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第13章 电路分析的计算机方法初步

第13章 电路分析的计算机方法初步. Homeworks!. 13-1，13-2，13-4，13-5，13-6。. 电路分析的计算机方法初步. 第13章. 本章运用第2章网络的图、树和割集等图论的基本知识，讨论描述电路拓扑结构的关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵，以及 KCL 和 KVL 的矩阵形式。. 在此基础上讨论结点电压方程的矩阵形式和回路电流方程的矩阵形式，以及较为实用的电路方程计算机的列写方法，包括改进的结点法和直接列写法。.

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第13章 电路分析的计算机方法初步

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  1. 第13章 电路分析的计算机方法初步

  2. Homeworks! 13-1，13-2，13-4，13-5，13-6。

  3. 电路分析的计算机方法初步 第13章 本章运用第2章网络的图、树和割集等图论的基本知识，讨论描述电路拓扑结构的关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵，以及KCL和KVL的矩阵形式。 在此基础上讨论结点电压方程的矩阵形式和回路电流方程的矩阵形式，以及较为实用的电路方程计算机的列写方法，包括改进的结点法和直接列写法。 介绍了计算机求解电路（代数）方程的基本方法，高斯消去法。最后，以一个例子讨论电路分析程序的编写。通过本章的学习，初步了解电路分析的计算机方法的基本概念。

  4. 章节内容 13.1 电路拓扑矩阵及KCL、KVL方程 13.2 结点电压方程的矩阵形式 13.3 回路电流方程的矩阵形式 *13.4 改进的结点法 *13.5 直接列写法 *13.6 电路方程的解 *13.7 电路分析的程序编写

  5. 教学要点 电路拓朴矩阵及KCL、KVL方程； 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式。 学习提示 充分熟悉关联矩阵列写、一般了解（基本）割集矩阵的列写、（基本）回路矩阵的列写； 熟悉结点分析法列写电路方程的矩阵形式；一般掌握回路电流分析法列写电路方程的矩阵形式； 初步了解电路方程矩阵形式的计算机方法中输入、求解、程序的大致结构。

  6. 13.1.1 关联矩阵 13.1电路拓扑矩阵及KCL、KVL方程 1.(先）约定 将一个元件作为一个支路，并假设支路电流与支路电压的参考方向相关联； 电压源支路的电压参考方向从电源的正端指向负端； 电流源支路的电流参考方向与电流源的电流方向相同。

  7. 2.列写方程 图13-1 先看独立结点的KCL方程 和独立回路的KVL方程。

  8. 方程的矩阵形式 （13-1） 写成矩阵形式为

  9. 关联矩阵A－联系KCL 1 2 3 结点 式中,i为支路电流列向量；A称为结点与支路的关联矩阵

  10. 关联矩阵A－联系KVL （13-2） 其中， 为 的转置，并设支路电压列向量为 同理： 独立的结点电压列向量为 为KCL和KVL的矩阵形式。

  11. 关联矩阵A－中的元素 出 进 设n为独立结点数，b为支路数，A为0-1矩阵，其中有n行b列，A中各元素的取值按如下规则确定 当支路j与结点k关联且方向离开结点k 当支路j与结点k关联且方向指向结点k 当支路j与结点k无关联

  12. 1、A矩阵的正确与错误的判断以及A和An 1 2 3 结点 显然要求一正一负 掌握A矩阵 An 1 1 1 0 0 0 其实还可以补充一行 列上表现为一条支路连接的两个结点 判断的依据

  13. 2、由G图得到A和由A得到G图 写黑板！

  14. 13.1.2 割集矩阵Q和Qf 图13-2 有向图G及基本割集 基本割集 由支路1、2、3形成的单树枝割集 以及割集的方向－与单树枝的树枝方向相同

  15. Q f 矩阵 关联 关联 无关联 基本割集矩阵 其中各元素按如下规则确定 树支有关的单位子阵 连支有关的子阵

  16. Qf矩阵联系电压和电流的关系 （13-3） 支路电压与树枝电压的关系可表示为 联系电压、电流 导出割集上的KCL方程的矩阵形式为 要注意这里的电流和电压都是一个矩阵

  17. *Q矩阵 不是前面说的单树枝割集，而一般的只要符合相互独立的割集，由这个割集形成的矩阵，我们称为Q矩阵。 如上述的割集可以变成Q矩阵

  18. 13.1.3 回路矩阵 B －Bf 当 关联 当 关联 当 无关联 实质：联系回路和支路之间的关系的矩阵 1、B (回路矩阵)的定义 其中各元素按下述规则确定

