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Julien HILLAIRET

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Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe. Julien HILLAIRET. Co-Directeurs de thèse Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI. Contexte de l'étude . Calcul de champs rayonnés. Plusieurs approches : .

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe

Julien HILLAIRET

Co-Directeurs de thèse

Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI

contexte de l tude
Contexte de l'étude

Calcul de champs rayonnés

Plusieurs approches :

Champincident

Champrayonné ?

Les méthodes rigoureuses (MoM,...) ne sont pas adaptées à des problèmes de grandes tailles. ONERA : ELSEM3D

Les méthodes asymptotiques (lancer de rayons,...) sont adaptées en haute fréquences. ONERA : FERMAT

Solution complémentaire : les faisceaux gaussiens (FG)‏

Avantages :

  • Nombre de faisceaux < nombre de rayons
  • Pas de caustiques
sommaire
Sommaire

État de l'art : les faisceaux gaussiens (FG)‏

Propriétés principales

Problématiques

Interactions avec des parois de forte courbure

Spectre d'un faisceau gaussien conforme.

Diffraction d'un faisceau gaussien

Diffraction 2D par un demi-plan infini ;

Diffraction 3D par une surface rectangulaire finie.

Applications des faisceaux gaussiens

Contexte de la propagation EM.

Conclusion et perspectives

tat de l art
État de l'art

Décomposition des champs EM en FG

Champ EM(connu)‏

Surface de décomposition

Faisceaux gaussiens

Champ initial défini sur une surface courbe

Décomposition en FG

Propagation des FG

Interactions des FG avec la scène

d composition de champs en fg
Décomposition de champs en FG

Décomposition de champs peu divergents

Décomposition multi-modale : surfaces courbes(F.Minato, O.Pascal, J.Sokoloff)‏.

Décomposition de champs divergents

Décomposition de Gabor / frames de Gabor : surfaces planes ou cylindriques(L.Felsen,C.Letrou, D.Lugara) ;

Décomposition sur une surface sphérique en champ lointain (P.Schott) ;

Décomposition multi-faisceau gaussiens : surfaces courbes(A.Chabory)‏.

faisceaux gaussiens
Faisceaux Gaussiens

Un FG est un faisceau dont :

L'amplitude transverse est gaussienne

La propagation peut se formuler analytiquement

Décomposition en spectre d'ondes planes du champ dans le plan initial (analytique)

Méthodes asymptotiques

Propagation du faisceau

Formulations analytiques

E(x,y,z=0)‏

E(x,y,z=0)‏

Plan transverse

propagation d un fg
Propagation d'un FG

Plusieurs formulations analytiques

Approche classique (multimodale) ;

Approche spectrale : paraxiale ;

Approche spectrale : champ lointain.

Zone de validitéformulation paraxiale

R

Matrice de courburecomplexe du FG

z

Zone de validitéformulation champ lointain

interaction d un fg
Interaction d'un FG
  • Interaction d'un FG avec une surface courbe
    • 1 FG incident → 1 FG Réfléchi et 1 FG Transmis (lois ABCD/phase matching)‏
    • 1 FG incident → Champs Réfléchi et Transmis (coefficients R&T analytiques puis décomposition en FG)‏
    • Surface très courbe : Faisceaux Gaussiens “Conformes”

e1

e2

probl matiques
Problématiques

?

?

  • Problèmes restés ouverts en début de thèse:
    • Interactions avec des parois de forte courbure (FGC) ;
    • Diffraction d'un FG.
parois de forte courbure
Parois de forte courbure

Contexte originel : interactions antennes/radômes

radômes de forte courbure

zoom

Champ Transmis

Champ Réfléchi

Lorsque l'angle entre :

  • la normale n à la surface en M
  • la direction du vecteur de Poynting P local d'un faisceau,

est important :

la décomposition en FG n'est plus valide !

