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连续型模型. 一、微分方程模型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析. 一、微分方程模型建模步骤. ( 1 )建模步骤 ( 2 )关于建模步骤的一个例子 ( 3 )建立微分方程的其他方法. 1 、建模步骤 (1). 1 、翻译或转化: 在实际问题中许多表示导数的常用词,如 “速率”、‘增长” ( 在生物学以及人口问题研究中 ) , “衰变” ( 在放射性问题中 ) ,以及“边际的” ( 在经 济学中 ) 等. 2 、建立瞬时表达式: 根据自变量有微小改变△ t 时,因变量的增

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Presentation Transcript
slide1

连续型模型

一、微分方程模型建模步骤

二、微分方程模型

三、案例分析

slide2
一、微分方程模型建模步骤

(1)建模步骤

(2)关于建模步骤的一个例子

(3)建立微分方程的其他方法

slide3
1、建模步骤(1)

1、翻译或转化:

在实际问题中许多表示导数的常用词,如

“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中),

“衰变”(在放射性问题中),以及“边际的”(在经

济学中)等.

2、建立瞬时表达式:

根据自变量有微小改变△t时,因变量的增

量△W,建立起在时段△t上的增量表达式,令

△t →0,即得到 的表达式.

slide4
建模步骤(2)

3、配备物理单位:

在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位.

4、确定条件:

这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界

上的信息,它们独立于微分方程而成立,用以确

定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学

陈述,应将这些给定的条件和微分方程一起列出。

slide5
2、关于建模步骤的一个例子

例1:某人的食量是10467焦/天,其中5038焦/

天,用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在

健身训练中,他所消耗的热量大约是69焦/

公斤.天乘以他的体重 (公斤).假设以脂肪形

式贮藏的热量100%地有效,而1公斤脂肪台

热量41868焦。试研究此人的体重随时间变

化的规律.

slide6
3、例子分析

1、翻译或转化:

2、配备物理单位:

3、建立表达式:

4、确定条件:

slide7

1、“每天”:体重的变化=输入一输出

其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量

吸收;输出是进行健身训练时的消耗(WPE).

2、上述陈述更好的表示结构式:

体重的变化/天=净吸收量/天一WPE/天

其中:

净吸收量/天=10467 – 5038 =5429(焦/天)

净输出量/天=69(焦/公斤·天)×W/(公斤

=69W(焦/天)

3、体重的变化/天= (公斤/天)

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3、例子分析

1、翻译或转化:

2、配备物理单位:

3、建立表达式:

4、确定条件:

slide9
单位匹配

有些量是用能量(焦)的形式给出的,而另外

一些量是用重量的形式(公斤)给出,考虑单位

的匹配,利用

slide10
3、例子分析

1、翻译或转化:

2、配备物理单位:

3、建立表达式:

4、确定条件:

slide12
4、建立微分方程的其他方法

1、按变化规律直接列方程,如:

利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等

学科中的规律,如牛顿第二定律,放射性物质的

放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程.

2、模拟近似法,如:

在生物、经济等学科中,许多现象所满足的

规律并不很清楚,而且现象也相当复杂,因而需

根据实际资料或大量的实验数据,提出各种假设,

在一定的假设下,给出实际现象所满足的规律,

然后利用适当的数学方法得出微分方程。

slide19
(2)模型建立

1、要注意体积:

2、模型:

3、解:

4、流完的时间:

slide20

连续型模型

一、微分方程模型建模步骤

二、微分方程模型

三、案例分析

slide21
微分方程模型

一、几何问题

二、化学问题

slide22
一、几何问题

1、速降线问题

2、追线问题

slide23
1、速降线问题

历史背景

问题:

确定一个连接二定点A、B的曲线,使

质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点

(介质的摩擦力和阻力忽略不计)。

slide24
速降线问题实验

X

速降线是否连接A和B的直线段?

