第 2 章数据的表示和运算

第2章数据的表示和运算

数据是计算机处理的对象。 • 在计算机中各种信息都必须经过数字化编码才能够传输、存储和处理。 • 在计算机应用领域中，数据不仅仅指传统的数字和字符，也包括图形、图像、视频和音频等数据形式。 • 针对不同的数据形式，人们采用不同的方法对数据进行编码和存储。

本章主要内容 • 数制及其表示 • 计算机采用二进制的优越性 • 数据表示 • 二进制运算

2.1数制及其表示 • 十进制是人们最熟悉的一种进位记数制，它由O-9共10个数字组成，进位方法是逢十进一。 • 在计算机中采用的数制是二进制，有时也使用八进制和十六进制。 • 这里要介绍不同进位记数制的共同特点和它们之间的转换方法。

2.1.1进位记数制 • 一切进位记数制都有两个共同点：按基数来进位和借位，按位权值来计数。 • 1.基数不同的记数制是以基数来区分的。假设以R代表基数。 R= 2时，为二进制，可用的数字为0，1； R= 8时，为八进制，可用的数字为0，1，2，3，4，5，6，7； R=10时，为十进制，可用的数字为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9； R=16时，为十六进制，可用的数字为0，1，2，3，4，5，6，7，8，A，B，C，D，E，F。

各种记数制都按基数R来进位和借位的，即 “逢R进一，借一当R”。 • 例如，对十进制数，“逢十进一，借一当十”；对二进制数，“逢二进一，借一当二”；对八进制数，“逢八进一，借一当八”；对十六进制数，“逢十六进一，借一当十六”。

2.位权值 • 在任何记数制中，一个数的每个位置各有一个“位权值”。 • 例如，十进制数32,767有5个数符，从左向右它们的位权值分别为万位、千位、百位、十位和个位，即104，103，102，101和100。在这里虽然第三和第五两个位置上的数符都是7，但是，第三位上的7代表700(7×102)，而第五位上的7就代表7(7×100)。

按照“用位权值计数”的原则，这5位十进制32,767的值可以写为：按照“用位权值计数”的原则，这5位十进制32,767的值可以写为： (32,767)10＝3×104＋2×103＋7×102＋6×101＋7×100 ＝30,000＋2,000＋700＋60＋7 • 若32,767这5位是八进制数，则可以写为： (32,767)8＝3×84＋2×83＋7×82＋6×81＋7×80 ＝12,288＋1,024＋448＋48＋7 ＝(13815)10

2.1.2不同数制间的转换 ⒈二、八、十六进制转换为十进制 (10101.11)2＝1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2 ＝(21.75)10 (123.4)8＝1×82＋2×81＋3×80＋4×8－1＝64＋16＋3＋0.5 ＝(83.5)10 (ABC.4)16＝10×162＋11×161＋12×160＋4×16－1＝2560＋176＋12＋0.25 ＝(2748.25)10

⒉十进制转换为二、八、十六进制 • 将一个十进制数转换为二、八、十六进制数时，其整数部分和小数部分所遵循的转换规则不同。 • 其整数部分的转换规则用的是除R取余法，且先余为低，后余为高；而小数部分的转换规则用的是乘R取整法，且先整为高，后整为低。

⑴将十进制数转换为二进制数 例如(8.5678)10： ①用“除2取余”的方法先求整数部分“8”的二进制数； ②用“乘2取整法”的方法求小数部分“.5678”的二进制数； ③将整数部分与小数部分合并。

(2)将十进制数转换为八进制数 ①用“除8取余”的方法先求整数部分“83”的八进制数； ②用“乘8取整法”的方法求小数部分的八进制数； ③将整数部分与小数部分合并。

⑶将十进制数转换为十六进制数 ①用“除16取余”的方法先求整数部分的十六进制数； ②用“乘16取整法”的方法求小数部分的十六进制数； ③将整数部分与小数部分合并，得到结果。

3.转换中的精度误差 当在不同数制间进行转换时，其中二、八、十六进制数转换为十进制数或十进制整数转换为其他数制的整数时，都能做到完全准确。但把十进制小数转换为其他数制时，除少数没有误差外，大多存在误差。例如，求(0.5678)10的二进制数。从本例可以看出，在第六步之后还有余数。有时这一转换是无限的，也就是说无论将转换计算到多少位，总不能避免转换误差。只是小数后位数越长误差越小精度越高而已。

