6. 일과 에너지에

1. 6. 일과에너지에 힘 변위

2. 6장의 내용 6.1 일정한 힘이 하는 일 6.2 변하는 힘이 하는 일 6.3 운동 에너지와 일·에너지 원리 6.4 퍼텐셜 에너지 6.5 보존력과 비보존력 6.6 운동 에너지와 운동 에너지 보존 6.7 운동 에너지 보존을 이용한 문제 풀이 6.8 다른 형태의 에너지와 에너지 변환, 에너지 보존 법칙 6.9 소모성 힘을 포함한 에너지 보존과 문제 풀이 6.10 일률

3. 6장 주요용어 . 일(work) 운동 에너지(kinetic energy) 병진 운동 에너지(translational kinetic energy) 일·에너지 원리(work-energy principle) 퍼텐셜 에너지(potential energy) 중력 퍼텐셜 에너지(gravitational potential energy) 용수철 상수(spring constant) 용수철 식(spring equation) 훅의 법칙(Hooke’s law) 탄성 퍼텐셜 에너지(elastic potential energy)

4. 6장 주요용어 보존력(conservative force) 비보존력(nonconservative force) 일·에너지 원리(work-energy principle) 보존량(conserved quantity) 역학적 에너지 보존 원리(principle of conservation of mechanical energy) 에너지 보존 법칙(law of conservation of energy) 소모성 힘(dissipative forces) 효율(efficiency)

5. 6-1 일정한 힘이 한 일 (6.1) 일정한 힘이 한 일은 변위와 나란한 방향의 힘의 성분과 변위의 크기(움직인 거리)의 곱으로 정의한다.

6. 일의 SI 단위 J(줄, joules): 1 J = 1 N ·m 식료품 가방을 옮기거나 내리지 않는 한 물건에 일을 하지 않는다. 그가 작용한 힘은 운동방향의 성분을 가지지 않기 때문이다.

7. 예제 6.1 큰 상자에 한 일 그림 6.3에서와 같이 50 kg의 큰 상자를 37°의 각도로 FP = 100 N의 일정한 힘을 가해 수평의 바닥 위를 따라 40 m 거리를 끌고 간다. 바닥은 거칠어서 의 마찰력을 준다. • 상자에 작용하는 각각의 힘이 한 일과 • 상자에 한 알짜 일을 구하라.

9. 일에 관한 문제풀이: • 자유물체도형을 그려라. • 좌표계를 선정하여라. • 알려지지 않은 모든 힘을 결정하기 위하여 뉴턴의 법칙을 적용하여라. • 특별한 힘이 한일을 구하여라. • 알짜 일을 구하기 위하여,알짜 힘을 구하고 그 힘이 한일을 구하거나 각 힘이 한 일을 구하고 그것을 더하여라.

10. 예제 6.2 배낭에 한 일 • 풀이 • 자유 물체 도형 그리기. 배낭에 작용하는 힘들은 그림 6.4b와 같다. 즉 아래로 작용하는 중력 와 배낭을 지탱하기 위해 등산객이 위로 가하는 힘 이다. 가속이 영이므로 배낭에 가해지는 수평 힘은 무시한다. • 좌표계 설정. 배낭의 연직 운동에 관심이 있으므로 +y축을 위쪽 연직 방향으로 잡는다. • 뉴턴 법칙 적용. 배낭에 연직 방향으로 뉴턴 제2법칙을 적용하면(이므로) • 이고, 따라서 다음과 같다. • 그림 6.4a와 같이 15.0 kg의 배낭을 메고 높이 h = 10.0 m의 언덕 위로 올라가는 데 등산객이 한 일을 구하라. 또 • 중력이 배낭에 한 일과 • 배낭에 행해진 알짜일을 구하라. 단순화하기 위해 움직임이 서서히 등속도(즉 가속이 영)로 일어났다고 가정한다.

12. 마찰력과 같이 운동방향과 반대로 작용한 힘이 한 일은 음(-)이 된다. 구심력은 항상 운동방향과 수직이기 때문에 일을 하지 않는다.

13. 6-2 변하는 힘이 한 일 힘이 변하는 경우에는, 거리를 작은 조각으로 나누고 각 구간에서 한일을 구하고 그들을 모두 더해서 대략적인 일을 구할 수 있다.조각을 매우 좁게 하면 한일은 힘과 거리 그래프 아래의 면적이 된다.

14. 6-3 운동에너지와 일• 에너지 원리 • 에너지는 일을 할 수 있는 능력으로 정의 한다. • 우리는 모든 힘이 다 일을 할 수 없다는 것을 알고 있다. • 이 장에서는 이 정의에 따르는 역학적 에너지를 다룰 것이다.

