第六章一阶电路

第六章一阶电路

本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路，主要是RC电路和RL电路，介绍一阶电路的经典法，以及一阶电路的时间常数的概念。还介绍零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念。本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路，主要是RC电路和RL电路，介绍一阶电路的经典法，以及一阶电路的时间常数的概念。还介绍零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念。内容提要

6-1 动态电路的方程及其初始条件 6-2 一阶电路的零输入响应 6-3 一阶电路的零状态响应 6-4 一阶电路的全响应 6-5 一阶电路的阶跃响应 6-6 一阶电路的冲激响应

重点 1．电路的微分方程及求解 2．三要素方法 3. 阶跃响应、冲激响应 • 难点 1. 解微分方程 2. 阶跃响应、冲激响应

6-1 动态电路的方程及其初始条件

微分方程 线性前提一、二阶电路一阶标准电路一、动态电路及方程 1、动态元件∶ 储能元件 C、L元件 2、动态电路∶ 含动态元件的电路。 3、描述方程∶ 如果电路仅含一个动态元件，则可以把该动态元件以外的电阻电路用戴维宁电路或诺顿电路置换，从而把它变换为RC电路或及RL电路。这种电路称为一阶动态标准电路。

4、求解动态电路的基本步骤 1)分析电路情况，得出待求电量的初始值； 2)根据克希霍夫定律列写电路方程； 3)解微分方程，得出待求量。

过渡过程 外因换路内因能量不能跃变 C充电实例二、动态电路的重要特征-----过渡过程 • 在实际情况下，状态的转变往往不是突变的，而需要一个过程——即过渡过程。电路中也有过渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件的存在，则在电源接通后电容通过充电而升高电压，这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作用而使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。 1、定义∶ 动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时(例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号突然注入等)，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。 2、原因∶ 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为“换路”

t = 0 换路: t = 0 换路∶t = t0 t = t0- t = t0+ 3、换路讨论∶ 换路初瞬∶ t = 0- 换路未瞬∶ t = 0+ 换路直接关系动态电路的计算∶ 微分方程的初始条件三、电路的初始条件 1、换路定律∶

说明∶

具体做法是：t＝0+时的电容电压和电感电流分别以电压源和电流源来替代，此电压源的电压和电流源的电流分别等于电容电压和电感电 流在t＝0+时的值。对于电路中的独立电源，则取其t＝0+时的值。这样就获得了一个计算电路，有时称为0+等效电路，可以用来计算非独立初始条件。求∶ 2、初值计算∶ 0-等效电路如电路已达稳态，则有电容开路、电感短路。 0+等效电路

解：换路前--- 已知：，，求：0+值例题1

换路后---

例题2

6-2 一阶电路的零输入响应

概念综述∶ 1．零状态——初始时各个电容电压与电感电流均为零，称这种电路状态为“零状态”，又称为“零原始状态”。 2．零状态响应——电路在零状态情况下，仅由电路的输入激励产生的响应。 3．零输入响应——电路在无输入激励情况下，仅由原始状态产生的响应。 4. 全响应——当一个非零原始状态的电路在输入激励的情况下产生的响应。一阶电路中仅有一个储能元件(电感或电容)，如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压、电流。这是因为储能元件所储存的能量要通过电路中的电阻以热能的形式放出。由于在这种情况下电路中并无外电源输入，因而电路中所引起的电压或电流就称为电路的零输入响应。我们先来讨论RC电路的零输入响应

