材 料 力 学

1. 材 料 力 学 第九章 杆类构件的变形

2. 第九章 杆类构件的变形 第一节 变形与应变的概念 第二节 轴向拉伸与压缩时杆件的变形 第三节 圆轴扭转时的变形·刚度条件 第四节 梁的变形·刚度条件 第五节 提高构件刚度的措施

3. §9-1 变形与应变的概念 1.变形 当力作用在物体上时，将引起物体形状及体积的变化，这种变化被称之为变形。 实际构件的变形一般都是非常微小的，需使用相关仪器做精确测量才能观察到，其变形远小于构件的原始尺寸。由于变形极其微小，因此在计算构件的受力平衡时，可以按构件的原始尺寸进行计算，从而使问题的计算简化。

4. 研究变形的目的有两个，一是为了分析构件的刚度问题，即为了保证构件正常工作，构件的变形应限制在允许的范围之内；二是为了求解静不定问题。对于静不定问题，未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数，因此除了静力平衡方程外，还需要寻求补充方程，而补充方程的建立与构件的变形有关。研究变形的目的有两个，一是为了分析构件的刚度问题，即为了保证构件正常工作，构件的变形应限制在允许的范围之内；二是为了求解静不定问题。对于静不定问题，未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数，因此除了静力平衡方程外，还需要寻求补充方程，而补充方程的建立与构件的变形有关。 本章主要讨论杆件在轴向拉伸和压缩、扭转以及弯曲变形时的变形计算。

5. 二、应变 构件的形状是用它各部分的长度和角度来表示。因此构件的变形也可以归结为长度的改变和角度的改变，即线变形和角变形。构件整体的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为了准确描述杆件的变形程度，引入另外一个概念：应变。

6. 正应变 设一正方形物体（图9.1）边AB的原长为Δx，受力变形后长度为Δx+Δu，长度改变量为Δu，则Δu与Δx的比值称为边AB的平均正应变或平均线应变，记为εm，即 图 9.1

7. 一般来说，边AB上各点处的变形量不一定相等，平均正应变的大小会因边长的改变而改变。为了更准确地表示点沿边长方向的变形情况，应选取微元体，由此得出平均正应变的极限值，即 （9.2） 称之为点沿边方向的正应变。此外还可以确定点在其它方向上的正应变。

8. 切应变 构件产生变形时，不仅线段的长度会发生改变，正交线段的夹角也会发生改变，如图9.2所示，变形前BA与BC的夹角为直角，变形后和的夹角变为，当A与C趋近于B时，上述角度变化的极限值 (9.3) 定义为B点的切应变或角应变。 图 9.2 线应变和切应变均为度量一点变形程度的量，且均为无量纲量。

9. §9-2 轴向拉伸与压缩时杆件的变形 当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化（图9.3）。杆件沿轴线方向的 图9.3 变形称为轴向变形；与之垂直方向的变形称为横向变形。

10. 如图9.3所示，设杆件原长为l，在轴向载荷F的作用下，变形后长度为l＇，则杆件的轴向变形为如图9.3所示，设杆件原长为l，在轴向载荷F的作用下，变形后长度为l＇，则杆件的轴向变形为 （a） 轴向变形反映的是总的变形量，并不能说明杆件沿长度方向每一点的变形程度，对于轴向拉压杆件来说，伸长是均匀的，其变形程度可以用单位长度的轴向变形来表示，于是沿杆件轴向的线应变为 （b）

11. 拉压杆的变形量与其所受外力的大小以及材料的性能有关，可以通过试验测得，当杆件应力不超过比例极限时，杆件的伸长量与F及l成正比，与杆件横截面积A成反比，即 （c） 引进比例常数E则有 （9.4a） 上式也可以用轴力来表示 （9.4b） 这一关系式称为胡克定律。从式（9.4b）可见，当杆件受力F和长度l都不变时，杆件的伸长量与EA成反比，EA称为杆件的拉伸（压缩）刚度。

12. （9.4b） 胡克定律也可写为应力与应变成正比的形式，为此将式（9.4b）改写为 （d） 即 （9.5a） 或 （9.5b） 式（9.5）是胡克定律的另一种形式。

13. 拉压杆件在轴向变形的同时，横向也会发生变化，设杆件变形前的横向尺寸为b＇，变形后的横向尺寸为b＇，则横向应变为（9.6）拉压杆件在轴向变形的同时，横向也会发生变化，设杆件变形前的横向尺寸为b＇，变形后的横向尺寸为b＇，则横向应变为（9.6） 试验结果表明，当拉压杆件的应力不超过材料比例极限时，与的比值的绝对值为一常数， 即 。 （9.7） 称为横向变形因数或泊松比，是无量纲量，其数值随材料而不同，可以通过试验来测定。对于大多数各向同性材料来说，

