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Theorie psychometischer Tests, V Nichtklassische Modelle

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Theorie psychometischer Tests, V Nichtklassische Modelle. U. Mortensen Mainz, Juni 2009. Das allgemeine logistische Modell (A. Birnbaum). Das allgemeine logistische Modell (A. Birnbaum). Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch).

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Presentation Transcript
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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Rasch-Homogenität: zwei Items Ig und Ih heißen Rasch-homogen, wenn beide ein und dasselbe Merkmal messen.

Rasch-Homogenität gilt, wenn die Bedingung

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Alternative Parametrisierung:

Die Reparametrisierung verweist auf eine Beziehung des Rasch-Modells zu anderen Modellen: - Division durch sigma führt auf

Dies ist das Bradley-Terry-Luce-Modell für den Paarvergleich

(Beziehung zur Messtheorie Suppes & Zinnes, 1963)

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Beim Rasch-Modell sind die Itemfunktionen für Items mit verschiedenen Schwierigkeiten parallel.

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Wettquotienten und Logits:

(Wettquotient)

(Logit)

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Spezifische Objektivität:

Der Vergleich der Logits zweier Personen beim gleichen Item liefert die Differenz der Personenparameter, der analoge Vergleich zweier Items bei der gleichen Person liefert die Differenz der Itemparameter.

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Die Schätzung der Parameter: Maximum-Likelihood-Methode

Likelihood der Messungen

Maximum-Likelihood-Schätzungen von Parametern sind asymptotisch normalverteilt (aber nicht notwendig bias-frei!).

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Der Test des Modells

Aufgabe: es muß geprüft werden, ob die Daten mit der Annahme

(i) Der logistischen Verteilung, (ii) des 1-pl-Modells kompatibel sind.

Problem: es gibt viele Funktionen, die der logistischen Funktion so ähnlich sind, dass man mit Hilfe der üblichen statistischen Tests

(z.B. Chi-Quadrat-Test für die Güte der Anpassung) nicht entscheiden

Kann, ob die beobachtete Funktion mit der postulierten Funktion über-

einstimmt oder nicht.

Das Rasch-Modell sagt parallele Itemfunktionen für verschiedene Items voraus. – also kann man Itemfunktionen auf Parallelität testen. Es treten aber ähnliche Probleme wie beim Vergleich von Funktionen auf.

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Der Test des Modells

Gefordert: Homogenität der Items.

Im Prinzip: Faktorenanalyse.

Problem: 0-1-Daten liefern oft nicht erwartungstreue Schätzungen für die Korrelationen, es können „Schwierigkeitsfaktoren“ resultieren.

Spezifische Objektivität: dieses Merkmal sagt gleiche Schwierigkeitsparameter für verschiedene Populationen voraus.

Also kann man die Schwierigkeitsparameter von verschiedenen Items miteinander vergleichen (Hypothese: Gleichheit für verschiedene Teilpopulationen).

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Der Test des Modells

Der Quotient hängt nicht von den Personen ab!

Quotienten müssen für verschiedene Populationen gleich sein, wenn das Modell gilt.

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Der Test des Modells

(Sub-)Population I

(Sub-)Population II

Diese Quotienten können für alle Paare von Items (g, g‘) gebildet werden.

Die linke und die rechte Seite können als Koordinaten eines Punktes, der das Paar (g, g‘) repräsentiert. Alle Punkte müssen auf der 45-Grad Geraden mit additiver Konstante = 0 liegen, wenn das Modell gilt.

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Das spezielle Rasch-Modell (G. Rasch)

Der Test des Modells

Wie gut, d.h. genau sind die Schätzungen der Personenparameter?

Die Schätzungen sind – als Maximum-Likelihood-Schätzungen – asymptotisch normalverteilt. Also kann man ein Konfidenzintervall erklären:

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Das Rasch-Modell: mehrdimensionale Verallgemeinerungen

1. Abgestufte Antwortskalen

Beispiel: Einstellung zur Umwelt.

Item: Ich fahre mit dem Fahrrad zur Arbeit.

Antwortalternativen: - gelten für alle Items!

  • Tue ich bereits
  • Kann ich mir gut vorstellen
  • Würde ich tun, wenn geeignete Bedingungen existieren
  • Das wäre keine geeignete Maßnahme für den Umweltschutz
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Das Rasch-Modell: mehrdimensionale Verallgemeinerungen

Für jede befragte Person werden die Häufigkeiten bestimmt, die sich für die einzelnen Alternativen ergeben:

Gegeben seien n Items – wie viele mögliche solcher „Antwortvektoren“ kann es geben? (Kombinatorik!)

