1 / 31

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН ЪГЪЛ

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН ЪГЪЛ. Определения. Свойства. Основни тригонометрични тъждества. Функциите синус и косинус. Определения: О 1 Функция, която съпоставя на всеки обобщен ъгъл ординатата на точката, в която второто му рамо пресича тригонометричната окръжност, се нарича синус .

kovit
Download Presentation

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН ЪГЪЛ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ НА ОБОБЩЕН ЪГЪЛ Определения. Свойства. Основни тригонометрични тъждества

  2. Функциите синус и косинус Определения: О1Функция, която съпоставя на всеки обобщен ъгъл ординатата на точката, в която второто му рамо пресича тригонометричната окръжност, се нарича синус. О2Функция, която съпоставя на всеки обобщен ъгъл абсцисата на точката, в която второто му рамо пресича тригонометричната окръжност, се нарича косинус. На чертежа:

  3. От определенията следва изводът за знака на стойностите на функциите синус и косинус в зависимост от това, в кой квадрант на координатната система е второто рамо на ъгъла: І квадрант: sin α> 0;cos α> 0 ІІ квадрант: sin α> 0; cos α< 0 III квадрант: sin α< 0; cos α< 0 IV квадрант: sin α< 0; cos α>0

  4. y P Py sina a cosa x O Px

  5. y P Py sina a cosa x Px O

  6. y a Px cosa O x sina Py P

  7. y a Px cosa O x sina Py P

  8. Свойства на функциите синус и косинус Периодичност Тъй като т. Р е пресечна точка на второто рамо не само на ъгъл α, но и на ъглите: α + 360°, α +2.360°, …, α + к.360°, то нейните координати са стойности на функциите синус и косинус за безброй ъгли, чиято мярка е α + к.360°. • sinα =sin(α+360°) = sin(α+2.360°) = … = sin(α+k.360°) • cosα =cos(α+360°) = cos(α+2.360°) = … = cos(α+k.360°) к = ± 1; ± 2; ± 3 … Извод:Функциите синус и косинус повтарят стойностите си през интервал от 360°. Те са периодични функции с период Т = 360°.

  9. Четност и нечетност Определение 1: Ако за две противоположни стойности на аргумента, принадлежащи на дефиниционното множество, една функция приема противоположни съответни стойности, т.е. f(-x) = - f(x), тя се нарича нечетна. Пример: f(x)= ax3 ; f(-x) = a(-x)3= a.(-1)3.x3 = -ax3= - f(x) Определение 2: Ако за две противоположни стойности на аргумента, принадлежащи на дефиниционното множество, една функция приема равни съответни стойности, т.е. f(-x) = f(x), тя се нарича четна. Пример: f(x) = ax4; f(-x) = a(-x)4 = a.(-1)4.x4=ax4 = f(x)

  10. Извод: Функцията косинус е четна. Извод: Функцията синус е нечетна .

  11. Изменение на функциите синус и косинус в интервала [ 0°; 360° ] max (sinα) = 1 min (sinα) = -1 max (cosα) = 1min (cosα) = -1 Пример: Определете максималната и минималната стойност на изразите: 2 + sinα; 4 – cosα; 2 sinα – 3;-3 cosα + 1.

  12. ЗАДАЧИ: Задача 1. Определете какви са по знак стойностите на: а) sin 290°; sin 395°; sin 820°; sin 560°; sin 1380°. б) cos 347°; cos 460°; cos 930°; cos 640°; cos 1020°. Упътване: Използвайте свойството периодичност на функциите синус и косинус и определяне знаците на стойностите им в зависимост от квадранта, в който е второто рамо на ъгъла. Примери: 395°= 35° + 360° sin 395° = sin(35° + 360°) = sin 35° > 0 ( I кв. ) 930° = 210° +2. 360° cos 930° = cos(210° + 2. 360°) = cos 210° < 0 ( III кв. ) Задача 2. Пресметнете: а) sin 390°; sin 780°; sin 510°. б) cos 405°; cos 780°; cos 480°. в) sin (-120°); sin (-90°). г) cos (-60°); cos (-150°). д) sin (-750°); sin (-450°); cos (-540°); cos (-1110°). Упътване: Използвайте свойствата периодичност, четност, нечетност. Примери:sin 390°= sin (30°+360°) = sin 30° = ½ cos 405° = cos (45°+360°) = cos 45° = √2/2 sin (-120°) = - sin 120° = -√3/2 cos (-60°) = cos 60° = ½ sin (-750°) = - sin 750° = - sin (30°+2.360°) = - sin 30° = - ½

