Ψηφιακη διαμορφωση

1. Ψηφιακη διαμορφωση

2. Χονδρικο διαγραμμα Τηλ/κου Συστηματος

3. Γενικη μορφη διαμορφωμενου σηματος

4. ΔιαμορφωτηςΣυνθεση με Ι και Q συνιστωσεςΜιγαδικη παρασταση του διαμορφωμενου σηματος

5. Επεξηγηση της μιγαδικης παραστασης

6. Παραδειγμα: διαμορφωση με παλμουςτου πλατους, της φασης ή της συχνοτητας

7. Η διαμορφωση-αποδιαμορφωση στο πεδιο των μιγαδικων σηματων

8. Ψηφιακη διαμορφωση PAMΟ διαμορφωτης στο πεδιο των μιγαδικων σηματων

9. Ψηφιακη διαμορφωση(με πραγματικα σηματα)

10. ASK και PSK ASK bm=1 → cm=a bm=0 → cm=b OOK cm = bm g(t)=rectangular BPSK cm =exp[jπbm ]= =cos(jπbm)+jsin(jπbm) s(t)=cos[2πfct+πbm]= = cos[2πfct]

11. Το φασμα ενός παλμικα διαμορφωμενου φεροντοςΣχεση φασματος – μορφης παλμου

12. Το φασμα ενός παλμικα διαμορφωμενου φεροντος

13. Παραδειγματα βασικων παλμων και των φασματων τους για ΡΑΜ Για τον περιορισμο του φασματος επιδιωκεται η χρηση βασικου παλμου με την μεγιστη δυνατη διαρκεια

14. Τεχνικες Nyquist ISI=Intersymbol interference

15. Εξαλειψη ISI με παλμο μορφης sinc()

16. Κριτηρια του Nyquist για μηδενικη ISI • Οι επικαλυπτομενοι παλμοι δεν θα δημιουργησουν προβλημα στην ορθη εκτιμηση ενος δυαδικου συμβολου αν εχουν μηδενικη τιμη την στιγμη που κανουμε δειγματοληψια του λαμβανομενου σηματος. • Με μαθηματικους ορους, θελουμε ο παλμος να ικανοποιει την σχεση οπου k ειναι ακεραιος και Τ η αποσταση μεταξυ συμβολων (=1/R) • Ικανη και αναγκαια συνθηκη για να ισχυει η πιο πανω σχεση ειναι η:

17. Συνεπειες των κριτηριων Nyquist για παλμους με φασμα αυστηρα περιορισμενο • Ο παλμος εχει φασμα Χ(f) με αυστηρα περιορισμενο ΒW. • Αν BW < (1/2T) δεν υπαρχει παλμος που να ικανοποιει το κριτηριο διοτι... R>2BW • Αν BW=1/2T, τοτεμονο ο παλμος με φασμα {X(f)=σταθεραγια |f|<BW, και X(f)=0,αλλου}ικανοποιει την σχεση, διοτι... R = 2BW Δηλαδη ο παλμος που επιτρεπει μεταδοση συμβολων με ρυθμο 1/Τ χωρις ISI και εχει ελαχιστο ευρος φασματος ειναι οx(t) = sinc(t/T) .Ο παλμος αυτος ειναι μηπραγματοποιησιμος (διοτι εχει μη μηδε-νικη τιμη για t<0) αλλα τον προσεγγιζουμε με μια καθυστερημενη εκδοχη του, δηλ την sinc[(t-τ)/T],οπου η καθυστερηση τ επιλεγεται ετσι ωστε για t<0 να εχουμε sinc[(t-τ)/T]  0. X(f) ΣΧ(f+m/T) ... ... -1/Τ -BW BW 1/T f ΣΧ(f+m/T) ... ... -1/Τ -BW 0 BW 1/T f

18. Συνεπειες των κριτηριων Nyquist για παλμους με φασμα αυστηρα περιορισμενο (2) 3. Αν BW > (1/2T) υπαρχουν οικογενειες παλμων που ικανοποιουν το κριτηριο, διοτι... R < 2BW Παραδειγμα παλμων που ικανοποιουν τα κριτηρια του Nyquist ειναι η οικογενεια παλμων υπερυψωμενου συνημιτονουμε φασμα οπως στο σχημα. Για fΔ = 0 εχουμε την προηγουμενη περιπτωση oπου BW=1/2T. ΣΧ(f+m/T) ... ... -1/Τ -BW 0 BW 1/T f 1/2T X(f) |Χ(f)| f0 = 1/2T= =R/2 BW