15. 가속도를 속도와 거리로 표현한 식을 사용하면 한일을 구할 수 있다. • 병진운동에너지의 정의: (6.2) (6.3)

16. 한 일은 운동에너지의 변화와 같다. • . • 한 일이 양이면 운동에너지는 증가하고 한일이 음이면 운동에너지는 감소한다. (6.4) 일•에너지의 정리 물체에 한 알짜 일은 그 물체의 운동 에너지의 변화와 같다

17. 일과운동에너지는 같게 놓을 수 있기 때문에 단위가 같다. 곧, 운동에너지도 J 단위로측정한다.

18. 예제 6.3 운동 에너지를 늘리기 위해 차에 하는 일 1000 kg인 자동차의 속력을 20 m/s에서 30 m/s로 가속하는 데 필요한 알짜 일은 얼마인가?

19. 6-4 퍼텐셜 에너지 물체는 그 주변의 환경 때문에 퍼텐셜 에너지를 가진다. 우리에게 잘 알려진 퍼텐셜에너지: • 용수철(감긴 스프링)의 퍼텐셜 에너지 • 늘린 고무줄 의 퍼텐셜 에너지 • 지상으로 들어올린 물체 의 퍼텐셜 에너지

20. 중력 퍼텐셜 에너지 손이가한 힘 (6.5a) (6.5b) (6.6) 질량 m인 물체를 높이 h로 들어 올렸을 때 , 외력이 한 일은 중력 퍼텐셜 에너지 :

21. 식 6.5a와식 6.6을 결합하면 또 식 6.5b 에서 곧 (6.7b)

22. 예제 6.4 롤러코스터의퍼텐셜 에너지 변화 1000 kg의 롤러코스터가 그림 6.10의 위치 1에서 위치 2를 거쳐 위치 3까지 움직인다. • 위치 1에 대해 위치 2와 위치 3에서의 중력 퍼텐셜 에너지는 얼마인가? 즉 위치 1을 y = 0으로 잡는다. • 위치 2에서 위치 3으로 이동할 때 퍼텐셜 에너지의 변화는 얼마인가? • 위치 3을 기준 위치(y = 0)로 잡고 (a)와 (b)를 다시 구하라.

24. 퍼텐셜 에너지의 일반적인 정의 일반적으로 특정한 힘과 연관된 퍼텐셜 에너지의 변화는 물체가 한 위치에서 다른 위치로 옮겨 가면서 그 힘이 물체에 한 일의 음의 값과 같다(중력의 경우 식 6.7b와 같음). 퍼텐셜 에너지의 변화는 두 위치 사이에 물체를 가속하지 않으면서 옮기기 위해 외력이 물체에 해야 하는 일

25. 탄성 용수철의 퍼텐셜 에너지 • 용수철을 압축하여 퍼텐셜 에너지를 그것에 저장 할 수 있다. • 아래 그림은 퍼텐셜 에너지에 의해 운동에너지가 생성되는 것을 보여준다.

26. 탄성 용수철의 퍼텐셜 에너지 평형 (6.8) 늘림 압축 용수철을 늘리거나 압축시키는 데 가해준힘 용수철이 가한 힘 k는 용수 용수철 식/훅의 법칙.

27. 용수철을 더 늘리거나 압축시키기 위해서 한일, (6.9) 저장된 에너지로서 퍼텐셜 에너지 => 잠재능력 이때 용수철의 평형점으로 부터 측정한 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

28. 6-5 보존력과 비보존력 마찰이 있다면, 시작점과 끝점 뿐만 아니라 택한 경로에 따라서도 변한다. 마찰력은 보존력이 아니다.

29. 표 6.1 보존력과 비보존력 보존력 비보존력 퍼텐셜 에너지는 보존력에 대해서만 정의할 수 있다.

30. 일·에너지 원리의 확장 (6.10) 알짜 일은 보존력이 한 일 와 비보존력이 한 일 의 합이다. 곧, 보존력이한 일은 두식을 결합하면

31. 6-6 역학적 에너지와 역학적 에너지 보존 (6.11a) (6.11b) (6.12a) (6.12b) 만일비보존력이 없다면 운동에너지의 변화와 퍼텐셜에너지 변화의 합은 0이 된다. 변화량은 서로 같지만 부호는 반대이다. 식(6.11)로부터 우리는 총에너지를 정의할 수 있다. 식(6.12 b)는에너지가 보존 됨을 의미한다.

32. 역학적 에너지 보존 원리 (principle of conservation of mechanical energy) 만일 보존력만 일을 한다면 계의 전체 역학적 에너지는 어떤 과정에서도 증가하거나 감소하지 않는다. 이는 일정하게 유지된다. 곧 보존된다.

33. 6-7 역학적 에너지 보존을 이용한 문제풀이 모두 퍼텐셜 에너지 반반 모두 운동 에너지 그림 6.15 왼쪽 그림에서 총역학적 에너지는 E = KE + PE = ½ mv2 + mgy 오른쪽 막대그래프는 에너지가 퍼텐셜 에너지에서 어떻게 운동에너지로 변하는가를 보여준다.

