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趣味數學

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趣味數學. 參考書目. Rob Eastaway (2009) , 幾隻襪子湊一雙?:臉譜,城邦文化出版。 Rob Eastaway and Jeremy Wyndham(2008) , 一條線有多長?:臉譜,城邦文化出版。 Rob Eastaway and Jeremy Wyndham(2008) , 為什麼公車一次來三班?:臉譜,城邦文化出版。 Theoni Pappas(2003) , 原來 數學這麼 有趣:世茂出版社。. 鏡子.

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    Presentation Transcript
    1. 趣味數學

    2. 參考書目 • Rob Eastaway(2009),幾隻襪子湊一雙?:臉譜,城邦文化出版。 • Rob Eastawayand Jeremy Wyndham(2008),一條線有多長?:臉譜,城邦文化出版。 • Rob Eastawayand Jeremy Wyndham(2008),為什麼公車一次來三班?:臉譜,城邦文化出版。 • Theoni Pappas(2003),原來數學這麼有趣:世茂出版社。

    3. 鏡子 想像某天清晨,你在浴室裡剛刷完牙,正看著鏡中的自己。從你僅靠著洗臉槽的站立位置,你應該可以看到你的上半身——假設你在鏡中所能看見的最低點只到達你的肚臍。 現在開始你往後退,離開鏡子,當你後退時,你能看到? (1)較少的你 (2)同樣多的你 (3)較多的你

    4. 生日問題 全班有50位同學,來自於四面八方。在老師核對資料時,老師發現:「有人同一天生日!——不需要同年,只要同月同日出生即可。」 大家都知道一年有365天,那麼對於全班同學有人同月同日生的巧合,你的直覺做何反應? (1)一點也不訝異,你認為有人在同一天生日幾乎是必然的。 (2)覺得應該有約50-50的機會。 (3)你非常訝異!十次有一次就差不多了。 (4)你覺得這種機會跟中樂透一樣低。

    5. 任意2人不同日生的機率=有人同天生日的機率=任意2人不同日生的機率=有人同天生日的機率= • 任意3人均不同日生的機率=有人同天生日的機率= • 任意50人均不同日生的機率=有人同天生日的機率=

    6. 足球場 某足球隊贏得聯賽冠軍,俱樂部決定為球隊舉辦歡迎儀式。球場管理員靈機一動,買了一些彩旗和一條旗繩沿著球場邊線拉起。想法是讓球員從觀眾席中央的更衣室跑出來,走過旗繩底下,踏上球場。足球場長100公尺,而球場管理員買的旗繩長為101公尺。 目睹他的作法的經理提出質疑:「你的旗繩只寬鬆1公尺阿!假如你從中間舉高旗繩,地下會有足夠的空間讓球員穿過去嗎?」 (1)管理員瘋了!旗繩太緊了。 球員幾乎不可能從繩子下幾過去。 (2)球員要蹲的很低才能從繩子底下過去。 (3)經理錯怪管理員,大部分的球員都能輕易的過去。

    7. 利用畢氏定理,高度約7公尺。 所以當時遊覽車都能輕鬆開過去!!

    8. • 一個人離開了他的帳棚,他往南走1公里,然後他往東1公里,接著往北走1公里。 讓他驚訝的是,他已經走回他的帳棚,而這時候他看見一隻熊,請問這隻熊是什麼顏色的? Ans:白色

    9. 熊—PART2 • 同一時間,另一個人(在別處紮營)走出他的帳棚,往北直直走了10公里。然後他坐下來喝一杯茶。喝完茶之後,他又往北直直走了10公里。讓他驚訝的是他發覺自己一樣回到了他的帳棚。請問他可能看到熊嗎? • Ans:不一定(地球暖化嚴重,請救救北極熊)

    10. 燃燒的細繩 你有一段細繩,別人告訴你如果從繩子一端點火燃燒,燒完整條繩子剛好是一小時。如果你需要準確測出三十分鐘,手邊沒有手錶,只有這條細繩和一支打火機。基本上,很容易,只要將細繩對折,然後燃燒半段細繩得時間有多長,不是嗎? 這裡有個陷阱:這條繩子粗細非常不均,有些地方細,有些地方粗,所以每段燃燒的速率不同。你知道前半段粗繩要五十五分鐘才能燒完,而後半段卻只需要五分鐘。似乎無法準確的測量出三十分鐘,但確實有個解決方式。你能找出來嗎? Ans:兩邊同時點火,燒完剛好30分鐘