Décomposition en FG

Surface (virtuelle)de décomposition en FG

parois de forte courbure1
Parois de forte courbure

Introduction aux Faisceaux Gaussiens Conformes

Des faisceaux adaptés aux surfaces courbes

Champ incident

Surface de décomposition

très courbe

Evolution linéaire de la phasesur la surface

Allure gaussiennesur la surface

  • Approche :
    • Calcul des courants équivalents J et M sur la surface
    • Décomposition de ces courants en courants « gaussiens »
    • Rayonnement de ces courants « gaussiens » : FGC
      • approximation quadratique de la surface‏ locale
      • hypothèse grande distance

Expressionanalytique

parois de forte courbure2
Parois de forte courbure

Interaction d'un FGC avec un diélectrique

Exemple : radôme de pointe

?

Spectre d'ondes planes d'un FGC

  • Généralement défini sur un plan
  • Un FGC est défini pour une surface courbe !

r

  • Le champ incident sur la paroi interne est décomposé en FGC
  • La propagation analytique des FGC est valide à grande distance
  • Pour procéder comme avec les FG : spectre d'ondes planes
spectre d ondes planes d un fgc 1
Spectre d'ondes planes d'un FGC (1)‏

On part des intégrales de courants de Franz :

On utilise le développement en ondes planes d'un point source (Weyl, 1919):

avec :

Ainsi,

spectre d ondes planes d un fgc 2
Spectre d'ondes planes d'un FGC (2)‏
  • Inversion de l'ordre d'intégration
  • Méthode du Point col
  • Opérateurs différentiels

Expression spectrale d'un FGC

spectre d ondes planes d un fgc 3
Spectre d'ondes planes d'un FGC (3)‏
  • Spectre d'ondes planes d'un FGC :

avec

Métrique de la surface courbe

Matrice de courbure complexe

Forme (pseudo) quadratique

valuation asymptotique du spectre d ondes planes
Évaluation asymptotique du spectre d'ondes planes

Obtention d'une expression analytique du champ

Évaluation par la méthode du col

Expression analytiqueen zone proche

  • Problème : validité de l'évaluation asymptotique

Valide en zone lointaine

Limitations en zone proche dues à la position du point col : une évaluation numérique est possible, mais coûteuse en temps de calcul.

diffraction d un fg
Diffraction d'un FG

Contexte

Cas de figure d'un FG interceptant une arête

Bibliographie

Méthodes de champs (OG/TGD, TUD...)‏

Méthodes de courants (OP/TPD...)

diffraction 2d d un fg approches utilisables
Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables

Cas d'un plan semi-infini (problème 2D) :

Deux solutions exactes :

Utilisation du Spectre d'Ondes Planes (SOP) ;

Théorie du Point Source Complexe (PSC).

Une solution approchée :

Hypothèse de l'Optique Physique (OP)‏

Plan conducteur semi-infini

Es

Effet

de

l'arête

?

diffraction 2d d un fg approches utilisables1
Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables

Utilisation du spectre d'ondes planes

Le FG incident est décomposé en ondes planes ;

On connaît le champ diffracté par chacune des ondes planes (Sommerfeld, 1896) ;

Le champ diffracté par le FG correspond à la somme des ondes planes diffractées.

EdFG

Formulation exacte

et intégrale.

Plan conducteur semi-infini

diffraction 2d d un fg
Diffraction 2D d'un FG

Spectre d'ondes planes

Spectre d'ondes planes (intégration numérique)‏

Plan conducteur semi-infini

  • Paramètres :
    • Incidence : 45°
    • Polarisation TE
    • Centre du faisceau sur l'arête
    • Calcul du champ proche
diffraction 2d d un fg approches utilisables2
Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables

Théorie du point source complexe

Le rayonnement d'un point source dont les coordonnées sont complexes correspond approximativement à un FG paraxial.

L'expression du champ diffracté par un point source complexe correspond à celle d'un pointsource réel (Stratton, 1941).‏

~

~

~

r

Formulation exacte

et analytique.

Plan conducteur semi-infini

diffraction 2d d un fg1
Diffraction 2D d'un FG

Plan semi-infini : Point source complexe

Point source complexe(expression analytique)‏

Plan conducteur semi-infini

diffraction 2d d un fg approches utilisables3
Diffraction 2D d'un FG : approches utilisables

Hypothèse de l'Optique Physique (OP)‏

On calcule le courant électrique OP sur le demi-plan :

On calcule le champ rayonné par ce courant :

Évaluation asymptotiqueExpression analytique.

Er

^

n

Formulation approchée et analytique.

