宇宙学中的基本常数

1. 宇宙学中的基本常数 邹振隆 （中科院国家天文台） 2013年11月6日

2. 数学常数 用数学方法可以定义和计算（独立于物理测量）的不变数值,例如：圆周率π（圆周长与直径之比） 实测法：有效数字2位（阿基米德以前） 几何法：刘徽，3.1416…（263年） 分析法：莱布尼兹公式，13位（1400年） 计算机时代：近藤茂，10万亿位（2011年） 重要性：几乎渗透数学、物理学、工程科学的一切领域。

3. 物理常数 在任何地点和时间具有不变数值的物理量，例如： 真空中光速c=2.99792458×108m/s（定义量） 一般需用仪器进行物理测量，带有不确定度，如： 牛顿引力常数G=6.67384（80）×10-11m3kg-1s-2 标准不确定度u=0.00080,相对误差ur=1.2 ×10-4 普朗克常数h=6.62606957（29）×10-34J·s 标准不确定度u=0.00000029,相对误差ur=4.4 ×10-8

4. 宇宙学中的常数 现代宇宙学是物理学与天文学共同发展的结果，宇宙学中的基本常数实质上是物理常数，要用物理方法测定。这些常数决定着宇宙的年龄、几何、演化和命运，地位十分重要，但相比其他物理常数，测量值不确定性很大。 当前的测量结果是： 哈勃常数H0~ （70.8±4.0 ）km s-1Mpc-1 曲率常数K ~0 宇宙学常数λ= (1.2 ± 0.2) x 10-55 cm-2

5. 现代宇宙学早期历史 爱因斯坦 1905年 爱因斯坦建立狭义相对论 1915年 爱因斯坦建立广义相对论 1917年 爱因斯坦提出静态宇宙模型 1922年 弗里德曼得到爱因斯坦方程膨胀解 斯莱弗测得41个旋涡星云视向速度 1927年 勒梅特提出试探性的星系退行速度和 距离关系 v = H0d 1929年哈勃以更精确的距离测定提供了最好的 观测证明。史称哈勃定律，H0称哈勃常数。

6. 爱因斯坦建立广义相对论 （1915） 受此启发，爱因斯坦将其推广为： 狭义相对论的四维表述：闵可夫斯基时空（1907） 爱因斯坦的推广：“时空因应物质而弯曲，物质因应时空而运动” 时空的性质： 引力场方程：牛顿引力理论的泊松方程（物质密度ρ决定引力势Φ）：

7. 爱因斯坦建立静态宇宙模型1917 • 宇宙学原理：宇宙从大尺度上看是均匀、各向同性的（没有优越的位置和方向）。 南天200万个星系的分布

8. 微波背景辐射的分布 WMAP

9. Robertson-Walker度规 从数学上可以证明，满足宇宙学原理的时空一定是RW度规 R（t)为标度因子，描述曲率半径随时间的演化， R（t0)=Rc,0 k=1 正曲率，k= -1 负曲率，k=0 平直几何

10. 弗里德曼方程 1922 • 设宇宙物质由理想流体描述，将其能量动量张量（ρc2,-p,-p,-p)和R-W度规代入场方程得弗里德曼方程 弗里德曼 a(t)=R(t)/R(t0)

11. 将以上两方程联立可得 再加上物态方程 得密度的演化： W= -1 ρ=常数 w=0 W=1/3

12. 基本宇宙学参数 • 哈勃参数：H（t）是用物理距离x(t)=a(t)r定义的（r为共动距离，a(t)为标度因子） 哈勃参数今天的值H0称为哈勃常数 密度参数：物质或能量密度与临界密度之比

13. open flat close 物质和能量密度决定空间几何 • 将哈勃参数代入第二个弗里德曼方程得： 于是有： 负曲率，开宇宙 正曲率，闭宇宙 零曲率，平宇宙 开 开 平 闭

14. 减速参数：由标度因子对时间的二阶导数定义 对于压强为零的情形，由弗里德曼方程可得： 由观测可得： 所以有： 加速膨胀

15. 哈勃常数与宇宙年龄 • 以爱因斯坦-德西特模型为例（ ） 弗里德曼方程的解为 宇宙年龄

16. 宇宙学常数主导的宇宙 • 忽略物质密度：ρ≈0，弗里德曼方程变为 其解为 指数膨胀 随着时间的增长，曲率项可以忽略，方程变为 这意味着空间渐近于平直（欧几里得）