    11. 燃燒的細繩—PART2 有兩條不均勻分佈的繩子,每條繩子燒完的時間是一個小時,你能用什麼方法來確定一段15分鐘的時間。 Ans:一條繩子兩邊同時點火,燒完剛好30分鐘。另一條先點一邊,當第一條燒完時,還剩30分鐘,這時在另一端也點火,就是15分鐘了!

    12. 鐵匠問題 某鐵匠有一條鏈子,斷成相等的五段,每段有三個環;現在要將這條鏈子修好。 在做滬件事之前,鐵匠想了一下,必須鑿開幾個環,才能接好? Ans:3個。(把一個鍊子全部拆開)

    13. 鐘面問題 把圖裡的鐘面分割成任意形狀的六塊,使每一塊裡所有數字的和都相等。

    14. 挑戰題1 在房裡有三盞燈,房外有三個開關,在房外看不見房內的情況,你只能進門一次,你用什麼方法來區分那個開關控制那一盞燈。 Ans:應該是利用燈泡的冷暖,先開一個幾分鐘,然後關掉,開第二個,然後進去,就知道現在的是那個了,然後摸一下燈泡,就知道剛才開的是那個了。

    15. 挑戰題2 在一個3×3方陣上有九個點,如何利用四條連續直線段把他們連接起來?(使用鉛筆不能離開紙張,且經過路徑不能折回)

    16. 挑戰題3 在一個4×4方陣上有十六個點,如何利用六條連續直線段把他們連接起來?(使用鉛筆不能離開紙張,且經過路徑不能折回)

    17. 挑戰題4 西洋棋盤是8x8的方形格,總計有64個方格,假設你把棋盤的對角兩個黑格切除,如本圖所示: 現在你拿到三十一塊骨牌,每塊的大小都等於淇盤中兩格相連的尺寸。把骨牌排在棋盤上,總共可以蓋滿六十二個方格,而且就剛好是上圖棋盤所保留的方格數量。 問題:你能不能想出辦法,用這三十一塊骨牌把棋盤上的方格全部蓋住?」

    18. Ans:不可能! 檢視兩角殘缺的棋盤,被切除的棋格都是黑格,這就表示你希望覆蓋的圖案,是由三十二塊白格和三十塊黑格所構成。 現在想像你正拿著一塊骨牌,蓋住棋盤上的任意兩個方格。你始終都是蓋住一個黑和一個白。所以絕對不可能用手中的骨牌,蓋掉最後那兩個方格。

    19. 爸爸在哪裡 • 一個婦人比兒子大二十一歲。六年後,他的年齡將是兒子的五倍。孩子的爸爸現在在哪裡? Ans:在媽媽旁邊

    20. 設媽媽現在的年齡M歲;兒子S歲 媽媽比兒子多21歲:M=S+21 6年後年齡是5倍:(M+6)=(S+6)×5 S+27=5S+30 →4S=-3 →S=-3/4(年)=-9個月 所以爸爸在媽媽旁邊

    21. 免費買戒指,還到賺一百萬 一位女士在珠寶電話一百萬買了一只戒指,他才剛要離開商店,卻停住腳步回到櫃臺。 女士:我不喜歡這只戒指,我能不能換夠那只兩百萬的? 珠寶商:當然可以了,請再給我一百萬! 女士:對不起,不過我沒欠你錢!我剛剛才拿一百萬給你,除此之外又把價值一百萬的戒指拿給你,等於總共給你兩百萬。 於是她緊抓價值兩百萬的戒指衝出珠寶店,留下珠寶商在店中推敲,懷疑自己哪裡搞錯了。

    22. 拿出100萬戒指+拿出200萬戒指 拿出100萬現金+還回100萬戒指 顯然,女士賺了100萬! 珠寶商: 女士:

    23. 買賣問題 • 一個人花8塊錢買了一隻雞,9塊錢賣掉了,然後他覺得不划算,花10塊錢又買回來了,11塊錢賣給另外一個人了。 請問他最後的收益是多少? (你覺得他賺了多少錢?) Ans:賺2元

    24. 買:8元+10元 賣:9元+11元 賺了2元

    25. 誰少給了小費 餐廳裡有三位男士拿到帳單,總額為二十五鎊。他們付給服務生三張十鎊鈔票,服務生找回五鎊零錢,三位先生各拿走一鎊,留下兩鎊的小費。 這時三位先生分別支付九鎊,總共為二十七鎊,服務生得到兩鎊小費。27+2=29鎊,不過他們總共給服務生三十鎊,所以少了一鎊,誰騙了誰? Ans:我騙了你!!

    26. 餐費25鎊+小費2鎊=支付27鎊 支付的30鎊 =餐費25鎊+小費2鎊+3人各拿1鎊 只是27+2=29接近30,轉移注意力罷了!

    27. 預言嬰兒性別的神棍 某份廣告傳單內容如下: 判定寶寶的性別 妳是否希望知道肚子的寶寶是男是女,卻不喜歡用聲波打入妳的子宮?我們採用完全非侵入方法,只以人工觸診就可以斷定妳的寶寶性別,價格只收一萬元!萬一我們弄錯了,你不只能全額退費,還能多領五千元的賠償金,打電話給xxx,號碼是……..

    28. 完全沒有根據的情況下, 猜對和猜錯的機率各半, 猜對此人可賺10000元, 猜錯此人會賠 (別忘了已經先收10000元) 所以,他不需要任何能力,就會賺錢! 5000元

    29. E-mail詐欺術 某天小明打開信箱發現一封感興趣的垃圾郵件, 郵件主旨:NBA驚人預測結果,內容如下 親愛的NBA球迷: 我們知道你一定心存質疑,不過我們設計出一套神準的公式,能預測比賽結果,今天下午湖人對公牛,我們預測公牛獲勝,我們建議你先不要下注,不過或許你會有興趣下午的比賽結果。 NBA神算中心 結果小明不以為意,下午看了比賽結果,結果真的是公牛獲勝。

    30. E-mail詐欺術 兩天後小明打開信箱,又收到一封信,郵件主旨:NBA驚人預測結果,內容如下 親愛的NBA球迷: 記不記得我們上次的正確預測公牛獲勝?今天馬刺對上小牛,我們公式預測小牛會獲勝,我們強烈建議你先不要下注,不過請密切關注比賽結果,我們是否預測正確。NBA神算中心 結果小明稍加關注,看了比賽結果,結果真的是小牛獲勝。 幾天之後,又來了一封信,預測不被看好的山貓獲勝,果真又正確預測。 再過兩天後,又來一封信,說快艇會擊敗熱火,小明趕緊告訴他的朋友,一起密切關注比賽實況,最後果真快艇又逆轉獲勝,公式得到正確預測!

    31. E-mail詐欺術 隔天又寄來一封電子郵件,郵件主旨:NBA驚人預測結果,內容如下 親愛的NBA球迷: 你已經目睹我們的神算公式,你信服了嗎?我們預測五次,中了五次,你一定同意,這已經違反常態機率,特別是獲勝隊伍不一定勝算較高的隊伍。我們提供特別優待,你有機會試用我們的比賽預測服務,訂閱一個月,只收一萬元。你把兩支隊伍名稱寄給我們,我就把預測結果寄給你,期望收到你的訂單。NBA神算中心 一萬元有點貴,但如果能正確預測,就能從彩券中賺回來! 小明一副躍躍欲試的樣子,這是騙局嗎?

    32. 其實,小明的同學小華也收到相同的電子郵件,只是在快艇對熱火時,預測熱火贏,至此後也就沒在收到這個郵件。其實,小明的同學小華也收到相同的電子郵件,只是在快艇對熱火時,預測熱火贏,至此後也就沒在收到這個郵件。 • 方法很簡單,這個發件著將所有的信箱,如:100000個信箱群組發送郵件,每一場預測都一半猜A贏,一半猜B贏,到了下一場,預測正確的50000名繼續發出類似的郵件,五場後,完全正確的仍有3125名,所以只要其中有些人相信,那就可一大撈一筆了!

