FRAKTÁLOK

1. Mersits István, Szöllős Kristóf Városmajori GimnáziumMatematika a tudományokban FRAKTÁLOK „Miként is lehetne másképp ha a káoszÍgy összpontosítja minden erejét,Hogy megformáljon egyetlen levelet?...” ConradAiken

2. A fraktálok egy nagyon tág témakör, könnyedén össze lehetne belőle állítani egy több órás bemutatót. Ebben a bemutatóban szeretnénk egy átfogó képet alkotni a fraktálokról, felfedezésükről, felhasználásukról valamint megjelenésükről a matematikán kívül. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Bevezető

3. A fraktál szó megalkotása és ezzel együtt a fraktálok felfedezése Benoit Mandelbrot nevéhez köthető. Néhány tudós Mandelbrot előtt is leírt fraktál alakzatokat (pl.:Cantor-por), de tudatosan először Mandelbrot kutatta a fraktálokat. Először fraktál tulajdonságokat az 1900-1960-ig terjedő gyapotárak váltakozásánál talált. Felfedezte, hogy számos esetben a napi árváltozás görbéje szinte tökéletesen megegyezik a havi árváltozás görbéjével, vagyis rátalált a kis rész és a nagy rész szimmetriájára a közgazdaságban. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban A fraktálokhoz vezető út I. Benoit Mandelbrot(1924-2010)

4. Az IBM-nél töltött időkben Mandelbrot beleütközött egy gyakorlati problémába, ami az elektronikus átvitelzaj volt. Az elektronikus adatok továbbításakor zaj lépett fel, ami néha kitörölte a jel egy részét, ezzel hibát okozva. Mandelbrot megtudta a mérnökökkel való beszélgetésekből, hogy a zaj csoportosan fordul elő, vagyis egy adott időintervallumot fel lehetett osztani hibáktól mentes és hibás részekre. Ám minél közelebbről vizsgálták meg a mérnökök a hibacsoportokat, annál bonyolultabbnak tűnt a hibák feltűnése Mandelbrot olyan elméletet alkotott, ami leírta ezeknek a hibáknak az előfordulását. Egy a 19.században kialakított paradox struktúra segítségével, a Cantor-por-ral modellezte a hibák előfordulását. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban A fraktálokhoz vezető út II. • Adott a síkban egy szakasz, majd ennek a szakasznak a középső harmadát eltávolítjuk. • Ezt a műveletet az összes szakasszal a végtelenségig ismételjük, és így létrejön végtelen sok pont, amiknek a hossza 0. • Mandelbrot a szakaszokat megfeleltette olyan időszakoknak, ahol hiba fordul elő, tehát ha egy hibás időszakot megnézünk „közelebbről”, akkor találunk olyan részt, ahol nincsen hiba. • Összefoglalva Mandelbrot úgy értelmezte az átviteli hibákat, mint egy, az időben előforduló Cantor-halmazt • Ez a modell megfelelt a mérnökök tapasztalatainak.

5. „Milyen hosszú Nagy-Britannia partvonala?”- tette fel a kérdést sokszor Mandelbrot. • Szerinte bármely partvonal végtelen hosszú, mert: • Tegyük fel, hogy valaki egy méteres körzővel leméri a partvonal egy méter hosszú részének hosszát és azt feljegyzi. • Ezután a körzőt mondjuk negyedannyi hosszúra nyitja ki és újra leméri ezt a hosszt. • Ekkor, mivel a partvonal nem egyenes, valamivel nagyobb számot fog kapni. • Ekkor a körzőt ismét negyedannyira állítja be, és ismét leméri a hosszt, és ezt a végtelenségig folytatva (úgy súgja a józan ész) hogy ez az érték konvergálni fog egy adott értékhez (mint példáúl egy Euklideszi alakzatnál, a körnél) . • Ám Mandelbrot úgy találta, hogy nem konvergálnifog egy bizonyos értékhez, hanem merta partvonal nem egy Euklideszi-alakzat(„Ahogy a felhő sem gömb és a hegyeksem csúcsok”-mondta sokszor Mandelbrot),a partvonal végtelen hosszú. • 1975-ben alkotta meg a fraktál szót. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban A fraktálokhoz vezető út III.

