五、瞬时转动中心的求法：

1. 五、瞬时转动中心的求法： 1、图示法： 2、分析法： （1）空间极迹：

2. （2）本体极迹：

3. 例：求杆子的空间极迹和本体极迹？ 解： 1、图示法： ①选定、动坐标系 ②用图示法找出瞬心的位置。 ③将瞬心位置用定、动坐标表达

4. 2、分析法解： 作业：p.236 3.157、3.167、3.177

5. § 3、刚体绕固定点转动 一、定义： 二、角速度是矢量 1、有限大小的角位移不是矢量。 2、无限小的角位移是矢量。 3、角速度是矢量： 三、欧拉角 A （O,O,O） B (x1,y1,z1) C (x2,y2,z2) ON——节线 ——进动角 ——自转角 ——章动角 欧拉角

6. § 4、作用在刚体上的力 一．力的可传性： 1、一个实验事实： 2、力的可传性：作用在刚体上的力，可沿其作用线移动 。力是滑移矢量 3、注意： （1）力的作用线的位置不能任意平移。 （2）讨论物体的形变时，力的可传性失 效。 （3）力的可传性只限于同一个刚体内

7. 二、平面汇交力系的合力 三、平行力系的合力： 合力的作用点C的坐标为：

8. 四、力偶 1、力偶不存在合力。 大小： 2、力偶矩： [力偶矩与计算力矩的参考点无关，可以任意改变 及 ， 不变 。] （1）在同一平面内，具有相同力偶矩的力偶是等效的。 限于刚体内 （2）平行平面内，两个力偶矩相同的力偶等效。 （3）既然作用在刚体上的力偶是自由矢量。 3、合力偶矩 力偶系

9. 五、一般力系的简化——一力和一力偶 主矢： 主矩：

10. § 5、刚体运动微分方程与刚体静力学 一、刚体运动微分方程： 1、由质心运动定理 ——主矢 2、对质心的动量矩定理 ——主矩 3、对固定点的动量矩定理 ——对固定点o的主矩 4、辅助方程： 机械能守恒：T+V=E。

11. 二、刚体静力学： 1、刚体的平衡方程 平衡条件： 对任意点o的主矩： 2、汇交力系的平衡方程

12. 3、平面力系的平衡方程 注意： 1、刚体的位置，刚体所受的力。 2、从力学理论上讲只能解决六个未知量。 3、掌握有分有合的方法。 4、简化中心o应选在未知力最多的地方 5、解题时还要注意几何关系。

13. 例1、求A及B点对杆的作用力。 解： （1）取杆子为研究对象 （2）受力分析 （3）建立坐标系 （4）列方程 对B点取矩以逆时针方向为正 大小： 方向：

14. 例2、两根杆子OA和AB长度均为l，重量均为Q。两杆光滑铰接于A，杆OA的另一端又铰接于固定点O，杆AB的B端则搁在地板上。当OA与悬直线成 角，AB与水平线成 角时，此系统正好要开始向左滑动，如图所示，试求地板对杆AB的静摩擦系数。 解法一：将系统分成OA和AB两部分来考虑。 对AB： 对OA杆： 对A点： 对O点取矩：

15. 解法二、光考虑AB和OA整体的平衡，然后考虑AB或OA的平衡解法二、光考虑AB和OA整体的平衡，然后考虑AB或OA的平衡 对O点取短： 作业：p.3.27,3.47,3.57

16. § 6、刚体的平动与绕固定轴的转动——动力学 一、平动：质点动学规律都适用 二、定轴转动的动力学问题 1、动能定理： 2、定轴转动的动力学方程 [作为定轴转动的例子.p.188,例1.]

17. § 7、刚体的平面平体运动 一、基本动力学方程： 平动约束 约束关系 转动约束 二、动能定理、机械能守恒律： d(T+V)=0

18. 例1、有一条不可伸长的轻绳一端固结在天花板上，另一端缠着一个半径为r，重为p的滑轮。求滑轮中心即圆心下降的加速度。例1、有一条不可伸长的轻绳一端固结在天花板上，另一端缠着一个半径为r，重为p的滑轮。求滑轮中心即圆心下降的加速度。 解法一： 取坐标原点0为零势点。 解法二：

19. 条件： 方向指向圆心

20. 例2、p.238-3.227 求t=? 解 ：（1）∵球和板之间有相对运动∴不能将球和板当作单刚体处理。应该分别取球和板为研究对象。由题意可知，板是作平动的，而球是作平面平行运动。 对这个问题我们得先分别列出它们的动力学方程，然后根据题意找出两者之间所存在的约束关系，那么根据所求的问题就可以得出最终的结果。 （2）受力分析、运动分析 （3）建立坐标系∵两物体在垂直方向上都没有运动∴只需沿水平方向取一维坐标。 （4）列出研究对象的动力学方程。 对m： 对M：

21. ∵ 、 和 均为常数，设球从静止到作纯滚动经历的时间为t，因此球在初始时刻t=0时 （找出约束关系，才能解出所求的结果） （5）找约束关系： 根据平面平行运动刚体上一点的速度公式来找出运动约束关系。取c为基点，则球与板的接触点o的速度为： ∵作纯滚动时： 作业：p.23 3.207 3.237 3.287