(Mögliche Verteilungen von n Kugeln auf k Fächer)

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Das Rasch-Modell: mehrkategoriale Verallgemeinerung (Rasch,1961)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt eine Person a die k-te von K möglichen Alternativen?

Annahme: die Wahrscheinlichkeit hängt von der Differenz zwischen ihrem Parameter und der Kategorie ab.

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Das Rasch-Modell: mehrdimensionale Verallgemeinerung

Faktorenanalyse:

Logistische Regression!

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Das Rasch-Modell: mehrdimensionale Verallgemeinerung

Interpretation: die Komponenten der Fähigkeit gehen stets in festen Anteilen deterministisch in das Lösungsverhalten ein, es gibt keine probabilistischen Aspekte des Zusammenwirkens!

Dies trifft natürlich auf das faktorenanalytische Modell ebenfalls zu.

Frage: ist das eine plausible Annahme?

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Das Rasch-Modell: das linear-logistische Modell

Das linear-logistische Modell (Suppes, Jerman, Brian 1968, Fischer 1973 etc

Ansatz: das Lösen von Aufgaben bedeutet das Lösen einer Reihe von Teilaufgaben, die jede ihre eigene Schwierigkeit haben.

Zum ersten Mal von Suppes et al (1968) vorgeschlagen

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Das Rasch-Modell: das linear-logistische Modell

Der Ansatz entspricht dem der logistischen Regression, wobei die Schwierigkeiten unbekannte Parameter sind, die Gewichte werden aufgrund einer Aufgabenanalyse vorgegeben.

Scheiblechner (1972) fügte einen Fähigkeitsparameter hinzu, es entstand damit ein Rasch-Modell mit einem Schwierigkeitspara-

Meter, der durch eine gewogene Summe von Teilschwierigkeiten definiert ist:

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Das Rasch-Modell: das linear-logistische Modell
  • Anwendungen:
  • Scheiblechner 1972: Lösen logischer Probleme
  • Fischer 1973: Lösen von Differentiationsaufgaben
  • Hornke & Habon 1986: Lösen, aber auch Konstruktion von Raven-Matrizen-Tests, etc

Frage: ist das Modell ein geeignetes Modell, um Teilprozesse beim Lösen von Aufgaben oder Problemen zu charakterisieren?

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Das Rasch-Modell: das linear-logistische Modell

Der auf Suppes et al 1968 zurückgehende Ansatz bedeutet, dass implizit Annahmen über die Existenz von Abhängigkeiten beim Lösen der Teilaufgaben gemacht werden, ohne dass diese in irgendeiner Weise spezifiziert werden.

Beispiele aus Hornke & Habon 1986

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Das Rasch-Modell: das linear-logistische Modell
  • Man betrachte insgesamt drei Aufgaben:
  • Aufgabe 1 erfordert Lösen der Teilaufgaben A1 und A2
  • Aufgabe 2 erfordert nur das Lösen von A1
  • Aufgabe 3 erfordert nur das Lösen von A2

Es gelte jedes Mal das linear-logistische Modell. Zusätzliche

Annahme: die beiden Teilaufgaben werden stochastisch unabhängig voneinander gelöst.

Ist diese Annahme mit dem linear-logistischen Modell kompatibel?

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Das Rasch-Modell: das linear-logistische Modell

Vorhersage bei Unabhängigkeit

Linear-logistisches Modell

Frage: existiert eine 2-dimensionale Verteilung derart, dass sowohl die Randverteilungen als auch die gemeinsame Verteilung durch logistische Funktionen repräsentiert werden und die gemeinsame Verteilung gerade das linear-logistische Modell darstellt?

Die Frage ist einerseits nicht beantwortet, richtet sich andererseits auf die interne Konsistenz des Modells!

Warnung und Gebot: Du sollst nicht drauflos modellieren!!!

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Mehrdimensionalität: Korrespondenzanalyse
  • Probleme mit der Faktorenanalyse:
  • Korrelationen problematisch bei dichotomen Items
  • Nahezu beliebige Häufigkeitsverteilungen bei Ratings

Korrespondenzanalyse: „Faktorenanalyse‘‘ bei Häufigkeitstabellen.

Idee: Zerlegung des Chi-Quadrats der Tabelle in unabhängige Komponenten, die zu latenten Dimensionen korrespondieren.

Korrespondenzanalyse: Skaliere die Koordinaten der Zeilen- und Spaltenkategorien derart, dass die Abhängigkeiten zwischen Zeilen- und Spaltenkategorien dargestellt werden.