4.二进制数与8、16进制数间的转换 从前面的不同数制转换中可以看出，十进制与二进制之间的转换比较简便，但十进制与八、十六进制数间的转换相对比较麻烦。而8和16都是2的整数乘幂，即8＝23，16＝24，所以每位八进制数可用3位二进制数表示，每位十六进制数可用4位二进制数表示。

二进制转换为8进制(或16进制)的原则 • ⑴以小数点为中心，分别向前、向后每3位(或4位)一组，不足3位(或4位)则以“0”补齐(整数部分在前面补零，小数部分在后面补零)； • ⑵将每个分组用一位对应的八进制(或十六进制)数码代替，得出的结果即为所求的八进制(十六进制)数。例如， (101010.010101)2＝101 010.010 101＝(52.25)8 (101010.010101)2＝0010 1010.0101 0100＝(2A.54)16

8进制(或16进制)转换为2进制的原则 • 把每一位八进制(或十六进制)的数码展开为3位(或4位)二进制数码，然后，去掉整数首部和小数尾部的“0”，即得出所求的二进制数。 • 例如： (52.25)8＝101 010.010 101 ＝(101011.111001)2 (52.25)16＝0101 0010.0010 0101 ＝(1010010.00100101)2

2.2计算机采用二进制的优越性 • 计算机内的数据是以二进制数表示的。 • 数据可分为数值数据和非数值数据两大类，其中非数值数据又可分为数字符、字母、符号等文本型数据和图形、图像、声音等非文本数据。 • 在计算机中，所有类型的数据都被转换为二进制代码形式加以存储和处理。待数据处理完毕后，再将二进制代码转换成数据的原有形式输出。

2.2.1计算机内信息的二进制表示 • 计算机内用于存储数据的逻辑部件有两种状态，即高电位和低电位两种状态。这两种状态与二进制数制系统的“1”和“0”相对应。 • 在计算机中，如果一种电位状态表示一个信息单元，那么1位二进制数可以表示两个信息状态。若使用2位二进制数，则可以表示4个信息状态；使用3位二进制数，可以表示8个信息状态。可以看出，二进制数的位数和可以表示的信息状态之间存在着幂次数的关系。也就是说，当用n位二进制数时，可表示的不同信息状态个数为2n个。 • 计算机在存储数据时，常常把8位二进制数看作一个存储单元，或称为一个字节。用2n来计算存储容量，把210(即1024)个存储单元称为1KB；把210K(即1024K)个存储单元称为1MB；把210M(即1024M)个存储单元称为1GB；把210G(即1024G)个存储单元称为1TB。

2.2.2 采用二进制的优越性 • ⑴容易表示 • ⑵节约设备 • ⑶运算简单 • ⑷运行可靠 • ⑸逻辑运算方便

2.3 数据表示 • 计算机应用领域中需要表示的信息有数字、字符、图像、视频和音频等。 • 计算机专家设计了各种方法来对信息进行编码和存储。 • 在计算机里，不同编码方式的文件格式不同，如存储字处理文档、图形数据或音频数据等的文件格式各不相同。

2.3.1 数值数据的表示 • 计算机采用二进制格式来存储数值型数据。在计算机中表示一个数值型数据，需要解决3个问题:确定数的长度、数有正负之分和小数点的表示 • 在计算机中表示数值型数据，小数点的位置总是隐含的，以便节省存储空间。 • 隐含的小数点位置可以是固定的，也可以是可变的。前者称为定点数，后者称为浮点数。

1.定点数表示方法 • 在定点数中，小数点的位置一旦约定，就不再改变。 • 目前常用的有两种：定点整数，即小数点位置约定在最低数值位的后面，用于表示整数。定点小数，即小数点位置约定在最高数值位的前面，用于表示小于1的纯小数。