34. (6.13) • 중력만 있을 때 위치 1의 전체 역학적 에너지 = 위치 2의 전체 역학적 에너지

35. 예제 6.5 낙하하는 돌 그림 6.15에서 돌의 처음 높이가 m라고 할 때 돌이 지면으로부터 1.0 m까지 떨어질 때의 속도를 구하라.

36. 예제 6.6 에너지 보존을 이용한 롤러 코스터 속력 구하기 그림에서 언덕의 높이가 40 m이고 롤러코스터가 꼭대기에서 정지 상태로부터 출발할 때 언덕 맨 아래에서의 열차의 속력과 속력이 이 값의 절반이 되는 때의 높이를 구하라. 언덕의 맨 아래를 y = 0으로 잡는다.

38. (6.14) 탄성력에 대한 에너지 보존법칙 :

39. 예제 6.8 두 가지 퍼텐셜 에너지 질량이 m = 2.60 kg인 공이 그림과 같이 정지 상태로부터 연직거리 h = 55.0 cm를 낙하하여 연직으로 서 있는 코일 용수철과 충돌하여 용수철을 Y = 15.0 cm만큼 압축시켰다. 용수철 상수 k를 구하라. 용수철의 질량은 매우 작다고 가정하고 공기 저항은 무시한다. 공이 압축되기 전의 용수철에 처음 부딪치는 위치를 기준점으로 하여 모든 거리를 나타내라.

42. 6.8 다른 형태의 에너지와 에너지 변환, 에너지 보존 법칙

43. 6-9 에너지 소모가 있을 때의 에너지 보존법칙; 문제풀이 마찰력과 같은 비보존력이 작용한다면, 운동에너지와 퍼텐셜에너지는 어디로 갈까? 그들은 열로 변한다. 관련 물질의 온도상승을 실제로 계산할 수 있다.

44. 비보존력이 한 일 (6.15) (6.16a) 또는 (6.16b) 중력과마찰력이 작용할 때

45. 그림을 그린다. 그림 6.24 참조 계를 설정한다. 계는 롤러코스터와 지구(중력을 가하는)이다. 열차에 작용하는 힘은 중력과 마찰력이다. (열차에 수직 항력도 작용하지만 일을 하지 않기 때문에 에너지에 영향을 주지 않는다.) 중력에 대해서는 퍼텐셜 에너지로 넣어주고 마찰력에 대해서는 Ffrd를 넣어준다. 처음과 나중 위치를 잡는다. 위치 1을 열차가 구르기 시작하는 순간(첫 번째 언덕의 맨 꼭대기)으로 위치 2를 두 번째 언덕의 25 m 위에서 열차가 정지하는 순간으로 잡는다. 기준계를 잡는다. 움직이는 경로 중 가장 낮은 위치를 y = 0으로 잡아 중력 퍼텐셜 에너지의 기준 위치로 삼는다. 역학적 에너지가 보존되는가? 아니다. 마찰이 있다. 에너지 보존을 적용한다. 열차에 마찰이 작용하므로 에너지 보존을 식 6.16b 형태로 적용하되 = 0, = 40 m, 2 = 0, = 25 m, d = 400 m를 대입한다.

46. 일·에너지 원리와 에너지 보존 법칙의 비교 에너지 보존 법칙은 일·에너지 원리보다 좀 더 일반적이고 좀 더 강력한 법칙이다. 6.9 마찰이 있을 때의 롤러코스터 예제 6.6의 롤러코스터가 두 번째 언덕에서 연직 높이 25 m까지만 올라가서 정지했다(그림 6.24. 롤러코스터는 전체 400 m를 움직였다. 발생한 열에너지와 질량이 100 kg인 열차의 평균 마찰력(대략적으로 일정하다고 가정)을 구하라.

47. 문제풀이: 그림을 그려라. 에너지가 보존되는 계를 정하여라. 구하려는 것을 그림으로 그리고 처음과 나중 위치를 정하라. 기준계를 정하여라. 에너지 보존법칙을 적용하여라. 풀이하여라.

48. 6-10 일률 일률은 일을 한 비율 : 일률의 SI 단위 : 1W = 1 J/s 계단을 걸어서 오르거나 뛰어서 오르거나 중력 퍼텐셜 에너지는 같지만 일률은 다르다 (6.17)

49. 예제 6.10 계단을 올라가는 일률 60 kg인 사람이 많은 계단을 4.0 s 걸려서 뛰어 올라간다(그림 6.25). 계단의 연직 높이는 4.5 m이다. • 이때의 일률을 와트와 마력으로 구하라. • 이 경우 필요한 에너지는 얼마인가?

50. (6.18) 일률은 중력을 거슬러 운동하거나 가속하기 위해서도 필요하다. 평균 일률을 힘과 평균 속도로 쓸 수 있다.