 или в) Cz+D= 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) плоскость отсекает на оси Oxотрезок aи параллельна осям Oy и Oz(т.е. параллельна плоскости Oyz);

10. б) плоскость отсекает на Oyотрезок bи параллельна осям Ox и Oz(т.е. параллельна плоскости Oxz); в) плоскость отсекает на Ozотрезок cи параллельна осям Ox и Oy(т.е. параллельна плоскости Oxy). Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих в уравнении координат.

11. 5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D= 0 и один из коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+By= 0 или б) Ax+Cz= 0 или в) By+Cz= 0. Плоскость проходит через начало координат и ось отсутствующей в уравнении координаты.

12. 6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид а) Ax= 0 или б) By= 0 или в)Cz= 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) x= 0 – уравнение координатной плоскости Oyz; б) y= 0 – уравнение координатной плоскости Oxz, в) z= 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.

13. Замечание. Пусть плоскость λ непроходит через O(0;0;0). Обозначим: 1) P0(x0;y0;z0) – основание перпендикуляра, опущенного наλ из начала координат, Тогда уравнениеλможно записать в виде cosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0, где D = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения плоскости называется нормальным уравнением плоскости.

14. 2. Другие формы записи уравнения плоскости Другие формы записи: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (см. уравнение (1) и (1*)); Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (2)); Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам; Уравнение плоскости, проходящей через три точки; 1)Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно неколлинеарным векторам

16. 2)Уравнение плоскости, проходящей через три точки, нележащие на одной прямой– частный случай уравнения (4) Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.

17. 3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения плоскостей λ1иλ2имеют вид: λ1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 λ2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Тогда:

18. 1) Пусть плоскости параллельны: Получаем, что плоскости λ1 и λ2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.

19. 2) Пусть плоскости пересекаются где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

20. Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е. критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями.

21. 4. Расстояние от точки до плоскости ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D= 0 , M0(x0;y0;z0)– точка, не принадлежащая плоскости λ. Найти расстояние от точки M0 до плоскости λ.

22. § Прямая в пространстве1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ. Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

23. Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

24. называют параметрическимиуравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

25. Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

26. 2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой. а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1). б) Направляющий вектор Пусть прямая ℓзадана общими уравнениями:

27. 3. Взаимное расположение прямых в пространстве В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться. Пусть прямые ℓ1и ℓ2заданы каноническими уравнениями: 1) Пусть прямые ℓ1и ℓ2параллельны:

28. 2) Пусть прямые ℓ1и ℓ2 пересекаются: Получили: прямые ℓ1иℓ2 пересекаются они не параллельны и для них выполняется условие(7*) или, в координатной форме, 3) Если для прямых ℓ1и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются.

29. 4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам: 1) параллельные прямые  расстояние между прямыми (т.е. расстояние от точки до прямой)? 2) пересекающиеся прямые  а) угол между прямыми? б) точка пересечения прямых? 3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми? б) расстояние между прямыми?

30. ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1иℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1. Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Получаем: где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

31. ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

32. ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. где Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости λ ,M2(x2;y2;z2) – любая точка на прямой ℓ2 .

33. Тогда d– высота пирамиды (параллелепипеда), опущенная из точки M2. Следовательно:

34. ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений

35. 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве заданы плоскостьλ и прямая ℓ . Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

36. а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. б) Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

37. Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости

38. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ. Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.

39. § Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0,гдеF(x,y,z) – многочлен степени 2.  в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 . Поверхности второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка). Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

40. 1. Эллипсоид ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению гдеa, b, c – положительные константы. Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

41. Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным. Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

42. Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой. Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде x2 + y2 + z2 = r2, где r – величина полуосей, которая называется радиусомсферы. С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

43. 2. Гиперболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению где a, b, c – положительные константы. Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

44. Величины a, b и c называются полуосямиоднополостного гиперболоида. Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы вокруг своей мнимой оси. Замечание. Уравнения тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

45. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению гдеa, b, c – положительные константы. Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

46. Величины a, b и c называются полуосямидвуполостного гиперболоида. Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы вокруг своей действительной оси. Замечание. Уравнения тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

47. 3. Конус ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусомназывается геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению гдеa, b, c – положительные константы. Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

48. Величины a, b и c называются полуосямиконуса. Центр симметрии Oназывается вершиной конуса. Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой вокруг оси Oz. Замечание. Уравнения тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

49. 4. Параболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическимпараболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению гдеa, b – положительные константы. Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

50. Величиныaиbназываются параметрамипараболоида. Точка Oназывается вершиной параболоида. Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы вокруг оси Oz. Замечания: 1) Уравнение тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз. 2) Уравнения определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно. Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).