若两个字节长度用来表示定点小数，则最低位的权值为2－15(在10－4-10－5之间)，即至多准确到小数点后的第四至第五位(按十进制计算)。这样的范围和精度，即使在一般应用中也难以满足需要。若两个字节长度用来表示定点小数，则最低位的权值为2－15(在10－4-10－5之间)，即至多准确到小数点后的第四至第五位(按十进制计算)。这样的范围和精度，即使在一般应用中也难以满足需要。 • 如果把定点整数的长度扩充为4个字节，则整数表示范围可从±32,767扩大到±2,147,483,647≈0.21×1010，即21亿多。但每个数占用的存储空间也增加了一倍。

2.浮点数表示方法 • 浮点数表示方法来源于数学中的指数表示形式： N＝M×RC • 例如，十进制数193可以写作0.193×103；类似地，二进制数11000001可以写作0.11000001×28等。 • 由此可见，每个浮点数包括两部分，即尾数和阶码。 • 浮点数的尾数为小于1的小数，表示方法与定点小数相似，其长度将影响数的精度，其符号将决定数的符号。

浮点数的阶码相当于数学中的指数，其大小将决定数的表示范围。浮点数的阶码相当于数学中的指数，其大小将决定数的表示范围。 • 假定一个浮点数用4个字节来表示，其中尾数占3个字节，阶码占1个字节，且每一部分的第一位用于表示该部分的符号，则浮点数的精度可达到小数点后的第七位(2－23≈10－7)；数的表示范围可达到1038(≈2127)，远远大于4字节定点整数的表示范围(0.21×1010)。 • 定点和浮点表示都是用数据的第一位表示数的符号，用其后的各位表示数(包括尾数与阶码)的绝对值。这种方法简明易懂，称为“原码”编码方式。但因运算器既要能做加法，又要能做减法，操作数中既有正数，又有负数，所以原码运算时常伴随许多判断。例如两数相加，若符号不同，实际要做减法；两数相减，若符号相异，实际要做加法等。其结果是，第一将增加运算器的复杂性，第二会增加运算的时间。 • 为了克服上述缺点，人们又提出了“补码”、“反码”等编码方法。补码运算的主要优点是通过对负数的适当处理，把减法转化为加法。不论求和求差，也不论操作数为正为负，运算时一律只做加法，从而大大简化加减运算。所以对算术运算的完整讨论不仅应包括数值，还应该包括码制(原、反、补码等)。

2.3.2西文字符数据的表示 • 在计算机数据中，字符型数据占有很大比重。字符编码是指用一系列的二进制数来表示非数值型数据(如字符、标点符号等)的方法，也简称为编码。 • 在计算机最初发展的20世纪40年代，出现了好几种字符编码。当今，使用最广泛的3种编码方式是ASCII、ANSI和EBCDIC码，第四种编码方式Unicode正在发展中。

⒈ ASCII码 ASCII(美国信息交换标准码)是使用最广的。使用ASCII码编码的文件称为ASCII文件。标准的ASCII编码使用7个二进制数来表示128个字符，包括英文大小写字母、标点符号、数字和特殊控制符，如下表所示。

⒉ANSI码 • ANSI(美国国家标准协会)编码使用8位二进制数来表示每个字符。8个二进制数能表示256个信息单元，因此该编码可以对256个字符、符号等进行编码。 • ANSI开始的128个字符的编码和ASCII定义的一样，只是在最高位上加个0。 • 例如，在ASCII编码中，字符“A”表示为1000001，而在ANSI编码中，则用01000001表示。除了表示ASCII编码中的128个字符外，ANSI编码还有128个符号可以表示，如版权符、英镑符、外国语言字符等。

⒊EBCDIC码 • EBCDIC(扩展二、十进制交换码)是IBM公司为它的大型机开发的8位字符编码。 • 值得注意的是，在EBCDIC编码开始的128个字符中，EBCDIC的编码和ASCII或ANSI的编码并不相同。 • 总的来说，标准的ASCII编码定义的128个字符，对于表示数字、字符、标点符号和特殊字符来说是足够了。 • ANSI编码表示了所有的ASCII编码所表示的128个字符，并且还表示了欧洲语言中的字符。 • EBCDIC编码表示了标准的字符和控制代码。但是，没有一种编码方案支持可选的字符集，也不支持非字母组合起来的语言，如汉语、日语等。

