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第十章 力矩分配法

第十章 力矩分配法. 本章提要. 本章主要介绍了计算超静定结构的渐近法 ---- 力矩分配法。介绍了力矩分配法的概念、基本原理以及如何用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 通过本章的学习应掌握力矩分配法的基本原理、力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的方法；掌握固端弯矩、转动刚度、分配系数、传递系数；要理解两个状态即固定状态和放松状态。. 本章内容. 10.1 结点力偶的分配； 10.2 单结点的力矩分配； 10.3 多结点的力矩分配；. 10.1 结点力偶的分配. 一、正负号的规定

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第十章 力矩分配法

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  1. 第十章 力矩分配法 本章提要 本章主要介绍了计算超静定结构的渐近法----力矩分配法。介绍了力矩分配法的概念、基本原理以及如何用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 通过本章的学习应掌握力矩分配法的基本原理、力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的方法；掌握固端弯矩、转动刚度、分配系数、传递系数；要理解两个状态即固定状态和放松状态。

  2. 本章内容 10.1 结点力偶的分配； 10.2 单结点的力矩分配； 10.3 多结点的力矩分配；

  3. 10.1 结点力偶的分配 一、正负号的规定 力矩分配法中杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩都规定对杆端顺时针旋转为正号；结点弯矩逆时针为正； 作用于结点的外力偶、作用于转动约束的约束力矩规定对结点或约束顺时针旋转为正号。 二、结点力偶的分配 如图(a)所示刚架，只有一个刚结点，在忽略杆件轴向变形的情况下，该结点不发生线位移而只产生角位移。在该结点1作用一集中力偶M，现计算汇交于结点1的各杆的杆端弯矩值。

  4. 在M作用下，结点1产生转角位移θ1。由位移法转角位移方程，可以写出各杆端弯矩：在M作用下，结点1产生转角位移θ1。由位移法转角位移方程，可以写出各杆端弯矩：  M12=3i12θ1 M13=4i13θ1 M14=i14θ1 M21=0 M31=2i13θ1 M41=-i14θ1 (a) (b)

  5. 取结点1为隔离体如图(b)所示。 由平衡条件∑M1=0得：  M12+M13+M14=M 将式(a)代入上式，解得： θ1=M/（3i12+4i13+i14） 　　将θ1代回式(a)和式(b)，得杆端弯矩如下： M12=3i12M/(3i12+4i13+i14) M13=4i13M/(3i12+4i13+i14) M14=i14M/(3i12+4i13+i14) (c)

  6. M21=0 M31=1/2×4i13M/(3i12+4i13+i14） M41=-i14M/(3i12+4i13+i14) 绘弯矩图M如图(c)所示. (d) 根据上述结果，作如下定义： （1）转动刚度S 等截面直杆近端产生 单位转角时所需施加 的力矩。

  7. 于是，式(a)中列出的各杆杆端弯矩式可统一写成：　　　　 M1k=S1kθ1 　 式中：S1k称为1k杆1端的转动刚度。 （2） 分配系数μ 　　将转动刚度S代入式(c)，则各杆端弯矩可统一写成:

  8. （3） 传递系数C 式(d)中的各杆端弯矩可统一写成: Mk1=C1kM1k 　　式中：C1k称为1k杆1端的传递系数。 传递系数表示了当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。 远端固定时：C=0.5 远端铰支时：C=0 远端滑动时：C=-1

  9. 结论： 当结点作用有力偶荷载M时，结点上各杆近端弯矩等于分配系数乘以M，又称分配弯矩；各杆远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数，也称传递弯矩。 上述利用力矩分配和传递的概念解决结点力偶作用下的计算问题，故称为力矩分配法。

  10. 10.2 单结点的力矩分配计算 一、适用对象 连续梁和无结点线位移的刚架。 二、计算步骤： 1、锁定结点，查表（载常数）计算各杆端固端弯矩和结点约束力矩M（结点固端弯矩之和）。 2、放松结点，结点施加力偶（-M）产生结点转动角位移，力矩分配法计算分配弯矩、传递弯矩。 3、叠加以上两步各杆端的固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩，得到最终杆端弯矩。 4、根据杆端弯矩及杆间荷载叠加法作弯矩图。