    33. 金字塔傳銷(老鼠會) 這是危害最大也最成功的騙術~ 這個系統極為簡單: 要花10000元才能加入,不過這個10000元是「投資」不是「支出」,接著他就可以找人成為他的下線,成為他的下線有個條件,就是要在他身上投資「10000元」,一旦他名下有八的下線,他就可以離開這個系統。 這個時候,他已經有8位贊助人,每人各給他10000元,所以他得到80000元,但是他一開始加入體係投資了10000元,所以他淨賺70000元。

    34. 就數學而言,這個體系不可能讓所有人都賺錢!就數學而言,這個體系不可能讓所有人都賺錢!

    35. 金字塔傳銷的受害國 • 一九九六年的阿爾巴尼亞(Albania),就差點毀在這個體系裡,我們稱這套系統為「斯芬克斯投資體系」,簡述如下: 斯芬克斯推出的驚人方案,會慫恿你投資10000元。他們每年會根據投資的金額支付25%的利率,換句話說,只要你保持投資10000元,每年都可以提領2500元。這表示四年之內就可以讓金額加倍。 當時斯芬克斯的推出此方案時,在他的銀行裡沒有絲毫的存款,他只想利用你的錢來支付利息!只要利用夠優惠,就可以持續有新的投資人。

    36. 金字塔傳銷的受害國 頭一年,有一千人因為可以賺2500元的利息,受吸引決定加入斯芬克斯系統,並存入了10000元。不過他還是必需支付利息共,2,500,000元。斯芬克斯自己給自己10%的佣金1,000,000元。因此銀行內還有6,500,000元。 隔年又有一千人加入

    37. 金字塔傳銷的受害國 若是每年都增加1000人投資,就會出現下列的現象: 第七年便無法付出利息來了!

    38. 金字塔傳銷的受害國 這套金字塔系統就如同其他老鼠會一樣,少數人已從中獲利,那就是最早加入,並散布消息推廣的人。事實上第一年加入的,到了第六年已經賺了15,000的利息。因此損失存款也賺了5,000元。不過,大多數的人都是損失的。 當然如果新增投資人成長,這套體系便不會崩盤,但投資人不可能無限制的成長。 發生斯芬克斯現象的阿爾巴尼亞,當時情形更糟。由於政府也上當,並推廣這套體系,所以到最後都是詐取窮人的錢財,最後該體系利率提高到高的荒唐,以增加新投資人,加速崩盤。

    39. 火車謎題 有一個關於火車的古老例子。話說兩列火車在同一軌道上,各以時速50公里迎頭對開。 當兩列火車相距100公里時,一隻總是以時速60公里飛行的蒼蠅從火車A前頭出發筆直的飛向火車B。當他飛到火車B後隨即回轉,直線地朝火車A飛去。就這樣持續在兩列火車間飛來飛去,直到兩列火車對撞,蒼蠅也在過程中被壓死。 請問蒼蠅在這兩列車間共飛了多遠? Ans:60公里

    40. 火車時速50公里,距離100公里。 所以在一小時後,兩列火車會對撞。 蒼蠅在這一小時都在做什麼? 以60公里的時速飛來飛去。 所以蒼蠅總共飛了一小時,時速60公里, 共飛60公里。

    41. 淘汰賽 有六十四人參加溫布敦網球錦標賽。每一場賽事會有一個人淘汰另一個人,直到剩下參加決賽的兩人,決賽獲勝者可以贏得冠軍。請問整個賽事下來,需要多少場比賽? Ans:63場