⒋Unicode编码 • Unicode编码是一组16位编码，可以表示超过65,000个不同的信息单元。 • 从原理上讲，Unicode可以表示现在正在使用的、或者已经不再使用的任何语言中的字符。 • 对于国际商业和通信来说，这种编码方式是非常有用的，因为在一个文件中可能需要包含有汉语、日语、英语等不同的语种。并且，Unicode编码还适用于软件的本地化，即可以针对特定的国家修改软件。 • 另外，使用Unicode编码，软件开发人员可以修改屏幕的提示、菜单和错误信息提示等，来适用于不同国家的语言文字。

2.3.3中文字符数据的表示 • 英文为拼音文字，所有的字均由52个英文大小写字母拼组而成，加上数字及其它标点符号，常用的字符仅95种，故7位二进制数编码已经够用了。 • 而汉字就不同了，汉字是象形文字，每个汉字字符都有自己的形状。所以，每个汉字在计算机中都有一个二进制代码。 • 除此之外，为了利用计算机系统中现有的西文键盘来输入汉字，还要对每个汉字编一个西文键盘输入码(简称输入码)。 • 为了完成汉字的显示或打印，针对每个汉字还要编制一个“汉字字形编码”。

⒈汉字输入码 • 汉字输入码一般是用键盘上的字母和数字描述。 • 在众多的汉字输入码中，按照其编码规则主要分为形码、音码与混合码等三类。 • ⑴形码形码也称义码，它是一类按照汉字的字形或字义进行编码的方法。常用的形码有五笔字型、郑码、表形码等。 • ⑵音码音码是一类按照汉字的读音(即汉语拼音)进行编码的方法。常用的音码有全拼拼音、全拼双音、双拼双音等。 • ⑶混合码这是一类将汉字的字形(或字义)和字音相结合的编码，也称为音形码或结合码。常用的有自然码等。 • 由于汉字编码方法的不同，一个汉字可以有许多不同的输入码。

⒉汉字交换码 • 计算机各系统之间交换信息时，也要交换汉字信息。由于各计算机系统所使用的机内码还未形成一个统一的标准，因此，如果使用汉字的机内码交换汉字信息，就有可能使各计算机系统之间不认识对方的汉字的机内码，从而使信息交换失败。 • 为了便于各计算机系统之间准确无误地交换汉字信息，必须规定一种专门用于汉字信息交换的统一编码，这种编码称为汉字的交换码。 • 1981年，我国颁布了《信息交换用汉字编码字符集·基本集》(代号GB2312—80)，又称“国标码”。它共包含6763个常用汉字(其中一级汉字3755个，二级汉字3008个)，以及英、俄、日文字母及其符号共687个。

⒊汉字机内码 • 国标码从理论上说可以作为汉字的机内编码，但为了避免与英文字符的编码相混淆(因为可能会误把一个汉字编码视为两个西文字符的编码)，故需对国标码稍加修改才能作为汉字的机内编码。 • ASCII码的机内码的最高位为“０”，为与之相区别，将国标码的两个字节的最高位均改为“1”，这样就得到了汉字字符的机内编码(简称机内码)。 • 输入英文字符时，想输入什么字符便按什么键，输入码与机内码总是一致的。汉字输入则不同，如要输入“大”字时，键盘并没有“大”字这个键。 • 如果采用“拼音输入法”，则需依次按下“d”和“a”两键，那么在拼音输入法中，“da”即为“大”字的输入编码。 • 汉字的输入编码方法有很多，最常见的有音码(如“全拼”、“简拼”等)、形码(如“五笔字型”)与音形码(如“自然码”)等。无论采用哪种汉字输入码，当用户输入汉字时，存入计算机中的总是汉字的机内码，与所采用的输入法无关。

⒋汉字字形码 • 显示/打印汉字时要用到汉字字形编码。字形编码即汉字字型的二进制数编码。 • 下图描述了 “中”字的16×16点阵字形。

当一个汉字需显示或打印输出时，需将汉字的机内码转换成字形编码，它们之间也是一一对应的关系。当一个汉字需显示或打印输出时，需将汉字的机内码转换成字形编码，它们之间也是一一对应的关系。 • 所有汉字的点阵字形编码的集合称为“汉字库”。不同的字体(如宋体、仿宋、楷体、黑体等)对应着不同的字库。 • 在计算机内，汉字字形描述方法除点阵字形外，还有矢量表示方式即轮廓字形。 • 轮廓字形是把汉字、字母、符号中的笔画的轮廓用一组直线和曲线来勾画，记下每一直线和曲线的数学描述公式。其优点是占用存储区小、缩放不变形、不失真。轮廓字形也称为全真字体(True Type)。