  11. 例1 试作图(a)所示连续梁的弯矩图。 解 ：(1)固定结点B，查表9-1，9-2计算各杆端产生的固端弯矩： MFBA=ql2/8=180kN·m MFCB=-100kN·m MFCB= 100kN·m 　　 由结点B的平衡条件∑MB=0求约束力矩： MFB =MFBA+MFBC =(180-100)kN·m=80kN·m (2)放松结点B, 施加力偶MB（-MFB），力矩分配计算分配弯矩、传递弯矩： 分配系数： SBA=3iBA=3×2EI/12=1/2EI SBC=4iBC=4×EI/8=1/2EI

  12. μBA=SBA/(SBA+SBC)= 0.5 μBC=SBC/(SBA+SBC)= 0.5  　　 利用公式∑μ1k=1进行校核： 　　　　∑μBk=μBA+μBC=0.5+0.5=1 　　 所以分配系数计算正确。 分配弯矩： MμBA=μBA·MB=0.5×(-80)kN·m=-40kN·m MμBC=μBC·MB=0.5×(-80)kN·m=-40kN·m 传递弯矩： MCAB=CBA·MμBA=0 MCCB=CBC·MμBC=1/2×(-40)kN·m=-20kN·m

  13. (3)叠加各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩得各杆端最后弯矩值：  MAB=MFAB+MCAB=0 MBA=MFBA+MμBA=(180-40) kN·m=140kN·m MBC=MFBC+MμBC=(-100-40)kN·m=-140kN·m MCB=MFCB+MCCB=(100-20)kN·m=80kN·m (4)作弯矩图。

  14. 10.3 多结点力矩分配计算 一、计算步骤： ① 计算汇交于各结点的各杆端的分配系数μik，并确定传递系数C1k。 ② 根据荷载计算各杆端的固端弯矩MFik及各结点的约束力矩MFi。 ③ 逐次循环放松各结点，并对每个结点按分配系数将约束力矩反号分配给汇交于该结点的各杆，然后将各杆端的分配弯矩乘以传递系数传递至另一端。按此步骤循环计算直至各结点上的传递弯矩小到可以略去时为止 ④ 将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。 ⑤ 绘弯矩图，进而可作剪力图和轴力图。

  15. 例2 用力矩分配法作图(a)所示连续梁的弯矩图。 解：（1）计算分配系数 　　 结点B： SBA=3iBA=3×4EI/2=6EI SBC=4iBC=4×9EI/3=12EI μBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3 μBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3 　　 校核：1/3+2/3=1 结点C： SCB=SBC=12EI SCD=4iCD=4×4EI/2=8EI μCB=SCB/(SCB+SCD)=3/5

  16. μCD=SCD/(SCB+SCD)=2/5 　　 校核：3/5+2/5=1 (2)计算固端弯矩 　　 固定刚结点B和C，由表9-1、9.2求各杆的固端弯矩 MFBA=3/16Pl＝18.75kN·m MFBC=-ql2/12=-15kN·m MFCB=ql2/12 =15kN·m 　　 其余各固端弯矩均为零。 　　 结点B和结点C的约束力矩分别为： MFB=MFBA+MFBC=(18.75-15)kN·m=3.75kN·m MFC=MFCB+MFCD=15kN·m

  17. (3)放松结点C(结点B仍固定)： 　　 对于具有多个刚结点的结构，可按任意选定的次序轮流放松结点，但为了使计算收敛得快些，通常先放松约束力矩较大的结点。在结点C进行力矩分配求各相应杆端的分配弯矩： MμCB=3/5×(-15)kN·m=-9kN·m MμCD=2/5×(-15)kN·m=-6kN·m 　　 同时可求得各杆远端的传递弯矩： MCBC=CCB·MμCB=1/2×(-9)kN·m=-4.5kN·m MCDC=CCD·MμCD=1/2×(-6)kN·m=-3kN·m

  18. (4)重新固定结点C，并放松结点B，进行力矩分配：(4)重新固定结点C，并放松结点B，进行力矩分配： MμBA=1/3×0.75kN·m=0.25kN·m MμBC=2/3×0.75kN·m=0.5kN·m 　　 传递弯矩为 MCAB=0 MCCB=CBC·MμBC=1/2×0.5kN·m=0.25kN·m (5)进行第二轮计算 　　按照上述步骤，在结点C和B轮流进行第二次力矩分配与传递，计算结果填入图(b)相应位置。由上看出，经过两轮计算后，结点的约束力矩已经很小，若认为已经满足计算精度要求时，计算工作停止。

  19. (6)最后将各杆端的固端弯矩和每次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。见图(b)，最后杆端弯矩下画双横线。 (7) 应用拟简支梁区段叠加法可画出弯矩图M如图 (c)所示。

  20. 再 见

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