初始∶ 分析情况一、RC电路的零输入响应如图所示, 1、方程与响应方程说明∶

一阶微分方程的求解简介 (1)一阶微分方程的解的分析其解为：原方程对应的齐次方程的通解非齐次方程的一个特解

(2) 的求解 解出齐次方程的特征方程特征根p

(3) 的求解 输入函数的形式特解的形式假设代入代定系数法常数Q 原微分方程求出

将初始条件：代入 (4)一阶微分方程的解的求取确定常数K 非齐次方程的解

通解： 方程求解特征方程：求常数∶ 得解∶

RC电路的零输入响应曲线

2、波形的进一步讨论--- 的意义 (1)定义时间常数 ∶ 表明，零输入响应在任一时刻 t0的值，经过一个时间常数后，衰减了63．2%，即成为其原值的36．8%。工程上—般认为，换路后时间经3 ---5 后，放电过程便基本上结束，此时电容电压已衰减0.05uc(0+) --- 0. 007uc(0+)。不过，从理论上讲，只有经过t＝时间，电路中各变量才衰减到零。 (2) 分析∶ 时间常数是体现一阶电路特性的参数，它只与电路的参数有关，而与激励无关。 (工程上认为过渡过程结束)

时间常数决定衰减速率 衰减速率:

次切距

S i3 R2 t=0 + + C uC R3 R1 US 24V - - 例已知S闭合前电路已处于稳定状态，R1=R2=50Ω，R3=100Ω，C=0.02F。试求在t=0时，S断开后的uC（t）和i3（t）解：先求uC（0+）

i3 R2 uC i + C uC R3 R1 t - 0

二、RL电路的零输入响应 如图所示∶ 初始∶t = 0 方程∶ 时间常数解∶

RL电路 RC电路响应∶ 波形∶ 与RC电路比较∶

2．对于含电容的一阶电路，； 对于含电感的一阶电路， 3．越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。综述∶ 以RC电路为例 1．时间常数是体现一阶电路特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。 4．一阶电路方程的特征根为时间常数的倒数; 它具有频率的量纲，称为“固有频率”

6-3 一阶电路的零状态响应

条件∶ ; t=0 , S闭合 问题∶ 分析，电路的响应？ 1、RC串联电路主要讨论∶直流输入下零状态响应方程∶ 非齐次方程的一个特解求解∶ 齐次方程的通解

显然∶ 齐次方程的通解：非齐次方程的特解：

方程的解： 由初始值：故∶ 同时∶

RC电路的零状态响应曲线 能量状况∶ 充电效率为50%

条件∶ ; t=0 , S闭合 问题∶ 分析，电路的响应？ 2、RL串联电路主要讨论∶正弦输入下零状态响应方程∶ 齐次方程的通解求解∶ 非齐次方程的一个特解

齐次方程的通解： 非齐次方程的特解：

待定系数法确定和 : R 引入如图三角形关系

方程的通解为∶ 代入初始条件∶ 于是∶ 可见∶当激励为非直流时，即或对简单的一阶电路，解都是困难的。

6-4 一阶电路的全响应

前面，我们已经研究了一阶电路的零输入响应、零状态响应问题。现在，我们将研究其全响应问题。前面，我们已经研究了一阶电路的零输入响应、零状态响应问题。现在，我们将研究其全响应问题。当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。主要研究一阶直流电路的全响应问题

条件∶ ; t=0 , S 闭合 问题∶ 分析，电路的响应？一、全响应的求解和分析-----经典法以RC串联电路为例∶ 1、求解∶ 方程∶ 求解∶

显然∶ 齐次方程的通解：非齐次方程的特解：

同时∶ 方程的解：由初始值：故∶

响应曲线

零输入响应 2、响应分解∶ 零状态响应全响应 =零输入响应 + 零状态响应稳态分量瞬态分量全响应 =稳态分量+ 瞬态分量全响应 = 强制分量 + 自由分量

----为电路中的任一待求电压或电流； ----为相应待求量的初始值（0+时的值）； ----为相应待求量的稳态值； ----为时间常数。二、全响应的另一种解法 ---- 三要素法 1、条件∶ 一阶、直流输入 2、结论∶ 设 f(t)为电路中任一响应

值----稳态值(C开路、L短路) 3、说明∶ 以RC串联电路为例注意∶

0-等效电路 0+等效电路等效电路 4、三要素法的计算步骤 1）计算初始值 2）计算稳态值用断路代替电容，用短路代替电感。 3）计算时间常数戴维南电路入端电阻

第六章 一阶电路