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正四面体与正方体例话

正四面体与正方体例话. 序 曲 十年高考多面体 出题偏爱正方体 拿着正方变魔方 演出多少好题和妙题. 多面体题根 解正方体. 一、正方体高考十年 二、正四面体与正方体 三、正方体成为十年大难题 四、解正方体 五、解正四面体. 一、正方体高考十年. 正四面体与正方体例话. 十年来，立体几何的考题一般呈 “ 一小一大 ” 的形式 . 分数约占全卷总分的八分之一至七分之一 . 立几题的难度一般在 0.55 左右，属中档考题，是广大考生 “ 上线竞争 ” 时势在必夺的 “ 成败线 ” 或 “ 生死线 ” .

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正四面体与正方体例话

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Presentation Transcript

  1. 正四面体与正方体例话 序 曲 十年高考多面体 出题偏爱正方体 拿着正方变魔方 演出多少好题和妙题

  2. 多面体题根 解正方体 一、正方体高考十年 二、正四面体与正方体 三、正方体成为十年大难题 四、解正方体 五、解正四面体

  3. 一、正方体高考十年 正四面体与正方体例话 十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”. 十年的立几高考，考的都是多面体. 其中： （1）直接考正方体的题目占了三分之一； （2）间接考正方体的题目也占了三分之一. 因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.

  4. 考题 1 （正方体与其外接球） （1995年） 正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为 解 析 外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的(C)约6倍或(D)约9倍，否定(C)，(D)；也不可能与其近似相等，否定(A)，正确答案只能是(B) .

  5. （1997年）如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点． （1）证明AD⊥D1F； （2）求AE与D1F所成的角； （3）证明面AED ⊥面A1FD1； （4）设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积 . 考题 2 （正方体中的线面关系） 说 明 小问题很多，但都不难. 熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要知道棱AD与后侧面垂直就够了.

  6. 考题 3 （正方体的侧面展开图） （2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是 （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④ 解 析 考查空间想象能力. 如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题①、②为假，而命题③、④为真，答案是C.

  7. 考题4 （正方体中主要线段的关系） （2002年） 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是 解 析 射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A. 平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故选（A）.

  8. 将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的 ，再乘 得 . 答案选C. 考题 5 （正方体与正八面体） （2003年） 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 解 析

  9. 在正方体上任选3个顶点连成三角形可得 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得 ，所以选C. 考题 6 （正方体中的三角形） 解 析

  10. P 考题 7 2006年四川卷第13题——正方体的一“角” 在三棱锥O—ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是（用反三角函数表示） 考题8 2006年四川卷第19题——两正方体的“并” 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a. （1）求证：MN∥面ADD1A1； （2）求二面角P—AE—D的大小； （3）求三棱锥P—DEN的体积.

  11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m. (Ⅰ)试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3 ； (Ⅱ)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 并证明你的结论. 考题9 （2006年湖北卷第18题） 分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第(Ⅰ)问，可心算出结果为m=1/3；对第(Ⅱ)问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第(Ⅰ)小题成了大题，第(Ⅱ)小题成了大难题.

  12. 考题 10 （2006年安徽卷第16题） 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________. （写出所有正确结论的编号）

  13. 二、正四面体与正方体 正四面体与正方体例话 从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来. 我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考： （1）正方体如何演变出正四面体？ （2）正方体如何演变出正八面体？ （3）正方体如何演变出正三棱锥？ （4）正方体如何演变出斜三棱锥？

  14. 考 题 1 （正四面体化作正方体解） 说 明 本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.

  15. 拙解 ——硬碰正四面体

  16. D C B A 正四面体的棱长为 ，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线”围成？ D1 C1 A1 B1 D B 则三棱锥B—A1C1D是棱长为 的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决. C1 A1 联想 ——、 、 的关系 为此，在棱长为1的正方体B—D1中， （1）过同一顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD； （2）将顶点A1，C1，D依次首尾连结.