19. Οικογενεια παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου • Περιγραφη στο πεδιο συχνοτητων: • οπου BW ειναι το απολυτο ευρος φασματος του παλμου • f0 = 1/2T, f1 = f0 – fΔ,fΔ = BW – f0, • οr = fΔ/f0ειναι ο roll-off factor (συντελεστης αναδιπλωσης) • r = fΔ/f0 • f0 =1/2T = R/2 • BW=f0+fΔ=f0(1+r) r=0 r=0.5 r=1 f0

20. Συναρτηση μεταφορας του παλμου υπερυψωμενου συνημιτονου r=0 r=0.5 r=1 • r = fΔ/f0 • f0 =1/2T=R/2 • BW=f0+fΔ=f0(1+r) = =(R/2)(1+r) fs

21. Ευρος φασματος παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου • Για το PCM συστημα με ρυθμο παραγωγης δυαδικων συμβολων R= 1/T, εχουμε: • BW = [(1+r)/2]· R Hz • r = "rolloff factor", 0  r  1, • Ειδικες περιπτωσεις: • r = 0, ειναι απλα ο παλμοςsinc(.) • r = 1, ειναι η μεγιστη δυνατη τιμη της παραμετρου r και το φασμα παιρνει την μορφη υπερυψωμενου συνημιτονου • r = 0.35, ειναι η τιμη που χρησιμοποιειται στα Βορειο-Αμερικανικα ψηφιακα συστηματα κινητης τηλεφωνιας NA-TDMA και CDMA (προτυπο IS-54/136) • r = fΔ/f0 • f0 =1/2T=R/2 • BW=f0+fΔ=f0(1+r)

22. Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου - Φασμα r = fΔ/f0

23. Παλμος υπερυψωμενου συνημιτονου(Raised cosine) • Περιγραφη στο πεδιο χρονου:

24. Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου α=r=rolloff factor

25. Παλμικη διαμορφωση φεροντος με πολλαπλους παλμους

26. Παλμικη διαμορφωση συχνοτητας φεροντος

27. Παλμικη διαμορφωση συχνοτητας με συνεχεια φασης (CPFSK) The basis pulses follow each other in such a way that the phase of the total signal is continuous

28. Συνηθης μορφη βασικου παλμουγια CPFSK

29. Χωρος σηματων • Το διαγραμμα στον χωροσηματων είναι ένα από τα πιο σημαντικαεργαλεια για την αναλυση των συστηματωνδιαμορφωσης. • Μας παρεχει μια γραφικηπαρασταση των χρησιμοποιουμενωνκυματομορφων η οποιαεπιτρεπει μια εποπτικη και ενοποιημενηαντιμετωπιση των διαφορωνμεθοδωνδιαμορφωσης.

30. Συναρτησεις Βασης ενος συνολου σηματων • Εχουμε ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) {s1(t), s2(t),…,sM(t)} πληθους Μ, και εκπεμπεται μια απο αυτες καθε φορα. • Οι συναρτησεις {f1(t), f2(t),…fK(t)}, οπου Κ  Μ, αποτελουν μια πληρη ορθοκανονικη βαση για το δοθεν συνολο των σηματωναν: • Οι συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες μεταξυ τους, δηλαδη: • Οι συναρτησεις βασης ειναι κανονικοποιημενες: • και καθε σημα si(t)μπορει να γραφτει σαν γραμμικος συνδυασμος

31. Συναρτησεις Βασης και χωρος σηματων {s1(t), s2(t),…,sM(t)} s1(t) s2(t) . . . sM(t) Καθε μια απο τιςκυματομορφες si(t) μπορει να παρασταθεισαν ενα σημειο στον K-διαστατο χωρο που αποτελουν οι συναρτησεις που μπορουν να περιγραφουν απο τις συναρτησεις βασης fj(t) {f1(t), f2(t),…fK(t)} f1(t) f2(t) . . fK(t) Χωρος σηματων

32. Εφαρμογη στις ψηφιακες επικοινωνιεςΟ Διαμορφωτης • Σε ενα ψηφιακο τηλεπικοινωνιακο συστημα log2M bits πληροφοριας μεταδιδονται με μια απο τις Μ διαθεσιμες κυματομορφες ενός συνολου SM. Αν οι κυματομορφες αυτες ανηκουν σε χωρο σηματων με γνωστες συναρτησεις βασης τοτε μπορουμε να τις περιγραψουμε χρησιμοποιωντας: • Το συνολο των Κ συντελεστων του αναπτυγματος καθε συναρτησης • Την γραφικη παρασταση του Κ-διαστατου αστερισμου σηματων οπου σημειωνεται η θεση καθε σηματος στον χωρο των σηματων. • Η γραφικη παρασταση αυτη δινει πληθωρα πληροφοριων χρησιμων για την διαμορφωση και αποδιαμορφωση αυτων των σηματων • Η εξισωση-κλειδι ειναι η εξισωση συνθεσης: Διαμορφωση ειναι η διαδικασια υλοποιησης της εξισωσης αυτης