  13. Функциите тангенс и котангенс Определение 1: Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл α ≠ 90° + к.180° числото , се нарича тангенс и се означава tg α. , α ≠ 90° + k.180°,защото cos(90°+k.180°) = 0 Определение 2: Функцията, която съпоставя на всеки ъгъл α ≠ к.180°числото , се нарича котангенс и се означава cotg α. , α ≠ k.180°, защото sin k.180° = 0 k = 0, ±1, ±2 …

  14. Представяне на стойностите на функциите тангенс и котангенс с помощта на тангенсовата и котангенсовата ос За произволен обобщен ъгъл α ( α ≠ 90° + к.180°) тангенсът на ъгъл α е равен на ординатата yT на пресечната точка на правата, определена от второто рамо на ъгъл α и остаA t→ . Оста A t→ се нарича тангенсова ос. В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъла, е знакът на стойността на tg α: І квадрант: tg α>0 ІІ квадрант: tg α<0 ІІІ квадрант: tg α>0 ІV квадрант:tg α<0

  15. t y P T P² tga a P¢ A x O

  16. t y P P² a O A x P¢ tga T

  17. t y T tga a P¢ O A x P² P

  18. t y P¢ O A x a tga P² P T

  19. За произволен обобщен ъгъл α ( α ≠ к.180°) котангенсът на ъгъл α е равен на абсцисатаxcна пресечната точка на правата, определена от второто рамо на ъгълα и оста B c→. Оста B c→ се нарича котангенсова ос. В зависимост от квадранта, в който се намира второто рамо на ъгъла, е знакът на стойностите на функцията котангенс: І квадрант: cotg α>0 ІІ квадрант: cotg α< 0 ІІІ квадрант: cotg α>0 ІV квадрант: cotg α< 0

  20. y c cotga B C P² P a P¢ x O

  21. y cotga C B c P² P a x P¢ O

  22. y cotga C c B a P¢ x O P² P

  23. y cotga C B c P¢ O x a P² P

  24. Периодичност на функциите тангенс и котангенс Нека tg α = yTиcotg α = x c Ако ъгъл β = α + 180° , то второто му рамо е лъч OP'→, противоположен на лъча OP→ , т.е. двата лъча лежат на една права p (фиг. 17). Оттук следва, че: tg α = tg ( α ± k.180° ) и cotg α = cotg ( α ± k.180° ) , където k е произволно цяло число. Оттук е ясно, че стойностите на tg α и cotg α се повтарят за всички ъгли, които се различават с кратно на 180°. Извод: Функциите тангенс и котангенс са периодични функции с период 180°

  25. Нечетност на функциите тангенс и котангенс (1) (2) Извод: От (1) и (2) следва, че функциите тангенс и котангенс са нечетни функции.

  26. Изменение на функциите тангенс и котангенс

  27. Основни тъждества на един и същ ъгъл k ≠ 0, ±1, ±2 …

  28. Стойности на тригонометричните функции на някои често използвани ъгли

  29. Задачи: Задача 1. Намерете стойностите на tgα и cotgα, ако: α = 210°; α = 315°; α = 420°; α = 570°; α = - 240°; α = - 585°. Упътване: Използвайте свойствата периодичност и нечетност на функциите тангенс и котангенс. Пример:tg 210° = tg (30° + 180°) = tg 30° = √3/3 cotg(-585°) = -cotg 585° = -cotg(45°+ 3. 180°) = -cotg 45° = -1 Задача 2. Пресметнете: sin 150° + cos 780° + tg 1125°; sin 420° - cos 870° + tg 960°; sin2 489° + cos2489° - 3.tg 190°. cotg 190°. Задача 3. Ако αє (270°; 360°) и cosα = 0,8, намерете sinα; tgαи cotgα. Задача 4. Ако αє (180°; 270°) и tgα= 2, намерете sinα; cosαи cotgα.

  30. Задача 5. Опростете изразите: Задача 6. Докажете тъждествата:

  31. Още по темата може да прочетете и на следния Интернет адрес: http://www1.znam.bg/zmonres/edu/matematika%2011%20klas_Anubis/MAT6/page_05.htm

More Related