22. 第六章 分析力学 § 引言 § § § § 1、约束与广义坐标 4、完整约束的第二类拉 格朗日方程 2、虚功原理 3、达朗伯—拉勃朗日方程

23. § 1、约束与广义坐标 一、约束： 1、定义：凡是强加在体系上而限制其运动（几何位置，速度）的条件 约束方程： 2、约束的分类: （1）完整与不完整约束： （2）稳定约束与不稳定约束：

24. （3）可解约束与不可解约束： 质点可离开约束面的约束－－叫做可解约束。 解： 二、广义坐标： 1、定义：凡是以描写质点组位置所需最少的一组参量，就叫做广义坐标。α＝1,2，……s 2、广义坐标：（直角坐标）长度，角度。 3、广义速度： 广义速度。

25. 三、自由度： n——3n k——完整约束 s=3n-k i=1,2,3···n

26. § 2、虚功原理 达朗伯—拉格朗日方程→第二类拉格朗日方程→哈密顿正则方程→哈密顿原理→正则交换→哈密顿一雅可俾方程 。 虚功原理 达朗伯原理 一、虚位移：符合约束条件的假想的位移—— （1）假想的 （2）与t无关 （3）虚位移可以有好多个 实位移：是经过dt后质点的真正位移——只能有一个 二、虚功原理： 1、虚功： 2、理想约束 ： 3、定理：质点组在理想约束的情况下，其平衡条件(必要)是主动力所作的虚功之和为零。

27. 证明： 适用：质点组，理想约束 三、应用虚功原理解题： 例1、求F=？ 解： ②找主动力 ①选系统：杆子 ③列出虚功方程： ④虚功方程列出之后，要把方程中的虚位移化成独立的变量。 ×

28. 例2、已知p、l求轻杆所受的力 解： p.276.例1.可让学生在课堂上自学。

29. § 3、达朗伯—拉勃朗日方程 一、达朗伯原理 达朗伯原理的坐标系是选在与质点无相对运动上的。 推论： ① ② 二、朗伯——拉格朗日方程： 理想约束：

30. § 4.完整约束的第二类拉格朗日方程 二、两个数学关系。 ① ②

31. 作业：p.362 5.17,5.27,5.37

32. 二、方程的推导

33. 基本形式的拉格朗日方程

34. 三、讨论： 1、这是s个方程，可解s个广义坐标q=q(t)。 2、这是s个对t的二阶常微分方程。 3、条件：完整约束，动能T是相对于惯性系的动能；对质点和质点组都是适用的；对非惯性系也适用，q可用动坐标。 4、解题的方法是一致的，只要写出 5、广义力是什么？ 求广义力的方法： ① 按定义： ②

35. 例1：一个自由质点，取直角坐标系 令

36. 例2、 ， ，试求出其拉格朗日方程。 解： （1）选取广义坐标： （2）求动能：

37. （3）求出广义力：

38. 方法二：求 设有一： 求 设 （4）列拉氏方程：

39. 例3.p.265 4.107求小圆环m在大圆圈切向的运动微分方程。

41. 例4.已知杆与平衡锤对o的 ，对o1的 ，求杆的角加速度。 解：取 杆+平衡锤+A轮 = 寻找约束关系：方法一： 方法二：由瞬心法或纯滚动的条件可得： 又 故有：

42. 例5.[课堂练习]让学员由拉化方程推出刚体作平面平行运动的基本动力学方程。例5.[课堂练习]让学员由拉化方程推出刚体作平面平行运动的基本动力学方程。

43. 10、上式换成单摆 ，结果又会怎样？ （上课举过的保持系拉氏方程的两个例子，作业的三个题，尤其是作业的补充题）

44. 四、完整约束保守系的拉格朗日方程： 适用条件：完整约束，保守力系或内外力均不作虚功L对惯性系的量，

45. 例1：求两质点的相对运动规律。 解： （1）取 （2） （3） （4）列出拉氏方程

46. （5）解方程得出结果 令 则 令

47. 例2.设有一与弹簧相连的滑块A，其质量为m，它可沿光滑水平面无摩擦来回滑动。弹簧的弹性系数为k。在滑块A上又连一单摆，如图所示。摆的质量为m2，摆长为l（杆子的质量不计）试用拉氏方程列出该系统的运动微分方程。例2.设有一与弹簧相连的滑块A，其质量为m，它可沿光滑水平面无摩擦来回滑动。弹簧的弹性系数为k。在滑块A上又连一单摆，如图所示。摆的质量为m2，摆长为l（杆子的质量不计）试用拉氏方程列出该系统的运动微分方程。 解：（1）取m1+m2+弹簧 为研究系统，此系统除了保守力之外，其它力均不作虚功∴可以用保守系拉氏方程求解。 （2）选广义坐标： 取弹簧原长时A所在的位置为坐标原点。 （3）求T，V，L 方法一： 方法二：

48. （4）列出拉氏方程 （5）解方程得出结果： 作业：p.364 5.97, 5.167.5.117