33. Εξισωση συνθεσηςΓενικη μορφη Διαμορφωτη Αλλαγη συμβολισμου φk(t)  fk(t) am,I  sm,i LUT= Look-up-table log2M – bits address συντελεστες

34. Λειτουργια του διαμορφωτη • Εν γενει, ενας διαμορφωτης με Μ σηματα Κ-διαστασεων χρειαζεται να αποθηκευσει τους K x M συντελεστες (Κ συντελεστες για καθε ενα απο τα Μ σηματα) και να παραγάγει τις Κ συναρτησεις βασης. • Οι συντελεστες αποθηκευονται σε Κ look-up tables (LUTs)που εχουν log2M γραμμες διευθυνσεων και μια εξοδο • Το δεδομενα εισοδου ομαδοποιουνται σε ομαδες των log2Mbits και καθοριζουν το εκπεμπομενο συμβολο και την κοινη διευθυνση των LUTs. • Οι εξοδοι των LUTs ειναι οι Κ συντελεστες του αναπτυγματος του επιθυμητου σηματος. • Οι Κ συντελεστες πολλαπλασιαζουν τις Κ συναρτησεις βασης και τα Κ γινομενα αθροιζομενα δινουν το επιθυμητο σημα που αντιστοιχει στο συγκεκριμένο συμβολο.

35. Ανακεφαλαιωση • Εξισωση συνθεσης (διαμορφωτης) • Εξισωση αναλυσης (αποδιαμορφωτης): • Ενεργεια σηματος:

36. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Αν δοθούν τα σήματα (BPSK): • που οριζονται στο0<t<Τb , και εχουνενεργειαΕbτοτε μια καταλληλησυναρτησηβασης είναι η: • Το συνολο των σηματωνμπορει να παρασταθει από τα ακρα των διανυσματων, που τα αντιπροσωπευουν στον διανυσματικοχωρο

37. Τα δυο προηγουμενασηματαεκφραζονταισυναρτησει της συναρτησηςβασης ως εξης: • Ας θεωρησουμε τηνf(t) σαν το μοναδιαιοδιανυσμαένοςαξονασυντεταγμενων.Τοτε το συνολομπορει να παρασταθειοπως πιο κατω • Συνηθως, παριστανονταιμονο τα ακρα των διανυσματων. Αυτό το διαγραμμαονομαζεταιsignal constellation (αστερισμοςσηματων). 0 -Eb Eb f(t) ● ● -Eb Eb f(t)

38. Διαμορφωση • Θελουμε με τα ψηφιακα δεδομενα να διαμορφωσουμε κυματομορφες που να ειναι: • Φασματικα αποδοτικες, και • Ενεργειακα οικονομικες • Η παρασταση στον χωρο σηματων ειναι μια βολικη μεθοδος θεωρησης της διαμορφωσης η οποια μας επιτρεπει • Να σχεδιαζουμε φασματικα και ενεργειακα αποδοτικους αστερισμους σηματων. • Να καθοριζουμε την μορφη του βελτιστου δεκτη για δεδομενο διαγραμμα αστερισμου. • Να αξιολογουμε τις επιδοσεις του δεδομενου τυπου διαμορφωσης

39. Αποδιαμορφωση σηματος • Εκπεμπουμε ενα σημα s(t)  {s1(t), s2(t),…,sM(t)}, οπου το s(t) ειναι μηδενικο για t [0,T]. Για παραδειγμα, εκπεμπουμε το sm(t) αν θελουμε να μεταδωσουμε το m-στο από Μ συμβολα. • Τα διαφορα σηματα εκπεμπονται με πιθανοτητα p1= Pr[s1(t)],…, pM=Pr[sM(t)] • To λαμβανομενο σημα στον δεκτη ειναι αλλοιωμένο λογω θορυβου o οποιος υποτιθεται προσθετικος r(t) = s(t) + n(t) • Δοθεντος του r(t), ο δεκτης υπολογιζει μια εκτιμηση ŝ(t) του σηματος s(t), με στοχο την ελαχιστοποιηση της πιθανοτητας σφαλματος εκτιμησης ενος συμβολου Ps=Pr[ ŝ(t)  s(t)]

40. To μοντελο του θορυβου • Το σημα υφισταται στο καναλι αλλοιωση λογω προσθετικου ΛευκουGaussian Θορυβου (Αdditive White Gaussian Noise – AWGN)n(t) • Στην πιο κατω θεωρηση υποθετουμε ότι οθορυβος n(t) εχειμεση τιμη 0, συναρτηση αυτοσυσχετισης Rnn(τ) = [N0/2]δ(τ) και πυκνοτητα φασματικης ισχυος Snn(f) = N0/2. • Καθε γραμμικη συναρτηση του n(t) ειναι επισης Gaussian στοχαστικη διαδικασια. Καναλι r(t) s(t) Σ n(t)