牛顿的实验(1630年)

在铅垂平面内,取同样的两个球,其中一个

沿圆弧从A滑到B,另一个沿直线从A滑到B。发

现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问

题,他认为速阵线是圆弧线。

slide26
模型的建立

以s表示曲线从A点算起到P(x,y)的弧长

几个表达式:

(1)速度与路程的关系:

(2)弧微分公式:

(3)下降的时间:

模型:

slide27
模型求解——泛函的极值问题

(1)

  • 函数f满足:
  • (3) 函数化简:
  • (4) 方程的解:
slide28
2、追线问题

我缉私舰雷达发现,距c海里处有一艘走私

船正以匀速度a沿直线行驶,缉私舰立即以最大

的速度b追赶,若用雷达进行跟踪,保持船的瞬

时速度方向始终指向走私船,试求缉私舰追逐

路线和追上的时间。

slide29
图示

y 敌艇

R=(0,at)

D(x,y)

x

(c,0)

slide31
如何消去时间t?

1、求导:

2、速度与路程的关系:

3、分解 得:

(这里有负号是因为s随x的减小而增大)

4、将第2、3步代入第1步,可得模型

slide32
追线模型:

模型的解:

slide34
另一种方法:

作业:

用数值模拟法,用matlab编程,讨论

出现的各种情况,并作出追线曲线。另外,

假设敌艇也装有雷达系统,可随时改变逃

跑方向,问敌艇有逃脱的方案吗?

slide35
二、化学问题

溶液混合问题:

设有一容器装有某种浓度的溶液,以流量v1

注入浓度为c1的同样溶液,假定溶液立即被搅

匀,并以v2的流量流出这种混合后的溶液,试

建立容器中浓度与时间关系的数学模型。

slide36
模型的建立

参数设定:设容器中溶液溶质的质量为x(t),原

来的初始质量为x0,t=0时溶液的体

积为v0。

在△t的时间间隔内,容器内溶质的改变量:

其中c1:输入溶液浓度, c2:t时刻溶液浓度

适用范围:

气体、液体、固体

模型:

slide37
1、油画真假辨别

历史背景:

二战后,荷兰保安机关开始嫂捕纳粹分子的合作者,

于1945年5月29月以通敌罪逮捕了一名三流画家H.A.Va-

nmeegren,此人曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer创

作的一批名贵油画盗卖给德国。

但H.A.Vanmeegren被捕后宣称自己从未出卖过荷兰

利益,所有油画均是自己伪造的,这件事在当时轰动了

全世界,为了证明自己是一个高明的伪造者,他开始在

牢房里作画,当面快要完成时,他又得悉通敌罪可能会

改为伪造罪,为了逃避判决,他末将此画画完.并拒绝

将画老化,以免留下罪证。

slide39
放射物质衰变原理:

记N(t)为t时刻存在的原于数,则dN/dt为单

位时间内蜕变的原子数,因此有:

其中λ是衰变系数

半衰期T:为给定数量的放射性原于蜕变一半

所需的时间。

如何通过λ来计算T?

slide40
半衰期T的计算:

假设N(t0)=N0,于是得初值问题:

解:

两边取对数后:

如碳-14,其T=5568年;

铀一238,其T=45亿年。

放射性测定年龄法:

slide41
衰变史:

油画小知识:所有油画都含少量放射性元素铅

-210以及更少量的镭-226。

化炼

铅矿石

金属铅

衰变

铅白

铅-210

镭-226

衰变

铅-206

半衰期:22年

半衰期:1600年

slide42
模型建立:

记y(t)为t时刻每克铅白所含Pb210的数量,y0

为制造时刻t0每克铅白所含铅一210的数量,r为

镭在每克铅白中镭-226在每分钟的蜕变量,λ是

铅-210的衰变常数,则油画中铅-210含量应满足:

解:

因为镭-226衰变为铅一210

问题:y0既不能直接测量,计算也有困难

slide43
鉴别油画的方法:

要区别17世纪的油画和现代膺品,可根据下

述简单事实:如果颜料的年头比起铅的半哀期22

年长得多,那么颜料中铅-210的放射作用量就几

乎接近于颜料中镭的放射作用量,即两者每克铅

白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面,

如果油画是现代作品(大约20年左右),那么铅-210

的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。

因此,一般只要测得每克铅白中铅-210及镭

的衰变率就能判定。

slide44
是否现代膺品的判别

模型变形:

取t-t0=300年,可算出铅白中铅-210的蜕变

率λy0会大得出奇,然后能分析发现原矿中含铀

量是否合理。

由于矿石中含铀量达2~3%已极罕见,而由

铅-210单位时间蜕变的原子数来计算矿石中含

铀量的方法也不难,只要铅白中铅-210每分钟

蜕变超过3万个原子,就知矿石中含铀超过4%,

就判定出必为膺品。

slide45
鉴定结果:

取t-t0=300,铅-210的λ =ln2/22

后两幅画不可能是伪制品,因为铅-210和镭-226非常接近于放射性

平衡,这种平衡在19世纪或20世纪油画的任何样品中都观察不到。

slide46
思考题1

1950年在巴比伦发掘出一根刻有Hammurabi

(汉摸拉比)王朝字样的木炭,经测定C14衰减数为

4.09个/每克每分钟,新砍伐烧成的木炭中C14衰

减数为6.68个/每克每分钟,已知C14的半衰期为

5568年,请推出该王朝约存在的年限。

slide47

连续型模型

一、微分方程模型建模步骤

二、微分方程模型

三、案例分析

slide48
案例1

一场降雪开始于午前的某个时刻,并持续

到下午,雪量稳定。某人从正午开始清扫某条

街的人行道,他的铲雪速度(以ft3/h度量)和

清扫面的宽度均不变。到下午2点他扫了两个街

区,到下午4点他扫了一个街区。请问:雪是从

什么时候开始下的?(可假设他没有回头清扫

落在已扫过的路面上的雪)

slide49

示 意 图

1

1

下雪速度:a(单位)3/小时.面积

铲雪速度:b(单位)3/小时

S(t): 正午后t小时的铲雪位移

下雪时间:午前x0

已知量:S(0)=0,S(2)=2,S(4)=3

slide50
模 型

t到t+Δt时刻:

(1)铲雪容量:b* Δt

(2)忽略Δt下雪量,雪量减少容量:

(3)微分表达式:

(4)模型:

slide51
求解

解:

slide52
案例2

房屋管理部门想在房顶的边缘

安装一个檐槽,其目的是为了雨天

出入方便。简单说来,从屋脊到屋檐的房顶可以看

成是一个12米长,6米宽的矩形平面,房顶与水平方向的

倾斜角度要视具体的房屋而定,一般说来,这个角度通常

在200~500之间。

现在有一个公司想承接这项业务,他们允诺:提供一

种新型的可持久的檐槽,它包括一个横截面为半圆形(半径

为7.5厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米),

并且不管天气情况如何,这种檐槽都能排掉房顶的雨水.

但是房管部门还在犹豫,考虑公司的承诺能否实现,于

是想请你用数学的方法给一个详细的分析,论证它这个方案

的可行性

slide54
思考题2

设某城市共有n+1人,其中一人出于某种目

的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化

程度的人占总人数的一半,这些人只有1/4相信

这一谣言,而其他人约有1/3会相信。又设凡相

信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人

数正比于当时尚未听说此谣言的人数,而不相

信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣

传情况的微分方程模型。

slide55
思考题3

汽车停车距离可分为两段:一段为发现情况到

开始制动这段时间里驶过的距离DT,这段时间为反

应时间;另一段则为制动时间驶过的距离DR,现考

核某司机,考核结果如下:

行驶速度 DT DR

36公里/小时 3米 4.5米

50公里/小时 5米 12.5米

70公里/小时 7米 24.5米

(1)作出停车距离D的经验公式

(2)设制动力正比于车重,建立理论分析模型并求

出D的公式。

slide57
速降线问题的历史背景

1696年,瑞士著名数学家约翰.伯努利

〔Johann Bernoullil667-1748)在《教师报》上

发表了一封公开信。请全世界的数学家来解

决当时的一个难题——“速降线问题”,并向

全世界最精明的数学家挑战,此信的发表哄

动了欧洲,引起了数学家的极大兴趣。此后

问题为牛顿、莱卜尼兹和伯努利兄弟二人所

解决,从而产生了一门应用极为广泛的新学

科——变分法。