  19. 2、Bf 矩阵 6 5 l2 4 l1 l3 1 2 3 0 图13-3有向图G及基本回路 若选单连支回路（即基本回路）得基本回路矩阵Bf，如 其中Bt是与树支有关的子阵，1t是与连支有关的单位子阵。 或者B矩阵为

  20. Bf 联系电流和电压 回路电压方程 支路电流与回路电流的关系可写为

  21. *13.1.4 矩阵A、Bf和Qf的关系 ，或 （13-7） ，或 （13-8） 关联矩阵与回路矩阵，以及割集矩阵与回路矩阵并不是独立的，存在如下关系： 设连通图G，按先树支后连支顺序编号，各矩阵可分解成相应的子矩阵，即 则可得 或：

  22. *13.1.4 矩阵A、Bf和Qf的关系 又 于是矩阵Bf和Qf均可由关联矩阵A获得，即 : 单位子矩阵的位置

  23. 13.1.5 关于独立变量 实质：使电路方程中未知数最少！ 1、连枝电流可作为电路的独立电流变量，此时独立电流源支路（电流是独立的）应该作为连枝 ； 因为设树支电流向量为it，连支电流向量为il，利用割集矩阵有 2、树枝电压可作为电路的独立电压变量，此时独立电压源支路（电压是独立的）应该作为树枝 。 同理：设树支电压向量和连支电压向量分别为ut和ul ，利用回路矩阵有

  24. 3、Bf和Qf对电路的要求及*4、扩展矩阵 一般原则如下： （1）将独立电压源作为树枝，独立电流源作为连枝； （2）按树的规则完成一个树的选择； （3）先从独立电压源支路开始，完成对树枝的编号； （4）再对连枝进行编号，其中将电流源支路的编号放在最后 按照以上规则列写的矩阵称为扩展的矩阵并用下标“a”表示。 Aa Ba Qa

  25. 例13-1 c3 3 3 7 c2 7 2 2 8 8 5 5 IS8 6 4 + uS1 - 6 4 c1 1 1 c4 0 0 (b) 基本割集 (a) 电路图 式中 和 分别与电压源和电流源支路有关。 列写图（a）所示电路扩展的割集矩阵。 解 按照上述规则可得电路的图G，其中支路1、2、3、4作为树支，c1、c2、c3、c4为对应的基本割集，如图（b）所示。扩展的割集矩阵为

  26. 13.2 结点电压方程的矩阵形式 再来研究VCR约束 联系电路的方程包括三个方面： KCL KVL VCR 支路元件电压电流约束方程 前面： 在结点法中 第k个无源元件支路的电压、电流（VCR)关系可写成： YkUk = Ik

  27. 支路的VCR IS9 C 6 ① ③ ② G4 C5 Is7 IS8 L3 G1 L2 0 (a)电路图 式中， 为对角矩阵，称为无源支路导纳矩阵； 如图不计电流源元件，各个支路的电流电压关系可以写成 简写为： Ub和Ib分别为无源元件的支路电压向量和支路电流向量。

  28. Aa的列写与方程的矩阵形式 9 6 ① ③ ② 5 41 1 2 3 7 8 0 (b) 有向图G 由相应的G图，如图13-5（b）所示，先对无源支路编号，再对电流源支路编号，可建立扩展的关联矩阵 Aa分成两部分，A对应无源支路，Ai对应电流源支路 KCL关系 KVL关系 称为等效的结点电流源向量 结点导纳矩阵

  29. 例13-2 图 13-5 列写图13-5电路的结点电压方程 解 由式前面的分析可得 试比较用2章的办法所得结果 为所求

  30. 13.3 回路电流方程的矩阵形式 VCR 支路元件电压电流约束方程 再来研究VCR约束 （13-14） 联系电路的方程包括三个方面： KCL KVL 前面： 整个电路的无源支路关系可用矩阵表示为: 式中，Zb称为无源支路阻抗矩阵，Ib和Ub分别为无源支路的电流和电压向量。