17. 弗里德曼方程的解描述宇宙的动力学演化

18. 宇宙学红移 • 取以观测者为原点的R-W坐标系，考虑沿径向到达的一条光线（类光测地线 ds2=0）。不难证明，光的波长与标度因子成正比: 波长变长 膨胀 （从光子观点：ρ=n hν∝a-4,n∝a-3,所以ν∝a-1,λ∝a) 若a(t)随时间增加，则z大于0，观测波长大于 发射波长，称为宇宙学红移。对于近邻天体，可将a(t)展开成幂级数a(t0)[1+ (t-t0) H0+…]. 于是有：cz =cΔλ/λ= H0(t 0-t 1)c+…=H0d+…

19. 多普勒效应 • 宇宙学红移显示标度因子随时间增加，即宇宙的普遍膨胀，在共动坐标中相对静止的光源和观察者的退行速度随距离而增大。此外由于小尺度上物质分布不均匀使得光源产生额外速度（例如地球公转30 km/s，太阳绕银心转动200 km/s，银河系在室女座星系团中的运动330 km/s…），按照狭义相对论，这种“本动”的视向速度分量会产生多普勒频移Δλ/λ= v/c。实际观测到的频移是宇宙学红移与本动的多普勒频移之和。

20. 星系红移（视向速度）的观测 斯莱弗

21. 旋涡星云（星系）的视向速度 （引自爱丁顿《相对论的数学理论》，1923）

22. 哈勃常数的初次测量 • 比利时神甫和宇宙学家乔治•勒梅特1927年用法文发表了一篇文章，题为“质量恒定和半径增加的均匀宇宙是河外星云视向速度的原因”。在该文中， 勒梅特报告了爱因斯坦广义相对论方程的膨胀宇宙解。他还用斯莱弗的视向速度观测结果，结合所有星系具有相同光度的不准确假设，提出一个试探性的“哈勃定律”v = H0d ，即，距离d和速度v之间成线性关系，得出的哈勃常数值为625km s -1Mpc -1。 勒梅特

23. 哈勃图（1929） 哈勃

24. 天体距离的测定 远 近 • 三角视差法：以地球绕日轨道直径为基线测量一天体在天球上的视差角位移，则 d=206265 AU（日地平均距离）/π（角秒） 此法最为简单可靠，但只适合银河系内距离小于1kpc（卫星测量）的恒星（1pc相应于π=1角秒的距离，称1秒差距，约3.26光年）。 标准烛光法：具有恒定光度，或其光度与某种可测量特性如光变周期相关（而与距离无关）的天体称标准烛光。在辐射各向同性和欧氏几何假设下，按辐射通量（视亮度）与距离平方成反比的规律可以算出其距离。典型的例子是造父变星。哈勃正是利用其周光关系准确测定了一批近邻星系的距离而成为观测宇宙学之父。

25. 宇宙距离阶梯 • 一级示距天体：造父变星周光关系的零点可用三角视差定标，称为一级示距天体，尽管其光度可达太阳的10万倍，也只在近邻星系（d≈20Mpc）中能够看到。为了更精确地测定哈勃常数，需寻找光度更高、能在更远看到的标准烛光。 • 二级示距天体：Ia型超新星产生于碳氧白矮星吸积质量超过钱德拉塞卡极限（约1.4倍太阳质量）而导致的热核爆炸。它们的峰值光度比造父变星明亮百万倍，而彼此差异相对较小，且与其光变曲线的形状密切相关。经过光变曲线改正和尘埃消光改正之后，统计弥散在光学波段约15％，在近红外约10％。 Ia型超新星的高光度和低弥散使其成为最理想的远程标准烛光，测量距离的范围可达40-5000 Mpc。但其距离需要通过造父变星来校准，故称为二级示距天体。 • 宇宙距离阶梯：一级和二级示距天体彼此相接，形成一个距离阶梯达到宇宙平滑膨胀运动（哈勃流）远超天体局部本动的区域。H0的测量误差也相应地沿着这个距离阶梯传导下去。

27. 哈勃常数测量的历史Physics Today 2013 no.10

28. 年龄矛盾 • 哈勃测得的H0值太大，由此估计宇宙年龄只有20亿年，比地球（45亿年）还年轻！20多年后巴德发现哈勃混淆了不同星族造父变星光度的差别（贫金属的II型比I型暗1.5星等），经他修订后的距离增加一倍，H0值减小一半。随后30年桑德奇组一直声称50 km s-1Mpc-1 ±10％ ，德•德沃古勒组坚持测量值为100 km s-1Mpc-1±10％。这些测定所引的误差显然太小，两者没有交集。如果取两个值的平均，推算出宇宙的年龄（约90亿年）仍然小于银河系中最古老的星团（约130亿年）！年龄矛盾的最终解决需要两个途径：伊巴谷卫星精确的距离测量，这在一定程度上降低了计算恒星的年龄；发现宇宙膨胀正在加速，这意味着宇宙的年龄较老。

