§6. 置换群

§6.置换群 • 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论

变换群的一种特例,叫做置换群,在代数里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群．这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单．现在我们把这种群讨论一下．变换群的一种特例,叫做置换群,在代数里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群．这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单．现在我们把这种群讨论一下．

6.1 置换群 定义1　一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群．

我们看一个有限集合，有个元 ．由Ⅱ，５，的全体置换作成一个群．定义2　一个包含个元的集合的全体置换作成的群叫做次对称群．这个群用来表示．定理１　次对称群的阶是！．

现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个置换现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个置换这样一个置换所发生的作用完全可以由，， …，这对整数来决定．表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成 6.2 置换的表示方法:2-行法

形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的我们也可用

例１　．假如 那么不过我们普通用来表示这个．

例２有６个元．这６个元可以写成 ，，，，， ● 如何计算乘法? (注意我们规定的顺序) (从右向左)

● 如何求逆? =?? ● 所以不是交换群．无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第一个有限非交换群的例子．可以说是一个最小的有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非交换群至少要有六个元．

为了说明置换的第二种表示方法，我们先证明一个公式．看两个特殊的置换 ： , 那么以下公式成立： 6.3 循环

● 证明这个公式.我们只须注意，因为是 ，，…, 这个元的一一变换，而在之下，，…, 已经各是， …, 的象,所以它们不能再是的象,这就是说, ● 先看一个例子

这样，将变成 . 显然，将变成定义　的一个把变成变到，变到，…，变到，而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个循环置换．这样的一个置换我们用符号，，…或来表示．2-循环称为对换.

例３　我们看，这里 一个任意的置换当然不一定是一个循环置换．

例４　的就不是一个循环置换． 但是, 定理２　每一个个元的置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积．一般来说，我们有

证明先看一个例子. 在中， I.当不使任何元变动的时候，就是当是恒等置换的时候，定理是对的．我们再用归纳法．

II. 假定对于最多变动个元的 定理是对的．现在我们看一个变动个元的．我们任意取一个被变动的元，从出发我们找的象，的象，这样找下去，直到我们第一次找到一个为止，这个的象不再是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元: 因为我们一共只有个元，这样的是一定存在的．我们说．因为已经是的象，不能再是的象．这样，我们得到

因为只使个元变动，，假如， 本身已经是一个循环置换，我们用不着再证明什么．假如，由公式（1），

但只使得 个元变动，照归纳法的假定，可以写成不相连的循环置换的乘积：在这些里不会出现.不然的话, 那么同不会再在其余的中出现, 也必使但我们知道, 使得不动,这是一个矛盾.这样, 是不相连的循环置换的乘积: 证完

例５的全体元用循环置换的方法写出来是 ，，，，，；定理３　每一个有限群都与一个置换群同构．这就是说，每一个有限群都可以在置换群里找到例子．现在置换群又是一种比较容易计算的群，所以用置换群来举有限群的例是最合理的事．

1.每一个循环可以写出对换的乘积.进一步, 对换个数的奇偶性是固定的. 提示: 2. 每一个对换可以写出形如: (12),(13),…(1n)的乘积. 提示: (ij)=(1i)(1j)(1i) 3. 每一个形如: (12),(13),…(1n)的对换可以写成(12),(23),(34)…(n-1 n)的乘积. 提示: (13)=(12)(23)(12) (14)=(13)(34)(13) ………… 6.4 补充结论

作业 • P55:2,5

§6. 置换群

§6. 置换群

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