  31. 支路方程矩阵 （13-15） 图13-6 无源支路时

  32. 回路电流方程矩阵形式推导 式中， 是电压源支路电压向量。 采用与上节类似的方法，建立扩展的回路矩阵 （13-16） 由 可得

  33. 推导（续） 将式子 得 代入 由式（13-6）可得 （13-18） 即 或用分解的子矩阵表示 （13-19） l 式中， 是电压源支路电流向量。 若回路电流Il已知，则 可由式求得。 可解得回路电流 。 将式（13-19）代入式（13-17）得 称为回路阻抗矩阵 即 称为等效的回路电压源向量

  34. 例13-3 C6 6 C3 l2 E2 + E3 - 3 2 + E2- C2 R 1 1 l1 E3 4 L4 + E1 - l3 L5 5 E1 (a) 电路图 (b) 图G 与2章的比较

  35. *13.4 改进的结点法 • 上节讨论的结点法和回路法都存在不足。例如在应用结点电压法列方程时，由于有些元件的约束方程不存在导纳形式，如无伴电压源，运算放大器，变压器，VCVS和CCVS等元件，而且为了便于数值计算，电感通常写成阻抗的形式，这样可使得s或jw 在分子上，因而前面所介绍的结点电压法需要加以改进 .

  36. 改进的结点法对导纳支路以结点电压为变量，而对其他支路以支路电流为变量。将支路分类，一组为导纳形式，另一组为阻抗形式，并适当编号 。 （13-23） 用导纳表示的支路电流向量 用阻抗表示的支路电流向量 （13-24） 电流源向量 得 或 则KCL方程可写为 同理，KVL也可写成

  37. 将相应的导纳支路关系： ，或 ，代入上式得 由 （13-23） （13-25） （13-26） 其中I0为电感的初始值。 式中， 中可以包括独立源、电感或电容的初始条件。 （13-27） 更一般的支路关系可表示为 例如第k个支路为电感，以阻抗形式表示为 又如第k支路为电压源，则表示为 由式（13-23），可将式（13-26）改写为：

  38. （13-25） （13-28） （13-27） 将式（13-25）和式（13-27）写成矩阵形式，得到改进的结点方程 令 则有 式中，Yn1为结点导纳矩阵，Jn为等效的结点电流源向量。

  39. 例13-4列写图13-7所示电路改进的结点方程。设电感电流初始值为I0，电容电压初始值为零。例13-4列写图13-7所示电路改进的结点方程。设电感电流初始值为I0，电容电压初始值为零。 图13-7 例13-4图

  40. L3 G1 ② ① ③ + E - C2 C1 0 (a) 电路图 解： 将电路分类，由电导和电容构成的支路导纳矩阵为

  41. 由有向图G可得关联矩阵 ② 1 ① ③ 4 5 2 3 0 (b)有向图G 则

  42. 例13-5用改进的结点法列写图13-8所示电路的结点方程。例13-5用改进的结点法列写图13-8所示电路的结点方程。 图13-8 例13-5图

  43. IS9 C3 G1 G2 ② ④ ③ ① + u7= αu6 - + u6 - + E - C4 IS8 Ο (a) 电路图 ④ ② ① ③ Ο (b) 图G 9 3 1 2 8 6 4 5 7 解：关联矩阵为 支路导纳矩阵为

  44. 结点导纳矩阵为

  45. 最后结果

  46. *13.5 直接列写法 实用的电路分析程序中，根据元件的性质和结点位置可直接列写电路方程。即：首先列写可用导纳表示的元件矩阵Yn1，然后再逐步考虑不能用导纳表示的元件Y，从而得到最后扩展的矩阵。

  47. 元件 矩阵 （右边向量） 表13-1 电路元件及矩阵描述

  48. 元件 矩阵

  49. 例13-6用直接法列写图13-8所示电路改进的结点方程。例13-6用直接法列写图13-8所示电路改进的结点方程。 解由表13-1可知，电路的方程应为

  50. *13.6电路方程的解 • 讨论计算机求解线性代数方程组的直接法——高斯消去法。它是利用行（列）初等变换将左下三角形元素变为零，然后再反向逐步回代，求出方程的解。

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