第八章 多变量系统的矩阵分式描述及典型状态空间实现 前面所讨论的基于状态空间描述,揭示系统状态能控 性、能观测性等内部结构特性,建立状态反馈、输出反馈 - PowerPoint PPT Presentation

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第八章 多变量系统的矩阵分式描述及典型状态空间实现 前面所讨论的基于状态空间描述,揭示系统状态能控 性、能观测性等内部结构特性,建立状态反馈、输出反馈

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第八章 多变量系统的矩阵分式描述及典型状态空间实现 前面所讨论的基于状态空间描述,揭示系统状态能控 性、能观测性等内部结构特性,建立状态反馈、输出反馈
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第八章 多变量系统的矩阵分式描述及典型状态空间实现 前面所讨论的基于状态空间描述,揭示系统状态能控 性、能观测性等内部结构特性,建立状态反馈、输出反馈

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  1. 第八章 多变量系统的矩阵分式描述及典型状态空间实现 • 前面所讨论的基于状态空间描述,揭示系统状态能控 • 性、能观测性等内部结构特性,建立状态反馈、输出反馈 • 控制器设计技术,有效地解决了线性多变量系统的分析与 • 综合问题。但是,状态空间法要求受控系统有精确的数学

  2. 模型,设计出来的控制器结构比较复杂,方法的物理概念不及经典频域法直观清晰。故在70年代初期,正当状态空间模型,设计出来的控制器结构比较复杂,方法的物理概念不及经典频域法直观清晰。故在70年代初期,正当状态空间 • 法蓬勃发展的时候,英国学派罗森布洛克(Rosenbrock)、 • 梅恩(Mayne)、麦克法兰(MacFarlange)、欧文斯 • (Owens)等人研究表明,单变量系统的传递函数概念可以 • 自然地推广到多变量系统,提出了对系统矩阵分式、多项 • 式矩阵,进而归结到系统矩阵的新的描述方法,并力图将

  3. 传递函数矩阵与状态空间法相结合,来分析系统的内部结传递函数矩阵与状态空间法相结合,来分析系统的内部结 • 构特性,为线性多变量系统的分析提供了一种新的有效手 • 段为现代频域法的综合奠定了基础。这些研究成果是70年 • 代以来线性控制理论的新近展,在工业过程的应用中曾获 • 得卓著的成效。本章介绍多项式矩阵及有理分式矩阵等必 • 要的数学基础知识,研究多变量系统的矩阵分式描述的性 • 质和方法,用矩阵及有理分式矩阵等必要的数学基础知识

  4. 研究多变量系统的矩阵分式描述的性质和方法,用矩阵分研究多变量系统的矩阵分式描述的性质和方法,用矩阵分 • 式描述来构造各种典型实现、最小实现的方法,以深刻揭 • 示系统的内部结构特性。

  5. §8.1 多项式矩阵 • §8.2 有理分式矩阵 • §8.3 系统的矩阵分式描述 • §8.4矩阵分式描述的状态空间实现

  6. 8.1 多项式矩阵 定义8.1 矩阵的元素(;) 是变量的多项式,称为多项式矩阵。记为 (8.1) 的最高次数 称为 的次数,记为

  7. (8.2) • 可写成降幂形式的矩阵多项式 • (8.3) • 式中是常数矩阵。 • 多项式矩阵的秩及多项式向量的线性相关性 当 • 中只要有一个 阶子矩阵的行列式不恒为零,而所有 阶 • 子矩阵的行列式均恒为零时,称 为 的秩,记为

  8. (8.4) • 有 ;为 时,称 满秩。 • 当 阶方阵 的秩为 ,或 不恒等于零时, • 称 为非奇异的。注意到多项式矩阵 的行列式通常仍 • 是 的多项式,对于某些特殊的 值,会有 , • 但这时仍称 是非奇异的。例如有 、 为 • ,

  9. 不恒等于零,尽管 ,仍 • 称 为非奇异的。 ,故 是奇异的。 • 以多项式为元素的向量 ,当选择不 全为 • 零的多项式 ,能使 • (8.5) • 则称 是线性相关的;当且仅当 ,式