6. Mint említettem Mandelbrot előtt is voltak matematikusok, akik fraktálokat alkottak, egyik ilyen alakzat a Koch-görbe. Előállítása: vegyünk egy szabályos háromszöget, majd ennek a háromszögnek az oldalainak középső harmadára állítsunk ismét egy szabályos háromszöget. Az így létrejövő szabályos háromszögeken ismét végezzük el ezt a műveletet, és így tovább. Érdekes tulajdonsága, hogy végtelen hosszúságú vonal véges nagyságú területet határol, ami szintén igaz Nagy-Britanniára (a partvonala végtelen hosszúságú, de a területe véges). Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Koch-görbe

7. Előállítás: adott a síkban egy négyzet, ennek a négyzetnek a középső részét kivágjuk, majd a maradék nyolc résszel megismételjük ezt a műveletet és így tovább. Ennek az alakzatnak (Sierpinski-szőnyeg) térbeli megfelelelője a Menger-szivacs Érdekes tulajdonsága a Menger-szivacsnak, hogy ez a csupa lyuk építmény végtelen felületű, de nulla térfogatú Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Sierpinski-szőnyeg/Menger szivacs

8. Az egyik leghíresebb fraktál az úgynevezett Mandelbrot-halmaz, mely egy komplex számokból álló rekurzív sorozat, melyet ha a komplex számok síkján ábrázoljuk ezt a képet kapjuk meg: Ezt a fraktált különböző mérettartományokban nézve érdekes és szép alakzatokat találhatunk. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Mandelbrot-halmaz

9. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban

10. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Különböző méretű nagyításokban a Mandelbrot halmaz

11. A fraktálokra támaszkodva kiderült, hogy a felületek érintkezéseinél a jellemző tulajdonságok meglehetősen függetlenek az anyagtól, csak annak a fraktáljellemzői a mérvadóak. Ez a felismerés fontos szerepet játszik az elektromos érintkezéseknél és a gépiparban(gépekben az illesztési helyek). Miért nem lehet egy törött csészét újraösszerakni?- hangzik el ez a kérdés sokszormár az általános iskolákban is. Ennek a kimerítő magyarázata is a fraktálokban fellelhető: még ha a nagyobb mérettartományokban összeillenének a darabok, akkor is a kisebb méretekben már nem illenének össze a felületek. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Fraktálok az érintkezési felületekben

12. Felfedezték, hogy az érrendszerek és az epevezetékek is fraktáltermészetűek, vagyis kis térfogatban szinte végtelen hosszúak. Ugyanez vonatkozik a tüdőre, vagyis ha egyre kisebb mérettartományokban nézzük (hörgők, hörgőcskék, léghólyagok) akkor az elágazások szimmetrikusak egymással (a kis és a nagy szimmetriája), ami szintén fraktál tulajdonság. Felvetődik a kérdés, hogy a természet hogyan volt képes ekkora mennyiségű információt lekódolni, ám fraktálszemlélettel csak néhány bitnyi információ szükséges egy érrendszer felépítéséhez a DNS-ben, míg Euklideszi szemlélettel sok lenne. Már csak az a kérdés, hogyan vannak kódolva ezek a mintázatok. Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Fraktálok a biológiában

13. Érdekesség, hogy fraktálokat használnak a filmiparban is, főleg idegen bolygók megalkotásakor Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Fraktálok a filmiparban

14. Könyv: James Gleick: Káosz • Film: A végtelen színei • Internet: • http://hu.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-halmaz • http://hu.wikipedia.org/wiki/Frakt%C3%A1l • http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape • Felkészítő tanár: Kertai Helga Mersits István, Szöllős Kristóf VMG Matematika a tudományokban Források