Hi(S)‏

Plan conducteur semi-infini

diffraction 2d d un fg2
Diffraction 2D d'un FG

Plan semi-infini : Optique Physique

Optique Physique(expression analytique)‏

Plan conducteur semi-infini

slide27
Champ rayonné lointain

Spectre d'ondes planes (intégration numérique)‏

Optique Physique(expression analytique)‏

Φ

Différences : en zone proche et endehors des directions principales de rayonnement

Diffraction 2D d'un FG

  • Plan semi-infini : comparaisons des approches
diffraction d un fg1
Diffraction d'un FG

Plan semi-infini : bilan

Compromis

entre

précision

et temps de

calcul

PSC

(FG parax.)‏

SOP

OP

Exact

1 intégrale

Exact

Analytique

Approx.

Analytique

2D

Approx.

Analytique

Exact

2 intégrales

Astigmatis.

Polarisation

3D

(vect.)‏

diffraction 3d par un fg surface finie et op
Diffraction 3D par un FG : surface finie et OP

OP pour une surface finie (3D) :

Évaluation asymptotique. Hypothèses :

Point d'observation en zone lointaine ;

Matrice de courbure du FG incident constante sur la surface éclairée ;

“Découpage” du domaine d'intégration

Hi

Es

Courant de l'OP sur la surface S

avec

Forme canoniquepropice à l'utilisationde la méthode du point col

S

diffraction 3d d un fg optique physique
Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique

« Découpage » du domaine d'intégration (1)‏

Développement asymptotique connu

1er terme analytique

diffraction 3d d un fg optique physique1
Diffraction 3D d'un FG : Optique Physique

« Découpage » du domaine d'intégration (2)‏

A

B

C

A

B

D

D

C

Même approche :(4 intégrales doublesavec 2 bornes)‏

approximations uniformes

2 Développements asymptotiques uniformes en cascade

4 termes analytiques

4 termes an.

Finalement : le développement asymptotique global correspond à la somme de 1+4+4=9 termes analytiques.

diffraction 3d d un fg
Diffraction 3D d'un FG

Application numérique (1)‏

Légende :

  • Intégration numérique OP
  • Expr. Analytique OP
  • Différence

dB

Plaque :

  • taille : 20x20

FG incident :

  • centre en (x,y,z)=(10,0,10)‏
  • angle zenith : 0°
  • angle azimuth : 0°

Observation :

  • angles zenith : -90° à 90°
  • angle azimuth: 0°
  • distance obs : 1000 
  • composante E

Très bonne

correspondance entre

intégration numérique

et

expression analytique.

diffraction 3d d un fg1
Diffraction 3D d'un FG

Application numérique (2)‏

Légende :

  • Intégration numérique OP
  • Expr. Analytique OP
  • Méthode des Moments (MoM)‏
  • Différence entre MoM et OP analytique

dB

Plaque :

  • taille : 20x20

FG incident :

  • centre en (x,y,z)=(0,0,50)‏
  • angle zenith : 0°
  • angle azimuth : 0°

Observation :

  • angles zenith : -90° à 90°
  • angle azimuth: 0°
  • distance obs : 1000 
  • composante E

E

Très bonne correspondance entre

OP numérique et OP analytique

partout.

Bonne correspondance entre

OP et MoM

pour les premiers lobes.

diffraction 3d d un fg2
Diffraction 3D d'un FG

Application numérique (3)‏

Légende :

  • Intégration numérique OP
  • Expr. Analytique OP
  • Méthode des Moments (MoM)‏
  • Différence entre MoM et OP analytique

Légende :

  • Intégration numérique OP
  • Expr. Analytique OP
  • Méthode des Moments (MoM)‏
  • Différence entre MoM et OP analytique

Plaque :

  • taille : 10x10

FG incident :

  • centre distant de 30
  • angle zenith :45°
  • angle azimuth : 0°

Observation :

  • angles zenith : -90° à 90°
  • angle azimuth: 0°
  • distance obs : 1000 
  • composante E

dB

E

E

i=45°

E

E

Bonne correspondance entre

OP numérique et OP analytique

partout.