  17. 以 长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为 ，则其外接球的半径为 ，则其外接球的表面积为S=4πR2= =4π( )2＝3π 以 为棱长的正四方体B-A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3π. 答案为A. 妙解 ——从正方体中变出正四面体

  18. 在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”. 事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 -12=58个. 至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根. 寻根 ——正方体割出三棱锥

  19. 三、正方体成为十年大难题 正四面体与正方体例话 按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间. 所以，十年来立几考题——哪怕是解答题也没有出现在压轴题中. 从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分. 然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！

  20. 命题 ——将正方体一分为二 2003年全国卷第18题，天津卷第 18题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题.其难度，超过了当年的压轴题. 在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱. 图中的点E正是正方体的中心.

  21. 考题 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.侧棱AA1＝２，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G. (Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.

  22. 解 析 （转下页） 考场反馈：按出题人给出的图形（右上），答题时无法作辅助线.

  23. （转下页） 解 析（续上） 考场反馈：按出题人给出的这种解析，无法在原图上显示.

  24. （解毕） 解 析（续上） 阅卷人说：在见到的答卷中，几乎没有看到这种“标准答案”.

  25. 本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的 画法不标准！ 难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.

  26. 难题（0318）的题图探究 正方体立体图常见的画法有两种： （1）斜二测法（图右） 此法的缺点：A1、B、C 三点“共线” 导致“三线”重合 （2）正等测法（图右） 此法的缺点：A、C、C1、A1“共线” 导致“五线”重合 难题的图近乎第二种画法（图右）： 将正方体的对角面置于正前面.

  27. 四、解正方体 正四面体与正方体例话 正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单. 像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多. 我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！

  28. 正方体，（ ）个面， 线面距转（ ）面距， （ ）个顶点（ ）棱。 寻找（ ）要根据。 顶点连线（ ）条， 异面直线求距离， 一顶（ ）线来相交。 确定（ ）是难题。 三顶确定三角形， 正方体，是个宝， 要求三顶不共（ ）。 各种关系藏得巧。 四顶确定四面体， 正四面体（ ）条棱， 要求四顶不共（ ）。 选自6面（ ）线； 三种线段结数缘， 正八面体（ ）个顶， 根1、根2和（ ）。 6面（ ）对得准。 关于正方体 你已经知道了多少？ 点 6 12 射影 8 28 垂足 7 线 6 面 对角 6 中心 根3 关于正方体 还有许多许多！ 例如，8个顶点中，4顶共面的有（ ）个，4顶异面的（ ）个。 正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。

  29. 五、解正四面体 正四面体与正方体例话 统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了. 其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了. 在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！

  30. 正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为 ①底面正三角形高为（ ）； ②底面正三角形的外半径为（ ）； ③正三角形的内半径为（ ）； ④正四面体的斜高为（ ）； ⑤斜高在底面上的射影为（ ）； ⑥斜面与底面成角余弦值（ ）； ⑦正四面体高为（ ）； ⑧外接球半径为（ ）； ⑨内切球半径为（ ）. 一句话小结 正四面体与正方体的对应量只相差一个系数： （或 ）

  31. （2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是（2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A. B. C. D. . . D P P P B C1 A1 C1 2 A1 妙解 （找老子解儿子） 答案为C 2

  32. 拙解 （就儿子解儿子） 如图所示：即求三角形PCD的面积. 因为CD=2，四面体A-BCD是正三棱锥，则PD=PC，三角形PCD是等腰三角形. 过P作CD的中线交CD于Q，则球心在PQ上. 连BQ，AQ，则AQ=BQ,因为O在PQ上，则PQ是线段AB的中垂线.即Q是AB的中点.

  33. D C B A D1 C1 A1 B1 正四面体与正方体例话 小结 正方体是多面的“题根” （1）由正方体变出正四面体； （2）由正方体变出正八面体； （3）由正方体变出正棱柱、直棱柱； （4）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥； （5）由正方体变出斜三棱锥： D—A1B1C1

  34. 正四面体与正方体例话 尾 声 题生根 根生题 题根、根题不分离 有根无题一光杆 有题无根一潭泥

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