29. 提高哈勃常数测量精度的努力 • 使用哈勃望远镜搭载的精细导向传感器，2007年测得10颗最近的造父变星视差的平均误差为3％ 。借助伊巴谷卫星（和盖亚卫星）测量精度原则上可达1%。 • 对星系NGC 4258的超大质量黑洞周围的水脉泽斑的视向速度和自行进行10年亚毫角秒射电观测以后，独立于视差法确定该星系的距离为 7.60 Mpc，不确定性为3％。 • 用相同仪器对Ia型超新星的寄主星系和NGC4258中的造父变星距离定标后，哈勃常数的不确定性减小到5%（2009）和3%（2011）。 • 哈勃望远镜的新设备WFC3在其工作寿命的最后十年（2020年前）完成的近红外测量，将使哈勃常数的不确定性减小至1%

30. 造父变星周光关系定标 新的哈勃常数值为74.3±2.1(km/s)/Mpc，不确定性为3%（2012年10月）

31. 高红移时的距离 • 固有距离：RW度规中同一时刻两点间的径向间隔 光锥关系： 积分得： 用： 得 于是有： 其中： 宇宙年龄：

32. 高红移天体的视亮度 • 光度距离：按欧氏空间中光度与视亮度的关系定义 1）天体发射光子到达观测者时分布的球面积： 2）单个光子到达时的能量因红移而减小一个因子1/（1+z） 3）单个光子到达时的速率比发射时减小一个因子1/(1+z) 综合起来有： 所以有： 距离模数：

33. Ia型超新星 • 光谱中无氢线，但有强硅线（6000埃） • 出现于各型星系，平均每星系每世纪一次，样本超200 • 峰值绝对星等-19到-20（比造父变星亮百万倍），红移记录达z=1.6 • 峰值光度经修正后弥散小，没有演化效应，是优质标准烛光 测量的哈勃常数值为74.2±3.6(km/s)/Mpc。（Riess,2009）

34. 两个独立巡天项目的结果 • 超新星宇宙学计划（SCP） • 高红移超新星巡天（HZSS)

35. 对Ωm和ΩΛ的约束 42SNe Riess et al.,1998 Perlmutter,et al.,1998

36. 空间望远镜（HST）的结果 HST对11颗Ia型超新星(0.36<z<0.86)的观测得出同样的结果

37. 走向更高的红移 • Riess等 (ApJ，659，2007，98)用HST证认高红移超新星，结合中低红移大样本（182颗）进行分析，发现在z ≈0.5以后宇宙膨胀加速，以前为减速，与Λ具有非零正值非常一致。

38. 综合样本(Suzuki 2012) 超新星580颗

39. 国际上各大型超新星项目的贡献

40. 2011年诺贝尔物理学奖 Saul Perlmutter，Adam Riess， Brian Schmidt 奖给宇宙加速膨胀的发现

41. WMAP观测结果的约束

42. 宇宙成分分配Ostriker & Steinhardt, 2003, Science, 300, 1909 暗能量：73%；暗物质：23%； 发光物质：0.4%（恒星和发光气体0.4%；辐射0.005%）； 不可见的普通物质： 3.7%（星系际气体3.6%；中微子0.1%；超重黑洞0.04%）

43. 普朗克卫星的新结果 • 欧空局2009年发射的普朗克卫星（分辨率5角分） 于2013年3月发布首批观测结果，改写了宇宙的组成： 与高能所李惕碚组4年前用WMAP数据独立分析的结果非常一致！ • 暗能量：（67.8±3）% • 暗物质：（27.0±2.7）% • 重子物质：（5.2±0.3）%

44. 中国有关天文观测的历史和前景 • 发现1054年超新星 • 1990年代起至近年来我国中小型望远镜超新星巡天和光谱观测的成就 • 宇宙学新标准烛光的探索 • 南极天文台计划 • 空间变源监测卫星 • 月基望远镜 • 国际合作30米望远镜….

45. 结语 • 近一个世纪以来，宇宙学取得了重大成就，建立了能与广泛观测事实相容的标准宇宙学模型，其基本常数的精确性有了成百倍的提高。 • 发现有众多可靠的天文观测证据表明，宇宙中存在百分之九十以上的暗物质和暗能量。 • 暗物质不可能都是普通的重子，在目前粒子物理学标准模型中尚无它的地位，甚至是“冷”是“热”还不得而知。 • 暗能量是恒定的真空能（宇宙学常数），还是起源于某种变化的“精质”、“精灵”‘或“全息”场？其物态方程参数w如何？ • 这些“世纪”问题对全世界物理学家、天文学家、数学家提出了重大挑战。期待着我们联合起来寻求新的突破。

46. 谢谢！