⒌汉字地址码 • 每个汉字字形码在汉字字库中的相对位移地址称为汉字地址码。需要向输出设备输出汉字时，必须通过地址码，才能在汉字库中取到所需的字形码，最终在输出设备上形成可见的汉字字形。 • 地址码和机内码具有简明的对应转换关系。 • 随着多媒体技术与信息处理技术的不断发展，目前已出现了汉字语音输入方式和汉字手写输入方式，以及汉字印刷体自动识别输入方式，其正确输入率正在逐步提高，其应用前景越来越好。 • 但无论是采用什么输入方式，最终存储在计算机中的还是汉字机内码；当汉字需输出时，仍是采用的汉字字形码。

⒍其他汉字编码 除了GB2312—80编码外，目前常用的有：UCS码、Unicode码、GBK码和BIG5码等。 • ①UCS码 • ②Unicode码 • ③GBK码 • ④GB18030—2000码 • ⑤BIG5码

2.3.4图像数据的表示 • 在计算机系统中，有两种不同的图形编码方式，即位图编码和矢量编码方式。 • 两种编码方式的不同，影响到图像的质量、存储图像的空间大小、图像传送的时间和修改图像的难易程度。

1.位图图像 • 位图图像是以屏幕上的像素点位置来存储图像的。 • 最简单的位图图像是单色图像。单色图像只有黑白两种颜色。在计算机中用0来表示黑色；如果对应的是，则在计算机中用1来表示白色。 • 对于单色图像，用来表示满屏图像的图像单元数正好与屏幕的像素数相等。如果将屏幕的水平分辨率与垂直分辨率相乘： 640×480＝307,200 则屏幕的像素数为307,200个，因为单色图像使用一位二进制数来表示一个像素，所以存储一幅满屏的位图图像的字节数也就能计算出来： 307,200÷8＝38,400 因此，分辨率为640×480的满屏单色图像需要38,400个字节来存储，这个存储空间不算大。但是单色图像看起来不太真实，很少使用。 • 灰度图像要比单色图像看起来更真实些。灰度图像用灰色按比例显示图像，使用的灰度级越多，图像看起来越真实。 • 通常计算机用256级灰度来显示图像。在256级灰度图像中，每个像素可以是白色、黑色或灰度中254级中的任何一个，也就是说，每个像素有256种信息表示的可能性。所以在灰度图像中，存储一个像素的图像需要256个信息单元，即需要一个字节的存储空间。因此，一幅分辨率为640×480、满屏的灰度图像需要307,200个字节的存储空间。

计算机可以使用16、256或1,670万种颜色来显示彩色图像。计算机可以使用16、256或1,670万种颜色来显示彩色图像。 • 在16色的图像中，每个像素可以有16种颜色。为了表示16个不同的信息单元，每个像素需要4位二进制数来存储信息。因此，一幅满屏的16色位图图像需要的存储容量为153,600个字节。 • 在256色的位图图像中，每个像素可以有256种颜色。为了表示256个不同的信息单元，每个像素需要8位二进制数来存储信息，即一个字节。因此，一幅满屏的256色位图图像需要的存储容量为307,200个字节，是16色的两倍，与256级灰度图像相同。 • 1670万色的位图图像称为24位图像或真彩色图像。其每个像素可以有1670万种颜色。为了表示这1670万种不同的信息单元，每个像素需要24位二进制数来存储信息，即3个字节。显然，一幅满屏的真彩色图像需要的存储容量更大。 • 从上面对位图图像的分析可知，包含图像的文件都很大。这样大的文件需要很大容量的存储器来存储，并且传输和下载的时间也很长。例如，从因特网上下载一幅分辨率为640×480的256色图像至少需要1分钟；一幅16色的图像需要一半的时间；而一幅真彩色图像则会需要更多的时间。

