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7.3 关系的运算

7.3 关系的运算. 关系的基本运算 定义 7.6 关系的 定义域 、 值域 与 域 分别定义为 dom R = { x |  y (< x , y >  R ) } ran R = { y |  x (< x , y >  R ) } fld R = dom R  ran R. 例 5 R ={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 dom R ={1, 2, 4} ran R ={2, 3, 4}

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7.3 关系的运算

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Presentation Transcript

  1. 7.3关系的运算 • 关系的基本运算 • 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为 • domR = { x | y (<x,y>R) } • ranR = { y | x (<x,y>R) } • fldR = domR ranR • 例5R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 • domR={1, 2, 4} • ranR={2, 3, 4} • fldR={1, 2, 3, 4}

  2. 关系运算(逆与合成) • 定义7.7关系的逆运算 • R1 = { <y, x> | <x, y>R } • 定义7.8关系的合成运算 • RS = { <x, z> | y (<x, y>R  <y, z>S) } • 例6R = {<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} • S = {<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>} • R1 = {<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>} • RS = {<1,3>, <2,2>, <2,3>} • SR = {<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

  3. 合成的图示法 • 利用图示（不是关系图）方法求合成 • RS ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} • SR ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

  4. 关系运算(限制与像) • 定义7.9设R为二元关系, A是集合 • (1) R在A上的限制记作R↾A, 其中  R↾A = { <x,y> | xRy∧x∈A } • (2) A在R下的像记作R[A], 其中 R[A]=ran(R↾A) • 说明： • R在A上的限制 R↾A是 R 的子关系，即 R↾A  R • A在R下的像 R[A] 是 ranR 的子集，即 R[A] ranR

  5. 实例 • 例7设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则 R↾{1} = {<1,2>,<1,3>} R↾ =  R↾{2,3} = {<2,2>,<2,4>,<3,2>} R[{1}] = {2,3} R[] =  R[{3}] = {2}

  6. 关系运算的性质 • 定理7.1设F是任意的关系, 则 • (1) (F1)1=F • (2) domF1= ranF, ranF1= domF • 证 (1) 任取<x,y>, 由逆的定义有 • <x,y>∈(F1)1 <y,x>∈F1 <x,y>∈F. • 所以有(F1)1=F. • (2) 任取x, • x∈domF1y(<x,y>∈F1) • y(<y,x>∈F)x∈ranF • 所以有 domF1=ranF. • 同理可证 ranF1=domF.

  7. 关系运算的性质 • 定理7.2设F, G, H是任意的关系, 则 • (1) (FG)H = F(GH) • (2) (FG)1 = G1F1 • 证 (1) 任取<x,y>, • <x,y>(FG)H • t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) • t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H))s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) • 所以 (FG)H = F(GH)

  8. 证明 • (2) 任取<x,y>,  <x,y>∈(FG)1   <y,x>∈FG  t (<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t (<x,t>∈G1∧<t,y>∈F1)  <x,y>∈G1 F1所以 (F G)1 = G1 F1

  9. 关系运算的性质 • 定理7.3设R为A上的关系, 则  RIA= IAR=R • 证任取<x,y> <x,y>∈RIA t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) • t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) •  <x,y>∈R

  10. 关系运算的性质 • 定理7.4 • (1) F(GH) = FG∪FH (2) (G∪H)F = GF∪HF • (3) F(G∩H) FG∩FH (4) (G∩H)F GF∩HF • 只证 (3) 任取<x,y>, <x,y>∈F(G∩H)t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G∩H) t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G∧<t,y>∈H) t ((<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧(<x,t>∈F∧<t,y>∈H)) t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧t (<x,t>∈F∧<t,y>∈H)  <x,y>∈FG∧<x,y>∈FH  <x,y>∈FG∩FH • 所以有 F(G∩H)=FG∩FH

  11. 推广 • 定理7.4 的结论可以推广到有限多个关系 •  R(R1∪R2∪…∪Rn) = RR1∪RR2∪…∪RRn (R1∪R2∪…∪Rn)R = R1R∪R2R∪…∪RnRR(R1∩R2∩ … ∩Rn) RR1∩RR2∩ … ∩RRn (R1∩R2∩ … ∩Rn)R R1R∩R2R∩ … ∩RnR

