广义逆矩阵设 AX = B, 如果 A 是可逆方阵，则 X = A -1 B

广义逆矩阵 设AX=B,如果A是可逆方阵，则X=A-1B 如果A是m×n矩阵，B是m×1矩阵，是否存在n×m矩阵G，使得X=GB？

1920年摩勒（E.N.Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们的重视，到了1950年后，由于电子计算机的出现，推动了计算科学的发展，广义逆矩阵才引起了普遍的关注，从而得到迅速发展，现在它已成为代数课程的基本内容之一。我们这里只能介绍它的基本概念及简单性质，从而也能略微了解到科技界很乐意使用这一工具的原因。

现在观察这样的G有何性质 因为若AX=B有解 (X =GB) ，即有某个n维列向量X0，使AX0=B。若对任意X0有AX0=B，则有AX0=A(GB）=AG(AX0）=AGAX0=B=AX0于是有AGA=A；反之，设对某个n×m阵G：AGA=A，则对任意X0，有AGAX0=AX0，既是A（GB）=B。所以有 Lemma：设A为m×n 矩阵,某个n×m矩阵G,对任意n维列向量X0及B=AX0,满足AGB=B的充分必要条件是AGA=A

Def.:(广义逆矩阵)A为m×n矩阵，如果存在n×m矩阵G，满足AGA=A，则称G为A的一个广义逆矩阵(Generalized inverse matrix)。记为A- Coro.：G是A的一个广义逆，则AX=B有当且仅当AGB=B。 *当A是可逆方阵，由AGA=A，立即推出G=A-1，这时广义逆矩阵就是逆矩阵。

我们讨论两个问题： 1）对任意m×n矩阵A，它的广义逆矩阵的存在性，若存在如何求其全部广义逆阵。 2）如果AX=B有解，G是广义逆矩阵，则GB是解。反过来，对它的任意解X0，是否能写成X0=GB（G是A的某个广义逆）。

Th.1：设m×n 矩阵A的秩为r，且设 这里P，Q分别为m×m，和n×n可逆矩阵，则A的全部广义逆为这里Cr×(m-r)，D(n-r)×r，F(m-r)×(n-r)为任意矩阵。 *由此可知矩阵的广义逆存在不唯一

Pro.： =A, ，设G满足AGA=A，且设于是 = 就等价于 = = ，即，故。

Ex.1设 A=，B=，D= 计算ABA和ADA 易知B、D均是A的广义逆矩阵。广义逆矩阵存在但不唯一。

Th.2：设AX=B有解，且B≠0，则它的解的一般形式为GB，其中G为A的任意一个广义逆。

Th.3：设A为m×n矩阵，G为任意给定的广义逆，则齐次线性方程组AX=0的全部解为（En-GA）Z，这里Z取遍任意n维列向量。Th.3：设A为m×n矩阵，G为任意给定的广义逆，则齐次线性方程组AX=0的全部解为（En-GA）Z，这里Z取遍任意n维列向量。 Coro.：设G是A的一个广义逆，AX=B有解，则其全部解为 GB+（En-GA）Z

一般地，AMn(P),(A-1)-1=A 看上例：A=取A-= 但A-AA-=A- 即(A-)-A。A与A-能互为广义逆时称A为自反广义逆，在自反广义逆中，还有一类更特殊的也更重要的广义逆，即为伪广义逆矩阵，它不仅在应用上特别重要，而且有许多有趣性质。我们受限于学时,只能介绍它的概念，其他有关性质参看参考文献。

Def.:（Moore-Penrose广义逆）A是复m×n矩阵，如果存在n×m矩阵G，满足（1）AGA=A;（2）GAG=G;Def.:（Moore-Penrose广义逆）A是复m×n矩阵，如果存在n×m矩阵G，满足（1）AGA=A;（2）GAG=G; （3）（4）则称G为A的Moore-Penrose广义逆。记为A+. 结论：对任意矩阵A,它的Moore-Penrose广义逆A+永远存在,且唯一.求A+ 有一些方法,此略The end

广 义 逆 矩 阵 设 AX = B, 如果 A 是可逆方阵，则 X = A -1 B