41. Διαμορφωση - Αποδιαμορφωση n'(t) f2(t) ◙ s2 s3 ◙ ◙ s1 [r1, r2] ◙ s4 f1(t)

42. Παρασταση στον χωρο των σηματων • Το εκπεμπομενο σημα μπορει να παρασταθει ως εξης: • Ο θορυβος μπορει να παρασταθει επισης με την βοηθεια των συναρτησεων βασης ως εξης: • Η συνιστωσα n'(t) του θορυβου ειναι το μερος του θορυβου που δεν ανηκει στον χωρο που περιγραφουν οι συναρτησεις βασης (δεν μπορει να γραφει σαν γραμμικος συνδυασμος τους). • Στο επομενο slide αποδεικνυεται οτι το n'(t) sm(t) m[0,…,M-1]

43. H συνιστωσα n'(t) ειναι ορθογωνια προς ολα τα σηματα sm(t) • Πραγματι:

44. Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων • Το λαμβανομενο σημα μπορει λοιπον να παρασταθει ως εξης: • οπου rk = sm,k + nk n'(t) f2(t) [r1, r2] f1(t)

45. O χωρος αποφασεων συρρικνώνεται σε χωρο πεπερασμενων διαστασεων Καναλι r s Σ n • Εκπεμπουμε ενα σημα το οποιο απεικονιζεται με το διανυσμα πληροφοριας Κ διαστασεων: s = [s1, s2,…, sK] {s1,s2,…,sM} • Λαμβανουμε το διανυσμα r = [r1, r2,…,rK]= s+n, το οποιο ειναι το αθροισμα του εκπεμπομενου διανυσματος s και του διανυσματος του θερυβου n = [n1,n2,…nK]. • Δοθεντος του r θελουμε να βρουμε μια εκτιμηση ŝτου εκπεμπομενου διανυσματος sωστε να ελαχιστοποιειται η πιθανοτητα σφαλματος Ps=Pr[ŝs] ŝ Δεκτης r

46. Κανονας Αποφασης μεγιστης μεταπιθανοτητας MAP (Maximum a posteriory Probability) • Υποθετουμε οτι τα διανυσματα {s1,s2,…,sM} με τα οποια μεταδιδονται τα Μ διαφορετικα συμβολα, εκπεμπονται με πιθανοτητες {p1, p2,…,pM} αντιστοιχα, και οτι λαμβανεται το διανυσμα r. • H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν στον δεκτη η εκτιμηση ŝειναι το διανυσμα smγια το οποιο ισχυει: Pr[sm|r]  Pr[si|r], mi (ΜΑΡ receiver) • Ισοδυναμα (Bayes)

47. Κανονας Αποφασης μεγιστης πιθανοφανειαςML (Maximum Likelihood) • Αν p1=p2=…=pΜ=1/M, ή αν οι πιθανοτητες εκπομπης των συμβολων ειναι αγνωστες (οπότε υποτίθεται ισες), τοτε ο κανονας MAP ισοδυναμει με τον ML • H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν επιλεξουμε ως εκπεμπομενο συμβολο το sm το οποιο ικανοποιει την σχεση : p(r|sm)  p(r|si), mi. (ML receiver)

48. Υπολογισμος πιθανοτητων • Για να εφαρμοσουμε τους κανονες αποφασης MAP και ML χρειαζεται ο υπολογισμος των πιθανοτητων p(r|sm). • Επειδη r = sm + n,οπου το smειναι ενα σταθερο διανυσμα, αρκει να υπολογισουμε την p(n) = p (n1, n2,…,nK) που ειναι η από κοινου pdf των Κ τυχαιων μεταβλητων ni. • Ο θορυβος n(t) ειναι μια Gaussian τυχαια διαδικασια • Επομενως η συνιστωσα του ειναι μια Gaussian τυχαια μεταβλητη. • Κατα συνεπεια η p(n1, n2,…,nK) ειναι η απο κοινου pdf Κ Gaussian μεταβλητων

49. Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n) • Οι Gaussian μεταβλητες niκαι nkειναι ασυσχετιστες Πραγματι:

50. Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n) (2) • Επειδη Ε[nink]=0 για ik, οι συνιστωσες του θορυβου ειναι ασυσχετιστες και επομενως ανεξαρτητες. • Επειδη Ε[nk2] =N0/2, καθε συνιστωσα του θορυβου εχει μεταβλητοτητα (variance) ιση με Ν0/2. Κατα συνεπεια: p(n)=