  12. 关系运算的性质 • 定理7.5设F 为关系, A, B为集合, 则 • (1) F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B • (2) F [A∪B] = F [A]∪F [B] • (3) F ↾(A∩B) = F ↾A∩F ↾B • (4) F [A∩B] F [A]∩F [B]

  13. 证明 • 证 只证 (1) 和 (4). • (1) 任取<x,y> <x,y>∈F ↾(A∪B) •  <x,y>∈F∧x∈A∪B •  <x,y>∈F∧(x∈A∨x∈B) •  (<x,y>∈F∧x∈A)∨(<x,y>∈F∧x∈B) •  <x,y>∈F ↾A∨<x,y>∈F ↾B •  <x,y>∈F ↾A∪F ↾B • 所以有F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B.

  14. 证明 • (4) 任取y, •   y∈F [A∩B]x (<x,y>∈F∧x∈A∩B)x (<x,y>∈F∧x∈A∧x∈B)x ((<x,y>∈F∧x∈A)∧(<x,y>∈F∧x∈B))x (<x,y>∈F∧x∈A)∧x (<x,y>∈F∧x∈B)y∈F [A]∧y∈F [B]y∈F [A]∩F [B] • 所以有F [A∩B]=F [A]∩F [B].

  15. 关系的幂运算 • 定义7.10 • 设 R 为 A 上的关系, n为自然数, 则 R 的 n 次幂定义为： • (1) R0 = { <x,x> | x∈A } = IA • (2)Rn+1 = RnR • 注意： • 对于A上的任何关系 R1 和 R2 都有 R10 = R20 = IA • 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R

  16. 例 8设A = {a,b,c,d}, R = {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 幂的求法 解 R 与R2的关系矩阵分别是：

  17. 幂的求法 • R3和R4的矩阵是： • 因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到 R2=R4=R6=…， R3=R5=R7=… • R0的关系矩阵是 •  

  18. 关系图 • R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示. R1 R0 R2=R4=… R3=R5=…

  19. 证 R 为A上的关系, • 由于|A|=n, A上的不同关系只有 个. • 列出 R 的各次幂 • R0, R1, R2, … , , …, • 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs = Rt 幂运算的性质 • 定理7.6设 A 为 n 元集, R 是A上的关系, 则存在自然数 s 和 • t, 使得 Rs = Rt.

  20. 幂运算的性质 • 定理7.7设 R 是 A上的关系, m, n∈N, 则 • (1) RmRn = Rm+n • (2) (Rm)n = Rmn • 证 用归纳法 • (1) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n. • 若n=0, 则有 • RmR0 = RmIA = Rm = Rm+0 • 假设 RmRn = Rm+n, 则有 • RmRn+1= Rm (Rn R) = (Rm Rn)R = Rm+n+1 , • 所以对一切m,n∈N 有 RmRn = Rm+n.

  21. 证明 • (2) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n. • 若n=0, 则有 • (Rm)0 = IA = R0= Rm×0 • 假设 (Rm)n = Rmn, 则有 • (Rm)n+1= (Rm)nRm = (Rmn)Rn • = Rmn+m = Rm(n+1) • 所以对一切m,n∈N 有 (Rm)n = Rmn.

  22. 幂运算的性质 • 定理7.8 设R 是A上的关系, • 若存在自然数 s, t (s<t) 使得 Rs=Rt, 则 • (1) 对任何 k∈N有 Rs+k = Rt+k • (2) 对任何 k, i∈N有 Rs+kp+i = Rs+i, 其中 p = ts • (3) 令S = {R0,R1,…,Rt1}, 则对于任意的 q∈N 有Rq∈S • 证 (1) Rs+k = RsRk = Rt Rk = Rt+k • (2) 对k归纳. 若k=0, 则有Rs+0p+i = Rs+i • 假设 Rs+kp+i = Rs+i, 其中p = ts, 则 • Rs+(k+1)p+i = Rs+kp+i+p = Rs+kp+iRp • = Rs+iRp = Rs+p+i = Rs+ts+i = Rt+i = Rs+i • 由归纳法命题得证.

  23. 证明 • (3) 任取 q∈N, • 若 q < t,显然有 Rq∈S, • 若q ≥ t, 则存在自然数 k 和 i 使得 • q = s+kp+i, 其中0≤i≤p1. • 于是  Rq = Rs+kp+i = Rs+i • 而 • s+i ≤ s+p1 = s+ts1 = t1 • 从而证明了Rq∈S.

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