Bonne correspondance entre

OP et MoM

pour les premiers lobes.

diffraction 3d d un fg3
Diffraction 3D d'un FG

Application numérique (4)‏

Plaque :

  • taille : 10x10

FG incident :

  • centre distant de 50
  • angle zenith :45°
  • angle azimuth : 0°

Observation :

  • angles zenith : -90° à 90°
  • angle azimuth: 37°
  • distance obs : 1000 
  • composantes E et E

dB

E

E

i=45°

obs=37°

Légende :

  • Intégration numérique OP
  • Expr. Analytique OP
  • Méthode des Moments (MoM)‏
  • Différence entre MoM et OP analytique

Bonnes correspondances entre

OP numérique et OP analytique.

Correspondances entre

OP et MoM

uniquement pour les premiers lobes.

diffraction 3d d un fg synth se
Diffraction 3D d'un FG : synthèse

Domaine de validité de la solution analytique

Hypothèses :

Haute-fréquence ;

Optique Physique ;

Observation en zone lointaine ;

Matrice de courbure constante sur la surface

Type de surface :

conductrice et rectangulaire ;

Taille minimum : 5λ x 5λ (OP) ;

Pas de taille maximum ;

Faisceaux gaussiens :

Angle d'incidence maximum : environ 60° ;

formulations pour FG paraxiaux ou champ lointain.

  • Exemple de temp de calcul :
    • MoM (référence) : 30 min
    • OP numérique : 2 min
    • OP analytique : 1 sec
applications des fg
Applications des FG

Utilisation du lancer de faisceaux gaussiens :

Radômes diélectriques mono/multi-couches

Propagation EM indoor

Propagation EM outdoor (couverture telecom)‏

εr 3

εr 2

εr 1

applications des fg propagation
Applications des FG : propagation

Exemple : propagation EM sur de grandes distances

Le champ incident sur le plan est décomposé en FG (paraxiaux);

On compare avec la résolution de l'équation parabolique (code ONERA-LAME, EPEE3D)‏ ;

Le sol conducteur est modélisé par le théorème des images ;

Indice de réfraction de l'atmosphère = 1

(1 GHz)‏

plan

conducteur

applications des fg propagation1
Plan parallèle à la direction de propagationApplications des FG : propagation

Faisceaux Gaussiens (45 min)‏

Champ lointain

Champ proche

Champ réfléchi

Équation parabolique (6h30)‏

applications des fg propagation2
Applications des FG : propagation

Plan transverse à la direction de propagation

(Composante principale (Ex), à 500m du plan)‏

coupe

application des fg propagation
Application des FG : propagation

Exemple : Propagation dans une vallée

dB

  • ouverture circulaire uniforme ;
  • décomposée en 472 FG(lointain) ;
  • =30° (>20°).
conclusion
Conclusion

Parois diélectriques très courbes :

formulation du spectre d'ondes planes d'un FGC ;

calcul numérique des interactions ;

calcul analytique pour des parois en zone lointaine.

Diffraction d'un FG

2D :

2 formulations exactes : SOP/PSC

1 formulation approchée : OP

3D : 2 formulations approchées : OP

non uniforme

Uniforme (sans singularités ou discontinuités)

Applications des FG

radômes

contexte de propagation EM

perspectives
Perspectives

Mathématiques :

Développements asymptotiques possibles ?

Modification de la forme des FGC ?

Diffraction 3D : triangle

Physiques :

Utilisation des FGC pour des radômes très courbes

Applications des FG à des problèmes complets

lancer de faisceaux gaussiens
Lancer de faisceaux gaussiens

Radôme diélectrique/multicouches : f.g. « classiques » et conformes.

Surface de faible courbure diélectriques ou métalliques :faisceaux gaussiens « classiques ».

Surface de forte courburediélectrique ou métallique:

faisceaux gaussiens conformes.

Arête diffractante métallique :

diffraction d’un faisceau gaussien « classiques ».

d veloppement asymptotique d int grales
Développement asymptotique d'intégrales

Principe (phase stationnaire)‏

Point stationnaire :

x

s

Re[exp(j k g(x))] pour g(x) = x^2 - 4x

x

configuration des mesures
Configuration des mesures

Mesures de champs diffractés

Dipôle

application du spectre d ondes planes d un fgc1
Application du spectre d'ondes planes d'un FGC

Champs incidents sur la surface

ad