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平面与平面的位置关系

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平面与平面的位置关系 - PowerPoint PPT Presentation


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平面与平面的位置关系. . . a. . . 回顾. 平面与平面的位置关系. 两平面平行. 两平面相交. 没有公共点. 有一条公共直线.  ∥ .  ∩  = a. 如果没有特别说明,一般我们说两个平面是指 不重合 的两个平面.. P . b . . a . b. P. a. . 回顾. 平面与平面平行的判定定理. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.. 线不在多 相交才灵. a   , b   , a ∩ b = P , a ∥  , b ∥ 

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Presentation Transcript
slide2

a

回顾

平面与平面的位置关系

两平面平行

两平面相交

没有公共点

有一条公共直线

∥

∩ =a

如果没有特别说明,一般我们说两个平面是指不重合的两个平面.

slide3

P

b

a

b

P

a

回顾

平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

线不在多

相交才灵

a   ,b  ,a∩b=P,a∥,b∥

  ∥.

怎样用符号语言表示定理?

定理需要哪几个条件?

定理中哪些关键词值得注意?

定理得到面面平行是通过什么转化的?

slide4

P

b

b

a

a

b

P

a

回顾

平面与平面平行的判定定理推论

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.

a  ,b ,a∩b=P, a,b,a∥a,b∥b,

 ∥.

定理需要哪几个条件?

怎样用符号语言表示定理?

定理得到面面平行是通过什么转化的?

slide5

P

D

F

E

A

C

B

范例

已知空间四边形PABC,连结PB、AC, 且D、E、F分别是棱 PA、PB、PC 的中点.

求证:平面 DEF∥平面 ABC.

证明:在△PAB 中,

因为 D、E 分别是 PA、PB 的中点,

所以 DE∥AB.

同理 EF∥BC.

又因为 DE平面DEF,EF平面DEF,

DE∩EF =E,

所以平面 DEF∥平面 ABC.

slide6

D

C

B

A

C

D

A

B

范例

已知:长方体 ABCD-ABCD.  

求证:平面ABD∥平面BCD.

slide7

a

b

回顾

平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,

那么它们的交线平行.

a   ,b  ,a  ,b  ,∥ a∥b.

定理需要哪几个条件?

怎样用符号语言表示定理?

定理得到线线平行是通过什么转化的?

slide8

D

A

C

B

范例

已知平面 ∥平面  ,AB 、 CD 为夹在、间的平行线段.

求证:AB = CD .

证明:连结 AD,BC,

因为 AB∥CD ,

所以 AB 和 CD 确定平面 AC.

平面 AC∩ =AD,平面AC∩ =BC,

因为 ∥,所以AD∥BC,

从而四边形 ABCD 是平行四边形.

所以 AB=CD .

夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.

slide9

S

A

C

B

D

范例

平面∥平面 ,直线AB、CD相交于点S,且直线AB交、 于点A、B,直线CD交、 于点C、D,已知AS=4,BS=7,CD=6,求CS的长.

slide10

回顾

平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中的每一部分都叫做半平面.

 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

记作:

二面角 –AB–

二面角C–AB–D

二面角 –l–

二面角 C–l–D

C 

l

A

B

D 

二面角是我们熟知的平面中的角吗?

两个相交平面共组成几个二面角?

slide11

l

回顾

以二面角的棱 l 上任意一点O为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线.

射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.

B

O

A

二面角的平面角必须满足:

①角的顶点在棱上;

②角的两边分别在两个面内;

③角的边都要垂直于二面角的棱.

slide12

B

B

l

l

O

O

A

A

回顾

 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.

我们约定:

二面角的大小范围是0≤ ≤180.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

slide13

O

范例

如图,过二面角–l– 的一个半平面内一点A,作另一个半平面的垂线,垂足为B,过点B作棱的垂线,垂足为O,连结AO,则∠AOB是二面角–l– 的平面角吗?为什么?

理由如下:

∵AB⊥,l ,

∴AB⊥l ,

∵OB⊥l,AB∩OB=B,

∴l⊥平面ABO,

∵OA,

∴l⊥OA,

∴∠AOB是二面角–l– 的平面角.

A

B

l

slide14

D

C

A

B

D

C

A

B

范例

已知正方体 ABCD–ABCD,

求二面角D–AB–D 的大小 .

解:在正方体 ABCD–ABCD中,

∵AB⊥平面 ADDA,

∴AB⊥AD,AB⊥AD,

∴DAD是二面角D–AB–D

的平面角.

∵△DAD是等腰直角三角形,

∴DAD=45 ,

∴二面角D–AB–D的大小为 45.

求二面角的步骤怎样?

一找,二证,三算,四答

slide15

范例

已知Rt△ABC在平面 内,斜边AB在30º的二面角–AB–的棱上,若AC=6,BC=8,求点C到平面的距离CO.

∵CO⊥,AB,

∴CO⊥AB,CO⊥OD,

作CD⊥AB,CO∩CD=C,

∴AB⊥平面COD,

∴OD⊥AB,

∴∠CDO是二面角–AB– 的平面角,∠CDO=30º.

∵Rt△ABC中AC=6,BC=8,∴AB=10,

解得CD=4.8,

∴CO=2.4.

解:

C

O

A

D

B

slide16

回顾

平面与平面垂直的判定定理

 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

A

l

O

符号表示:

AO⊥,AO   ⊥ .

slide17

A

A

D

C

B

C

B

(2)

D

(1)

范例

已知 △ABC中,AB=AC,AD是斜边上的高.

求证:平面ABD⊥平面BDC.

证明:如图(2),因为AD⊥BD,AD⊥DC,

所以AD⊥平面BDC,

因为平面ABD过AD,

所以平面ABD⊥平面BDC.

slide18

A

B

D

C

范例

已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,

请问哪些平面互相垂直的,为什么?

slide19

A

l

O

回顾

平面与平面垂直的性质定理

 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

B

符号表示:

如果 ⊥, ∩ =l,OA ,OA ⊥ l ,

那么 OA⊥.

slide20

C

B

A

l

D

范例

如图,已知平面⊥平面 ,∩ =l,在 l 上取线段 AB=4.AC、BD 分别在平面和平面  内,且垂直于两平面的交线AB,AC=3,BD=12.求CD的长.

解:连接 BC.

因为平面⊥平面,

BD平面,BD⊥AB,

所以 BD⊥平面.

因为BC平面,

所以 BD⊥BC.

所以 △CBD 是直角三角形.

在 Rt△BAC 中,可得BC=5,

在 Rt△CBD 中,求得CD=13 .