直线与圆的位置关系切线长定理

直线与圆的位置关系 切线长定理池北二中初三数学组2011.10.18讲课

A ·O ·O ·O 问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？ P· P· P · 问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？

A P 。 O B 思考：假设切线PA已作出，A为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A在怎样的圆上?

A 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 · P O B 切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

B P 。 O A 若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。 PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论

B P 。 O A 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理几何语言: PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法

我们学过的切线，常有五个性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。六个 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

M B 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. P 。 O A OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB

B 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 。 P C O A CA=CB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC

例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 A E P C D O （1）写出图中所有的垂直关系 B OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）若PA=4、PD=2，求半径OA

反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。 A 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。。 P O B （1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点

B P 。 D E C O A 小结： 1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 2.圆的外切四边形的两组对边的和相等

． o． o． o．

． o 三角形外接圆三角形内切圆 C C ． o A A B B 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。

A E F B D C 分析题目已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝13厘米,求AF、BD、CE的长。 O

A D · O P C B 例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知 PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°, 求∠COD的度数 E

过⊙O外一点作⊙O的切线 A · P O O B

x＝4 x＋y＝9 y＋z＝14 x＋z＝13 y＝5 则有解得 z＝9 例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切 ∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD 设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).

O B E A D F C 例.如图，△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.

明确 1.一个三角形有且只有一个内切圆； 2.一个圆有无数个外切三角形； 3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

分析．试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等．

C C E E D D F A A B B · O · O 选做题：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.

＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF ＝ l·r 2S a＋b＋c 三角形的内切圆的有关计算 A 如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. D · F 解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， O 连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， B C 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. E ∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC 设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径 r＝结论

x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c 则有解得 r＝ a＋b－c a＋b－c 设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝ 2 2 ab a＋b＋c 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD F · 设AD= x , BE= y ,CE＝ r O D C B E 结论

x＋r＝4 y＋r＝3 x＋y＝5 则有如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为Rt△ABC的内切圆. （1）求Rt△ABC的内切圆的半径. （2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。 A 解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 F · 在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4, ∴AB＝5 O D ∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD C B E 由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r ∴ Rt△ABC的内切圆的半径为1。解得 r＝1

（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。 A · ∴OB＝BC＝3 ∴半径r的取值范围为0＜r≤3 O D 点评几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。 C B

基础题： 正方形 1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____. 22cm 2cm G E F H

4.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的4.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的道理.

同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！

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