電磁気学Ⅲ　講義

電磁気学Ⅲ　講義 （第７巻）２年次後期２単位選択担当：　玉野　和保

意味と位置づけ ・電磁諸現象を記述するの４つの式・これらを解くことで、波動を表す方程式が導かれること単元13 第13単元Maxwellの方程式と波動方程式 • 講義で解説すること • 　　・Maxwellの方程式の再度の理解 • 　　・ベクトルポテンシャル • 　　・Maxwellの方程式の解法＝波動方程式の解法 • 　　・ゲージ変換 • 　　・波動方程式を解くことで電磁波が導かれること

電磁誘導の法則 Ampere=Maxwellの法則 Gaussの法則磁束の保存則単元13 Maxwellの方程式第３単元：　Maxwellの方程式のスライドの再掲４つの基本方程式（EDHB系）をまとめて示す。

単元13 ベクトルポテンシャル磁界はN-S両極が必ず対で存在する。磁界に関するGaussの法則（磁束の保存則）では、磁束分布が計算できない Gaussの法則を満たすポテンシャルの導入ベクトルポテンシャル：Ａ　［T・m］常に０ Gaussの法則を満たしている

ＥとＢをまとめる のように置き換えると常に０の式は単元13 波動方程式の導出（その１）置き換える前と同じ式になるこの置き換えをゲージ変換というに代入

ＥとＢをまとめる 単元13 波動方程式の導出（その２）に代入

単元13 波動方程式の導出（その３）ここでつぎのゲージ変換の性質を利用する。　すなわちχとしてつぎの式の解χLを用いる。そうすると最上部の２式は波動方程式

単元13 （理　由）これをLorentzゲージと言うであるから、の式は、この部分を０にするようにχLを定めたので、常に０そうすると

単元13 （補　足）ゲージとしてこれをCoulombゲージと言うと置くこともできる。　この場合、Maxwellの方程式は Ampereの周回積分の法則でrot H=i であるから、これを使うと Poissonの式電流による磁界の計算一方 Laplaceの式静電界の計算

単元13 波動方程式の解法以上をまとめると波動方程式これらを解いてALとφLを求め、つぎのLorentzゲージ条件を満たすものを解とするこれらの解ALとφLを以下の式に代入しE,Bを求める。

単元13 （さらなる発展） Lorentzゲージに、φLのみ時間変化しない、しかもφL=0とするゲージの選択も可能。　そうするとLorentzゲージ条件は、解くべき波動方程式は解のうち、右のLorentzゲージ条件を満たすものを解とするこれらの解AL０を右式に代入しE,Bを求める。

単元13 （補　足） Lorentzゲージとして、ALも時間変化しないゲージを選択するとこれより、CoulombゲージACと同じ式を得る Poissonの式電流による磁界の計算 Laplaceの式静電界の計算 Biot-Savartの法則の式は、この方程式の解として表される ※　前のスライドで示した式はiを0［A/m2］としていることに注意

意味と位置づけ ・波動方程式の解は、波動を表現する単元14 第14単元平面波と球面波 • 講義で解説すること • 　　・波動方程式の解法 • 　　・波動方程式の解、波動関数は電磁波である • 　　・電磁波は横波 • 　　・平面波の形 • 　　・球面波の形 • 　　・固有インピーダンス • 　　・進行波と後退波

解くべき波動方程式は 解のうち、右のLorentzゲージ条件を満たすものを解とするこれらの解AL０を右式に代入しE,Bを求める。単元14 波動方程式の解法第13単元：　Maxwellの方程式と波動方程式のスライドの再掲

単元14 波動方程式の解偏微分方程式式の解これを右式に代入すると　光速：　　　　　2.998×108［m/s］：これを波数ベクトルと呼ぶ　波数ベクトルｋは波動の進行方向を表すベクトル

単元14 波動方程式の解右のLorentzゲージ条件を満たさなければならない AL0のベクトルは波動の進行方向を表すベクトルｋに直角これは横波を表す右の式からE、Bを表す

単元14 波動方程式の解（つづき） Bのベクトルを　　　　　　　　　　と表すと Bの波動もｋとe1に直角これも横波を表すこれらの単位ベクトルe1、e2を偏向ベクトルと呼ぶ

e1 2・jωA0 k 単元14 波動の姿（平面波）電磁波は、振幅が虚数実在の波ではない e1 ＥＢ e2 k e2 2・j（ω/C0）A0

Ｚ軸　ｒ軸 θ 電流ＩＸ軸 φ 単元14 波動の姿（球面波）長さＬ（Ｚ軸方向）の電線に交流電流Ｉが流れるとき充分遠いX-Y平面では

単元14 （補足）　固有インピーダンス磁界の強さはφ方向のみ。充分遠いX-Y平面上ではＨφに対するＥθの比は真空中の固有インピーダンスと呼ぶ

・進行波： ・後退波：単元14 進行波と後退波（波動とは）波　動波動の性質：　　空間の一点では大きさが時間と共に変化　　　　　　　　　　移動速度で見ると、同じ波形が移動 V=ω/k φ Ｘ

単元14 進行波と後退波（波動とは）平面波の波動事例その１・黄色い波は左に移動：　後退波・緑色の波は右に移動：　進行波Ｘ軸進行波＋後退波＝定在波

単元14 進行波と後退波（波動とは）平面波の波動事例その２・黄色い波は左に移動：　後退波・緑色の波は右に移動：　進行波Ｘ軸節間に見られる定在波

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