减少图像的存储空间和传输时间的技术 • 数据压缩技术 • 图像抖动技术 • 数据压缩技术将在后续内容中介绍。 • 图像抖动技术主要是采用减少图像中的颜色数来减小文件存储容量的。 • 抖动技术是根据人眼对颜色和阴影的分辨率，通过由两个或多个颜色组成的模式产生附加的颜色和阴影来实现。 • 例如，256色图像上的一片琥珀色区域，可以通过抖动技术转换为16色图像上的黄红色小点模式。在因特网的Web页面上，抖动技术是用来减少图像存储容量的常用技术。

位图图像常用来表现现实图像，其适合于表现比较细致、层次和色彩比较丰富、包含大量细节的图像。例如扫描的图像，摄像机、数字照相机拍摄的图像，或帧捕捉设备获得的数字化帧画面。经常使用的位图图像文件扩展名有bmp、pcx、tif、jpg和gif等。位图图像常用来表现现实图像，其适合于表现比较细致、层次和色彩比较丰富、包含大量细节的图像。例如扫描的图像，摄像机、数字照相机拍摄的图像，或帧捕捉设备获得的数字化帧画面。经常使用的位图图像文件扩展名有bmp、pcx、tif、jpg和gif等。 • 由像素矩阵组成的位图图像可以修改或编辑单个像素，即可以使用位图软件(也称照片编辑软件或绘画软件)来修改位图文件。 • 可用来修改或编辑位图图像的软件： • Microsoft Paint • PC Paintbrush • Adobe Photoshop • Micrografx Picture Publisher等 • 这些软件能够将图片的局部区域放大，而后进行修改。

2.矢量图像 • 矢量图像是由一组存储在计算机中，描述点、线、面等大小形状及其位置、维数的指令组成，而不是真正的图像。它是通过读取这些指令并将其转换为屏幕上所显示的形状和颜色的方式来显示图像的，矢量图像看起来没有位图图像真实。 • 矢量图像的主要优点： • 它的存储空间比位图图像小 • 矢量图像还可以分别控制处理图中的各个部分 • 矢量图像的主要缺点： • 处理起来比较复杂。

位图图像和矢量图像的比较 • 显示位图图像要比显示失量图像快； • 位图图像所要求的存储空间大，因为它要指明屏幕上每一个像素的信息； • 矢量图像的关键技术是图形的制作和再现； • 位图图像的关键技术则是图像的扫描、编辑、无失真压缩、快速解压和色彩一致性再现等。

2.3.5视频数据的表示 • 视频是图像数据的一种，由若干有联系的图像数据连续播放而形成。人们一般讲的视频信号为电视信号，它是模拟量；而计算机视频信号则是数字量。 • 视频信息实际上是由许多幅单个画面所构成的。电影、电视通过快速播放每帧画面，再加上人眼的视觉滞留效应便产生了连续运动的效果。 • 视频信号的数字化是指在一定时间内以一定的速度对单帧视频信号进行捕获、处理以生成数字信息的过程。

数字视频的优点 • (1)数字视频可以无失真地进行无限次复制，而模拟视频信息每转录一次，就会有一次误差积累，产生信息失真。 • (2)可以用许多新方法对数字视频进行创造性的编辑，如字幕电视特技等。 • (3)使用数字视频可以用较少的时间和费用创作出用于培训教育的交互节目，可以真正实现将视频融进计算机系统中，以及可以实现用计算机播放电影节目等。

数字视频也存在数据量大的问题。因为数字视频是由一系列的帧组成，每个帧是一幅静止的图像，并且图像也使用位图文件形式表示。通常，视频每秒钟需要显示30帧，所以数字视频需要巨大的存储容量。数字视频也存在数据量大的问题。因为数字视频是由一系列的帧组成，每个帧是一幅静止的图像，并且图像也使用位图文件形式表示。通常，视频每秒钟需要显示30帧，所以数字视频需要巨大的存储容量。 • 一幅全屏的、分辨率为640×480的256色图像需要有307,200字节的存储容量。那么一秒钟数字视频需要的存储空间是30×307,200，即9,216,000个字节，约为9M。两小时的电影需要66,355,200,000个字节，超过66GB。所以，在存储和传输数字视频过程中必须使用压缩编码。

第 2 章 数据的表示和运算