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Mehrdimensionalität: Korrespondenzanalyse

Westphal (1931): Daten aus allen Psychiatrischen Landeskrankenhäusern

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Korrespondenzanalyse - Theorie

(Singularwertzerlegung)

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Korrespondenzanalyse - Theorie

Residuen

Zeilenkategorien

Spaltenkategorien

Re-skaliert derart, dass euklidische Distanzen zwischen den repräsentierenden Punkten Chi-Quadrat-Differenzen

entsprechen

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Multiple Korrespondenzanalyse

Items

Matrix X =

Probanden

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Diskussion: KKT versus IRT

KKT: Zentrales Problem ist die Populationsabhängigkeit der Schwierigkeitsindices für die Items.

IRT: Großer Vorteil ist die Populationsunabhängigkeit von Person- und Itemabhängigkeit – Spezifische Objektivität der Testresultate.

Rasch: ein Modell sollte nicht nur gut auf die Daten passen, es sollte der Vergleich von Personen unabhängig von den Items (aus einer Klasse von Items) sein.

Jedes Testmodell sollte die Bedingung der spezifischen Objektivität erfüllen; dieses Merkmal sei ein notwendiges, wenn auch kein hinreichendes Merkmal für ein gutes Testmodell.

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Diskussion: KKT versus IRT

Zweites wünschenswertes Merkmal: die Schätzungen für die Personparameter sollten Suffiziente Statistiken sein.

Suffiziente Statistiken: eine Schätzung („Statistik“) für einen Parameter ist suffizient oder erschöpfend, wenn sie alle Information über den Parameter, die in den Daten ist, enthält.

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Diskussion: KKT versus IRT

Suffizientes Statistiken

Spezielle Stichprobe

Statistik Parameter

Unabhängigkeit vom Parameter, - Information über theta bereits in T enthalten!

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Diskussion: KKT versus IRT

Beispiel für Suffiziente Statistik: Binomialverteilung

p ist unbekannter Parameter,

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Diskussion: KKT versus IRT

Beispiel für Suffiziente Statistik: Binomialverteilung

Unabhängig von p!

Relative Häufigkeit ist suffiziente Statistik für den Parameter p.

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Diskussion: KKT versus IRT

Es läßt sich zeigen, dass die Schätzungen der Parameter für die logistische Funktion suffiziente Statistiken sind!

Es ist von G. Rasch und dann von G. Fischer (Wien) postuliert worden, dass (i) spezifische Objektivität und (ii) Parameterschätzungen als suffiziente Statistiken notwendige Voraussetzungen für ein Testmodell sein müssen.

Dann bleibt nur das Rasch-Modell als das einzig sinnvolle Modell.

Ramsay (1975): alle fundamentalen Gesetze der Physik haben eine multiplikative Form – Unterstellung: alle fundamentalen Gesetze haben diese Form.

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Diskussion: KKT versus IRT

Auch das Rasch-Modell kann in diese Form gebracht werden:

Reparametrisierung!

Multiplikative Gesetze, spezifische Objektivität, und Physik:

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Diskussion: KKT versus IRT

Multiplikative Gesetze, spezifische Objektivität, und Physik:

Masse (m) und Beschleunigung (b) können unabhängig voneinander bestimmt werden. Für konstante Kraft gilt für zwei Körper mit unterschiedlicher Masse:

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Diskussion: KKT versus IRT

Frage: aus welchem ontologischen Prinzip folgt, dass fundamentale Gesetze eine multiplikative Form haben müssen?

Es gilt (Einstein 1905) die Beziehung

Ist Einsteins Beziehung kein „fundamentales“ Gesetz mehr?

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Diskussion: KKT versus IRT

Micko (1969) „A psychological scale for reaction time measurement“:

Rasch-Modellierung von Reaktionszeiten:

a(i) Person-Funktion, b(t) > 0 eine beliebige Funktion der Zeit, wird durch spezifische Aufgabe näher bestimmt.

Vorberg & Schwarz (1990): Eine Reihe zentraler Modelle über Reaktionszeiten wird bei diesem Ansatz von vornherein ausgeschlossen, es bleiben nur unplausible, mit den Daten nicht kompatible Modelle übrig!

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Diskussion: KKT versus IRT

Zusammenfassung:

Für die Forderung nach spezifischer Objektivität und suffizienten Statistiken existiert kein ontologisches Argument,

- Rasch-Modell ist nicht notwendig allein seligmachend!

Modelliert man psychische Prozesse, so sind die Parameter der Modelle nicht notwendig spezifisch objektiv und die Schätzungen nicht notwendig suffizient!

Hat man eine Menge von Items, die dem Rasch-Modell genügen:

sehr schön – Glück gehabt!

Zumal der große Nachteil der KKT die Populationsabhängigkeit der Schwierigkeitsparameter!

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