  10. (8.5)才成立,则称 是线性无关的。 • 下式几种提法是等价的 :, 阶矩阵的行列 • 式 恒等于零; 中有 行(列)线性无关。 • 当 不恒等于零时, 存在逆阵,记为 。 • (8.6) • 由于 是一多项式矩阵,故 的元素通常是 的有理 • 分式函数, 为有理分式矩阵。为计算 ,通常引入

  11. 辅助变量 ,即 • (8.7) • 式中,

  12. 为 的多项式; 为 阶多项式矩阵。 • 若能求得 、 ,则 • (8.8) • 适于计算机迭代计算的求逆公式为(推导略) • (8.9)

  13. 单模矩阵 多项式矩阵 ,当 ,其 • 仍为多项式矩阵时, 称 为单模矩阵。形如下列的初等变换矩阵 均为单模矩阵,它们均由单位矩阵导出。

  14. (8.10)

  15. 式中 为常数, 为多项式。 , , • 故均为单模矩阵;下列 、 也为单模矩阵: • , • 单模矩阵必非奇异,但反命题不成立。单模矩阵的乘 • 积仍是单模矩阵;单模矩阵的逆阵仍是单模矩阵;所有单模矩阵均为有限个初等变换矩阵的乘积。

  16. 当多项式矩阵 左乘以上初等变换阵时,表示对 • 施行行变换,例如 • ,则 的第 行乘以 ; • ,则 的第 行 • 乘以 ; • ,则 的第 行 。 • 与此类似,当多项式矩阵右乘以上初等变换阵时,表示

  17. 对 施行列变换。 • 设 多项式矩阵 ,若存在 单模矩阵 • 对 施行有限次行变换及存在 单模矩阵 对 • 施行有限次列变换,结果得到 ,则满足 • (8.11) • 并称 、 等价。由于单模变换时非奇异线性变换,故 • 多项式矩阵的行列式和秩不变。

  18. Smith标准型 任意秩为 的多项式矩阵 经过行、 • 列运算均等价于下列司密斯(Smith)标准型 • (8.12)

  19. 式中 ; 为不恒为零的首一 • 多项式,且 可整除 ,即存在 。 • 称为 的不变因子, 称为 的 • 不 变多项式。令 的所有 阶子式的最大公因子为 阶行 • 列式因子,记为 , 。由于单模变换不改变 行列 • 式,故有 • (8.13)

  20. 于是 • 且规定 。由于 的唯一性,确定了 的唯一 • 性, 故 是唯一的,但变换顺序可不同,即单模矩阵对 • 不唯一。求 的Smith标准型的基本步骤如 • 下: • (1)将 中不恒为零的元素中次数最低者,通过行、

  21. 列交换化为元素; • (2)除元素以外,将第一行及第一列诸元通过初等变 • 换化为零;(用综合除法计算 ,于是 • 由 )加至第 列,将使 • 交换使用1、2操作可是第一行化为零。对第一列进行上述类同操作。);

  22. (3)对右下角的 子矩阵重复1、2操作; • (4)将诸对角元化为首一多项式。当不满足整除性 • 时,可进行行(列)交换以满足之。 • 例8.1 求下列多项式矩阵的Smith标准型。 • 解 以 表示第 列,以 表示第 行。

  23. 多项式矩阵的最大公因子 设多项式矩阵 为 • 矩阵,若存在 ,则称 阶方阵 为 • 的左因子,或 阶方阵 为 的右因子。 • 设两个行数相同的多项式矩阵 与 有相同的左 • 因子 ,即 , ,或 • 为 的左因子,即

  24. ,则称 是它们的左公 • 因子。与此类似,设两个列数相同的多项式矩阵 与 • 有相同的右因子 ,即 , • ,或 为 的右因子, • 即 ,则称 是它们的 右公因子。

  25. 设 是 的一个右公因子,且 其它任 • 何一个 右公因子 均为 的右因子,即 • 则称 是 的一个最大右公因子,记为 • (8.14) • 最大右公因子构造定理 设 、 分别为 、 • 矩阵, 对 作行初等变换 (即左乘

  26. 单模矩阵 ),使其变换后矩阵的最后 行恒 • 为零,即 • 则式中 即为 、 的一个最大右公因子。 • 证明 设

  27. • 展开有 , (8.16)

  28. 由式(8.16)显见 是 、 的一个右公因子。且 • 由式(8.15)有 ,若 、 • 有任一另外的右公因子 ,即 • , • 则 (8.17) • 由式(8.17)显见 是 的任一右因子,故 必定 • 是一个最大右公因子。 强调指出的是,求 、 的最

