אלגוריתמים נבחרים בתורת הגרפים

1. אלגוריתמים נבחרים בתורת הגרפים עצים

2. עצים יהי G = (V, E) גרף לא מכוון, סופי או אינסופי. נאמר ש- Gחסר מעגליםאם אין ב- G אף מעגל. עץ: גרף קשיר חסר מעגלים.

3. עצים משפט:התנאים הבאים שקולים: • G הוא עץ. • G הוא חסר מעגלים אך הוספת קשת כלשהי בין שניים מקודקודיו תיצור מעגל. • G אינו מכיל לולאות עצמיות ועבור כל זוג קודקודים קיים מסלול פשוט יחיד המחבר ביניהם. • G קשיר אך הסרת קשת כלשהי מ-G פוגמת בקשירות G.

4. הוכחה נוכיח את הגרירות הבאות: => iv => ii => ii => iii i => ii • G הוא עץ. • G חסר מעגלים אך הוספת קשת כלשהי בין 2 מקודקודיו תיצור מעגל. i =>G קשיר וחסר מעגלים. תהי (a, b) = e הקשת הנוספת (עפ"י ii). אם a=b אזי e היא לולאה ולכן eG + מכיל מעגל (בסתירה לנתון). אם a≠b אזי מכיוון ש- G קשיר קיים מסלול מ- a ל- b (ללא e) ובתוספת e נקבל מעגל =>ii.

5. הוכחה ii => iii .iiG חסר מעגלים אך הוספת קשת כלשהי בין 2 מקודקודיו תיצור מעגל. iii. G אינו מכיל לולאות עצמיות ועבור כל זוג קודקודים קיים מסלול פשוט יחיד המחבר ביניהם. ii => ברור של- G אין לולאות עצמיות (לולאה היא מקרה פרטי של מעגל). נניח בשלילה שקיימים 2 קודקודים a ו- b שיש ביניהם שני מסלולים שונים. יהיה v1 הקודקוד הראשון שהצלעות אחריו בשני המסלולים אינן זהות ויהי v2 הקודקוד הבא המשותף לשני המסלולים. (קיים v1 כזה מכיוון ש- a משותף לשני המסלולים והם שונים לפחות בצלע אחת, וקיים v2 כזה מכיוון ש- b משותף).

6. הוכחה ii => iii .iiG חסר מעגלים אך הוספת קשת כלשהי בין 2 מקודקודיו תיצור מעגל. iii. G אינו מכיל לולאות עצמיות ועבור כל זוג קודקודים קיים מסלול פשוט יחיד המחבר ביניהם. ii => (המשך) יהי p1(v1, v2) קטע המסלול הראשון בין v1 ל- v2 ובאופן דומה p2(v1, v2) על המסלול השני. קל לראות ש- p2(v1, v2) – p1(v1, v2) הוא מעגל בסתירה להנחה ש- G חסר מעגלים. => קיים מסלול יחיד בין a ל- b ב- G.

7. הוכחה iii. G אינו מכיל לולאות עצמיות ועבור כל זוג קודקודים קיים מסלול פשוט יחיד המחבר ביניהם. iv . G קשיר אך הסרת קשת כלשהי פוגמת בקשירות G. iii => iv מתוך קיום המסלול בין כל זוג קודקודים נובע ש- G קשיר. נניח שמורידים קשת e מ- G. מכיוון G חסר לולאות, נובע ש- e אינה לולאה. תהי e=(a, b). אם לאחר הורדת הקשת e קיים מסלול בין a ל- b הרי שב- G היה יותר ממסלול אחד בין a ל- b. (הקשת e=(a, b) אף היא מסלול). מכאן נובע iv.

8. הוכחה vi. G קשיר אך הסרת קשת כלשהי פוגמת בקשירות G. I . G הוא עץ. vi => i היות ו- G קשיר נותר להראות כי G חסר מעגלים. G חסר מעגלים היות ואם היה ב- G מעגל, אזי הורדת קשת אחת מהמעגל לא היתה משפיעה על הקשירות, כפי שנתון. מכאן נובע ש- G קשיר וחסר מעגלים, כלומר G עץ.

9. משפט יהי G=(V, E) גרף סופי, |V| = n. שלושת התנאים הבאים שקולים: • G הוא עץ. • G חסר מעגלים ומכיל n-1 קשתות. • G קשיר ומכיל n-1 קשתות. עץ: גרף קשיר חסר מעגלים. הוכחה (לא קשה אך לא תעשה בכתה)

10. עלה:קודקוד בעל דרגה 1. מסקנה:עץ סופי עם יותר מקודקוד אחד מכיל לפחות שני עלים. הוכחה: נבחר בצלע e(קיימת צלע היות ועל פי המשפט הקודם מספר הצלעות הוא n-1 ו- (n≥2. נרחיב את הקשת למסלול ע"י הוספת קשתות לקצותיה כל עוד ניתן. מכיוון שמדובר בעץ, הוספת קשת לקצה המסלול מוסיפה קודקוד חדש למסלול (לא יתכן שחזרנו לאותו צומת היות ועץ הוא חסר מעגלים). קבלנו מסלול פשוט. היות והעץ סופי, הוספת הקשתות חייבת להסתיים משני צדי e. נקבל שני קודקודים שדרגתם 1.