连续型模型

连续型模型 一、微分方程模型建模步骤二、微分方程模型三、案例分析

一、微分方程模型建模步骤 （1）建模步骤（2）关于建模步骤的一个例子（3）建立微分方程的其他方法

1、建模步骤(1) 1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如 “速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等． 2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令 △t →0，即得到的表达式．

建模步骤(2) 3、配备物理单位：在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。

2、关于建模步骤的一个例子 例1：某人的食量是10467焦／天，其中5038焦／天，用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦／公斤.天乘以他的体重 (公斤)．假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台热量41868焦。试研究此人的体重随时间变化的规律．

3、例子分析 1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：

1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)． 2、上述陈述更好的表示结构式：体重的变化／天=净吸收量／天一WPE／天其中：净吸收量／天＝10467 – 5038 ＝5429（焦／天) 净输出量／天＝69(焦／公斤·天)×W／(公斤＝69W(焦／天) 3、体重的变化／天＝ (公斤／天)

单位匹配 有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位的匹配，利用

建立表达式

4、建立微分方程的其他方法 1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程． 2、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。

5、一个考古问题

（1）问题分析与模型的建立 1、 2、

（2）解

（3）一个事实

6、堂上问答

（1）问题分析

（2）模型建立 1、要注意体积： 2、模型： 3、解： 4、流完的时间：

微分方程模型 一、几何问题二、化学问题

一、几何问题 1、速降线问题 2、追线问题

1、速降线问题 历史背景问题：确定一个连接二定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点 (介质的摩擦力和阻力忽略不计)。

速降线问题实验 X 速降线是否连接A和B的直线段？牛顿的实验（1630年）在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问题，他认为速阵线是圆弧线。

坐标系的建立 O x y

模型的建立 以s表示曲线从A点算起到P(x，y)的弧长几个表达式：（1）速度与路程的关系：（2）弧微分公式：（3）下降的时间：模型：

模型求解——泛函的极值问题 (1) • 函数f满足： • (3) 函数化简： • (4) 方程的解：

2、追线问题 我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。

图示 y 敌艇 R=(0,at) D(x,y) x (c,0)

几何关系

如何消去时间t? 1、求导： 2、速度与路程的关系： 3、分解得：（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型

追线模型： 模型的解：

解的进一步讨论

另一种方法： 作业：用数值模拟法，用matlab编程，讨论出现的各种情况，并作出追线曲线。另外，假设敌艇也装有雷达系统，可随时改变逃跑方向，问敌艇有逃脱的方案吗？

二、化学问题 溶液混合问题：设有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1 注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试建立容器中浓度与时间关系的数学模型。

模型的建立 参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体积为v0。在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度适用范围：气体、液体、固体模型：

1、油画真假辨别 历史背景：二战后，荷兰保安机关开始嫂捕纳粹分子的合作者，于1945年5月29月以通敌罪逮捕了一名三流画家H.A.Va- nmeegren，此人曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer创作的一批名贵油画盗卖给德国。但H.A.Vanmeegren被捕后宣称自己从未出卖过荷兰利益，所有油画均是自己伪造的，这件事在当时轰动了全世界，为了证明自己是一个高明的伪造者，他开始在牢房里作画，当面快要完成时，他又得悉通敌罪可能会改为伪造罪，为了逃避判决，他末将此画画完．并拒绝将画老化，以免留下罪证。

放射物质衰变原理： 记N(t)为t时刻存在的原于数，则dN/dt为单位时间内蜕变的原子数，因此有：其中λ是衰变系数半衰期T：为给定数量的放射性原于蜕变一半所需的时间。如何通过λ来计算T？

半衰期T的计算： 假设N(t0)＝N0，于是得初值问题：解：两边取对数后：如碳－14，其T＝5568年；铀一238，其T＝45亿年。放射性测定年龄法：

衰变史： 油画小知识：所有油画都含少量放射性元素铅－210以及更少量的镭－226。化炼铅矿石金属铅衰变铅白铅-210 镭-226 衰变铅-206 半衰期：22年半衰期：1600年

模型建立： 记y(t)为t时刻每克铅白所含Pb210的数量，y0 为制造时刻t0每克铅白所含铅一210的数量，r为镭在每克铅白中镭-226在每分钟的蜕变量，λ是铅-210的衰变常数，则油画中铅-210含量应满足：解：因为镭-226衰变为铅一210 问题：y0既不能直接测量，计算也有困难

鉴别油画的方法： 要区别17世纪的油画和现代膺品，可根据下述简单事实：如果颜料的年头比起铅的半哀期22 年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量就几乎接近于颜料中镭的放射作用量，即两者每克铅白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面，如果油画是现代作品(大约20年左右)，那么铅-210 的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。因此，一般只要测得每克铅白中铅-210及镭的衰变率就能判定。

是否现代膺品的判别 模型变形：取t-t0=300年，可算出铅白中铅-210的蜕变率λy0会大得出奇，然后能分析发现原矿中含铀量是否合理。由于矿石中含铀量达2~3%已极罕见，而由铅-210单位时间蜕变的原子数来计算矿石中含铀量的方法也不难，只要铅白中铅-210每分钟蜕变超过3万个原子，就知矿石中含铀超过4%，就判定出必为膺品。

鉴定结果： 取t-t0=300，铅-210的λ =ln2/22 后两幅画不可能是伪制品，因为铅-210和镭-226非常接近于放射性平衡，这种平衡在19世纪或20世纪油画的任何样品中都观察不到。

思考题1 1950年在巴比伦发掘出一根刻有Hammurabi (汉摸拉比)王朝字样的木炭，经测定C14衰减数为 4.09个／每克每分钟，新砍伐烧成的木炭中C14衰减数为6.68个／每克每分钟，已知C14的半衰期为 5568年，请推出该王朝约存在的年限。

案例1 一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续到下午，雪量稳定。某人从正午开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以ft3/h度量）和清扫面的宽度均不变。到下午2点他扫了两个街区，到下午4点他扫了一个街区。请问：雪是从什么时候开始下的？（可假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪）

示意图 1 1 下雪速度：a(单位)3/小时.面积铲雪速度：b(单位)3/小时 S(t)：正午后t小时的铲雪位移下雪时间：午前x0 已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3

模型 t到t+Δt时刻：（1）铲雪容量：b* Δt （2）忽略Δt下雪量，雪量减少容量：（3）微分表达式：（4）模型：

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