第五节 平面及其方程

1. 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 返回

2. 一、平面的点法式方程 在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线. 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线 向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量 垂直. 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面II上一点 和它的一个法线向量 为已知时，平面Π的位置就完全确定了. 下面我 们来建立平面Π的方程.

3. 设 是平面II任一点(图7－51). 那么向量必与平面II的法线向量n垂直，即 它们的数量积等于零： 由于 , ,所以有： (1) 所满足的方程 . 这就是平面II上任一点 M的坐标 反过来，如果 不在平面II上,那么向量 与法线向量 不垂直, 从而 ,即不在平面II上 的点M的坐标x，y，z不满足方程(1).

4. x – 2y + 3z – 8=0 即 由此可知，平面II上的任一点的坐标x，y，z都满足方程(1)； 不在平面II上的点的坐标都不满足方程(1). 这样，方程(1) 就是平面II的方程，而平面II就是方程(1)的图形. 由于方程 (1)是由平面II上的一点 及它的一个法线向量 确定的，所以方程(1)叫做平面的点法式方程. 例 1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)位法线向量的平面的方程. 解根据平面的点法式方程(1)，得所求平面的方程 (x - 2) – 2(y + 3) + 3z=0,

5. 例 2求过三点M1 (2, -1, 4), M2 (-1, 3, -2)和M3 (0, 2, 3)的平面 的方程. 解 先找出这平面的法线向量 n. 由于向量n与向量 都垂直，而 ＝(-3, 4, -6), =(-2, 3, -1)， 所以可取它们的向量积为n： n= = =14i + 9j – k, 根据平面的点法式方程(1)，得所求的平面的方程为 14(x - 2) + 9(y + 1) – (z – 4 ) = 0, 14x + 9y – z – 15 = 0. 返回

6. 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程(1)式x、y、z的一次方程，而任意平 面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示. 反过来，设有三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0. 我们任取满足方程的一组数 x0, y0, z0，即 A x0 + By0+ Cz0 + D = 0. 把上述两等式相减，得 A(x-x0 ) + B(y- y0) + C (z-z0) = 0. 把上述两等式的点法式方程(1)作比较，可以知道方程(4)是 通过点M0 (x0, y0, z0)且以n=(A, B, C)为法线向量的平面方程.但方程(2)与方程(4)同解，这是因为由(2)减去(3)即得(4)，又由(4)加上(3)就得(2). 由此可知，任一三元一次(2)的图形总是一个平面.

7. 例如，方程 3x – 4y + z -9 = 0 方程(2)称为平面的一般方程，其中x, y, z的系数就是该平面 的一个法线向量n的坐标，即n=(A, B, C). 表示一个平面，n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量. 对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. 当D=0时，方程(2)成为Ax + By + Cz = 0，它表示一个通过 原点的平面. 当A=0时，方程(2)成为Bx + Cz + D = 0，法线向量n(0, B, C) 垂直于x轴，方程表示一个平行于x轴的平面. 同样，方程Ax + Cz + D = 0和Ax + By + D = 0，分别表示一个平行于y轴和z轴的平面. 当A=B=0时，方程(2)成为Cz + D=0或z=- ，法线向量 n(0, 0, C)同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于xOy面的 平面.

8. 或 C = -3B. 0)，便得所求的平面方程为 以此代入所设方程并除以 B(B 例 3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是 法线向量在x轴上的投影为零， 即A=0；又由平面通过x轴， 它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为 By + Cz = 0. 又因这平面通过点(4, -3, -1)，所以有 -3B – C = 0, y – 3z = 0.

9. c 0). 0, 例 4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b,0)、R(0, 0, c)三点(图7－52)，求这平面的方程(其中 a 0, b 解 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz = 0 因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在 这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足 方程(2)；即有 ，C=- 得A=- ，B=-

10. 以此代入(2)并除以D(D 0)，便得所求的平面方程为 方程(5)叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做 平面在x、y、z轴上的截距. 返回

11. 设平面II1和II2的法线向量依次为n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), ( 那么平面II1和II2的夹角 (图 7-53)应是 n1 ,n2 )和 (-n1 ,n2)= -(n1 ,n2)两者中的锐角， 因此，cosθ=|cos(n1 ,n2)|. 三、两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面II1和平面II2的夹角θ可由 来确定. 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： II1、II2互相垂直相当与 II1、II2互相平行或重合的相当于

12. 例 5 求两平面x–y + 2z – 6 = 0和2x + y + z – 5 = 0的夹角. 解 由公式(6)有 因此，所求夹角

13. 由(7)、(8)得到 A=-2C, B=C. 2x-y-z=0. 或 例 6 一平面通过两点M1 (1,1,1)和M2 (0,1,-1)且垂直于平面 x + y + z=0,求它的方程. 解 设所求平面的一个法线向量为n=(A,B,C). 因 =(-1, 0,-2)在所求平面上，它必与n 垂直 ，所以有 -A-2C=0. 又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0， 所以又有A+B+C=0. 由平面的点法式方程可知，所求平面方程为 A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0, 将A=-2C及B=C代入上式，并约去C(C≠0)，使得 -2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0. 这就是所求的平面方程.

14. =(x0-x1, y0-y1, z0-z1), 例 7设P0 (x0 ,y0 ,z0)，并作一法线向量n，由图7-54，并考虑到 与n的夹角也可能是钝角，得所求的距离(图7-54). 解在平面上任取一点P0(x1,y1,z1)，并作一法线 向量n，由图7-54，并考虑到 与n的夹角也可 能是钝角，得所求的距离 d=|Prjn |. 设en为与向量n方向一致的单位向量，那么有 Prjn = 而

15. 所以 Prjn = = 由于 所以 Prjn = 由此得点P0 (x0 ,y0 ,z0)到平面 的距离公式： d=

16. d= 例如，求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离. 可利用公式(9)，便得 返回