    42. 每一場比賽就有一個人淘汰, 要選出冠軍需要淘汰 63人 所以需要63場比賽。

    43. 巧克力塊 有這些看來和巧克力塊問題一點關係也沒有。假設你有一分隔成二十小塊的超大巧克力片,如圖所示: 說來真巧,你正好有十九個想和他們分享這片巧克力的朋友。因此,你決定沿著巧克力塊上面的水平和垂直凹線,將巧克力「掰開」成一個個小塊。每一次掰開都只能選定一塊方形巧克力,沿著一條凹線,將它一分為二。不能兩塊或多塊「相疊」一起折斷,避免造成不平整的缺口。 問題是,要將這一大片巧克力掰開成二十個單一小方塊,怎麼做最有效率?而用這種方法,總共需要掰幾次? Ans:19次

    44. 然而,經過證明,這樣的「策略」是多餘的。因為不管你用什麼方法,總是需要掰正好十九次,才能得到二十個單一小塊。然而,經過證明,這樣的「策略」是多餘的。因為不管你用什麼方法,總是需要掰正好十九次,才能得到二十個單一小塊。 為什麼呢? 因為每掰一次就多出一塊巧克力。 剛開始,你有一塊(非常大的)巧克力,而最後你有二十塊。這意味著不管你用什麼方式,一定需要掰十九次來產生這些小塊。一要掰開的次數,永遠比你最終所要的小塊數字少1。

    45. 螞蟻謎題 有一種特別習性的螞蟻。牠們總是走直線,以每分鐘1公尺的恆速前進。一旦碰到其他螞蟻,牠們會馬上調頭往回走。最後,牠們走到一個表面的邊緣,會掉下去。 有一百隻這種螞蟻,被灑在一公尺長的直尺邊緣。一些螞蟻往左,一些往右,但這是完全隨機的。這把尺窄到無法容兩隻螞蟻擦身而過,所以當兩隻螞蟻相遇時,牠們就會調頭。而當牠們走到尺的末端,會從末端掉下去。 問題:「所有」螞蟻都從尺的末端掉下去時,需多久時間? Ans:一分鐘

    46. 仔細想想兩隻螞蟻相撞時,會發生什麼情況。 就在相撞前的瞬間,其中一隻螞蟻正以每分鐘1公尺的速度往右行走,另一隻以同樣的速度往左前進。相撞後(兩隻螞蟻都調頭時),依然是兩隻螞蟻以同樣的速度,交換彼此的路線前進。(交換彼此的靈魂,代替對方前進) 換言之,只要讓你的視線朦朧一下,沒有任何改變。意即以數學意義來看。兩隻螞蟻相撞如同兩隻螞蟻錯身而過。 我們或許可以把問題視為一百隻螞蟻各有各的軌道,往左或往右行走,永遠不會撞到任何東西。 一隻螞蟻所能行走的最長距離是尺的全長,也就是1公尺,所以所有螞蟻都從尺上面掉下去所需等待的最長時間, 就是一分鐘。

    47. 無限問題1 —旅館 你一輩子都不可能遇到的一家旅館。這家旅館有無限多房間。有一天旅館碰巧全客滿了。所有房間,包括房號1、2、3、4……,一直到你想得到的任何數字的房間,都有人入住。 就在這個時候,一個客人來敲門說要住房。經理想了一下。「沒問題!」他說道:「雖然所有房間都滿了,我還是會找出一間房間給你。」 經理怎麼做呢?

    48. 他傳遞了一個訊息給所有房客,要求每個人搬往比他們現在所住的房號正好多一號的房間。他傳遞了一個訊息給所有房客,要求每個人搬往比他們現在所住的房號正好多一號的房間。 這是可能的,因為一間無限旅館中有任何你想得到的房間號碼,總會還有一個多一號的房間。 結果現在每間房間又滿了,除了房間1之外,這位新房客登記入住這個房間。

    49. 無限問題2—公車 隔天,更不尋常的事發生了。一輛滿載無限乘客的公車來到旅館前面。 令人訝異地,經理的眼皮連眨都不眨一下。「我會為你們所有人整理出房間。」他說道。 經理又是怎麼做呢?

    50. 他再次傳了一個訊息給他的房客們(這次可能引起一些不滿),要求每個人搬往他們現在所住的房號兩倍數的房間。他再次傳了一個訊息給他的房客們(這次可能引起一些不滿),要求每個人搬往他們現在所住的房號兩倍數的房間。 每個數字都有它的兩倍數,所以每個人都可以搬到另一個房間。