  29. 大右公因子时只作行初等运算。设依次行变换矩阵为 大右公因子时只作行初等运算。设依次行变换矩阵为 • 则总的行变换阵为 。 • 与上述类似,对 只作列初等变换,即右 • 乘一个单模矩阵,使其变换后的矩阵形如 ,式中 • 为 阶方阵,即为 、 的一个最大左公因子。 • 最大公因子具有非唯一性。当 为以最大右公因子 • 时,则 也是一最大右公因子,这里的 为单模矩

  30. 阵。这是由于当 • 则以单模矩阵 • 左乘方程两端,可得

  31. 式中 仍为单模矩阵,由构造定理可断定 也是 • 、 的一个最大右公因子,还有 • (8.18) • 式(8.18)表明最大公因子与联合矩阵具有相同的秩。

  32. 多项式矩阵的互质性 对于 ,其最 • 大左公因子 为单模矩阵时,则称 、 左互质。 • 对于 ,其最大右公因子 为单模 矩阵 • 时,则称 、 右互质。互质的两多项式矩阵不可约 • 分。 • 关于多项式矩阵的互质性右下列结论。 • 简单贝佐特恒等式 、 右互质或不可约的充

  33. 要条件是:存在多项式矩阵 、 使 • (8.19) • 式(8.19)称为简单贝佐特恒等式。 • 证明 先证必要性,即 、 右互质时,式( • 8.19)成立。由式(8.15) 、 的任一最大右公因 • 子 可表为 • (8.20)

  34. 由于 、 右互质,由定义知 必为单模矩阵,其 • 逆阵 为多项式矩阵,将式(8.20)两端左乘 , • 则 • 令式中 , ,则 、 • 均为多项式矩阵,于是仅当 、 右互质时,式 • (8.19)才得以成立。必要性得证。

  35. 再证充分性,即式(8.19)成立时,欲证 、 右互 • 质。若式(8.19)成立,设 是 、 的任一最大 • 右公因子,即 • 则 • (8.21) • 由于已设 、 为多项式矩阵且 、 也是多项

  36. 式矩阵,故 必是多项式矩阵,可见 是单模矩 • 阵,也即 、 为右互质。充分性得证。以上性质 • 主要用于理论推导,常用的判断多项式矩阵右互质的方法是: • (1)对 只作行变换求其最大右公因 • 子 ,若 ,则右互质; • (2)对 作行、列变换求其Smith标 • 准型,若为 ,则右互质。这是由于

  37. 右互质时 为单模矩阵, 也为单模矩阵,故 • (8.22)

  38. (3)观察 的列,若对所有 有下列满秩,则右互 • 质。 • 关于右互质的判断可作出对偶的论述(略)。 • 例8.2 已知多项式矩阵 、 、 ,试确定 、 左互 • 质吗? 、 右互质吗? • , ,

  39. 解 对 只作初等列变换有

  40. 由于 , 不是单模矩阵,故 、 不是左互质 • 的。 • 对 只作行初等变换有

  41. 故 、 右互质。 • 多项式矩阵的列(行)次表示式 元素为多项式的列 • (行)向量,诸元中 的最高幂次称为列(行)次。对于 • 多项式矩阵 ,其第 行列次记为 • (8.23a) • 其第 行次记为 • (8.23b)

  42. 由第 列(行) 最高幂次项的系数构 • 成的常数矩阵,称为列(行)次项系数矩阵,记为 • 。 • 例8.3多项式矩阵 为 • 列次分别为 , , ;行次分别为 ,

  43. 列(行)次项系数矩阵分别为 • , • 利用列(行)次项系数矩阵可将任一多项式分解为下 • 列两矩阵之和 • (8.24a) • (8.24b)

  44. 式中 • (8.25a) • (8.25b) • 或 均为仅由诸列或行中最高幂次项构成 • 的多项式矩阵, 、 则为其剩余项构成的多项式矩 • 阵,显然, ( )的列(行)次严格低于 的对

  45. 例8.4 按列(行)次项系数矩阵的分解为

  46. 当 为方阵时,有 • (8.26a) • (8.26b) • 列(行)既约 设 阶非奇异多项式矩阵 ,当 • 时,称 是列既约的;