14. 弹性模量与泊松比均为材料的弹性常数。几种常用材料的弹性模量与泊松比的数值如表9.1所示。 表9.1 材料的弹性模量与泊松比

15. 理论与试验均表明，对于各向同性材料，弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系： （9.9） 因此，当已知任意两个材料常数时，由上述关系可以确定另外一个材料常数。

16. 式（9.4）适用于杆件轴力FN和截面面积A都不变化的情况，若杆件的轴力FN沿轴线变化，或截面面积沿杆件轴线变化（其截面沿长度l缓慢变化）如图9.4a所示，不能直接应用式（9.4），这时可以考虑取一长为dx微段（图9.4b），对长为dx的微段可认为满足式（9.4）的应用条件，由式（9.4）可得微段的伸长为 （e）

17. 则整个杆件的伸长为 （9.10）

18. 例9.1如图9.5a所示，一变截面组合钢杆由和两段构成，横截面面积分别为和。材料弹性模量。试求：端的垂直位移以及截面相对于截面的位移。

19. 解：(1)内力：由于外载荷的作用，通过截面法做出钢杆的轴力图，如图9.5b所示。解：(1)内力：由于外载荷的作用，通过截面法做出钢杆的轴力图，如图9.5b所示。 (2)位移：由于， 端相对于固定支撑端的垂直位移为 结果为正，说明杆件被拉长，点位移向上。 计算 相对与 点的位移：

20. …… 结果为正值，说明段被拉长。

21. 例9.2 构件由重力密度为γ、弹性模量为E的材料组成，做成如图所示的圆柱。求垂直悬挂时，在重力作用下其下端的位移。

22. 解：（1）内力：如图9.6b所示，由于任意横截面的轴向内力取决于截面的高度以及截面以下的重量，因此其值沿长度变化，所以需利用式（9.10）计算位移。高为的圆柱体积为 a b 9.6

23. 重量，根据竖直方向力的平衡可得 （2）位移：如图9.6b所示，利用式（9.10）得两端相对位移为 a b 9.6

24. 例9.3 如图9.7a所示桁架，钢杆AC横截面面积A1=960 mm2，弹性模量E1=200 GPa。木杆BC横截面，lBC=1000 mm，F=40 kN，弹性模量E2=10 GPa。求节点C的位移。 （a）

25. 解：（1）求AC、CB两杆的轴力。取铰C为研究对象，受力如图9.7b所示，根据平衡方程可得解：（1）求AC、CB两杆的轴力。取铰C为研究对象，受力如图9.7b所示，根据平衡方程可得 （b） 解得      

26. （a） （2）求AC、BC两杆的变形。根据公式(9.4)得 （伸长） （缩短）

27. （a） （3）求C点位移。两杆变形前铰节于C点，变形后仍应铰节，根据这个关系可以建立起变形协调方程（相容方程），从而求得C点的位移。首先假想将铰拆开，则AC杆的C点伸长至C1，成为AC1，BC杆C点缩短至C2成为BC2。分别以A点和B点为圆心，以AC1和BC2为半径作弧，其交点即为变形后C点的位置。因为变形很小，故可近似用C1和C2处圆弧的切线来代替圆弧，得到交点C3，作为变形后C点的位置（图9.7a）。

28. 将变形情况放大成图9.7c，从图中可以看出： C点水平位移 竖向位移 C点位移为 该题若采用精确求解，则C点水平位移为 （c） 竖向位移为 ，与用切线代替圆弧的近似计算结果非常相近。

29. §9-3 圆轴扭转时的变形·刚度条件 扭转变形是杆件的基本变形之一。它的载荷特征是杆件受力偶作用，力偶作用于与轴线垂直的平面内，使杆产生扭转变形。本节主要讨论圆轴的扭转变形，并在此基础上研究轴的刚度问题。

30. 一、圆轴扭转的变形 圆轴扭转变形的特征是两个横截面绕轴线发生相对转动，设等截面圆杆受一对扭转力偶矩作用，在讨论圆轴的应力计算时，曾得到 （a） 或写作 （b） 表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角，因此沿x积分即可得到相距为l的两个横截面的相对扭转角为 （c）

31. 对于扭矩T、切变模量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化的情况，两截面的相对扭转角为 (9.11) 若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数为常值，也可利用式（9.11）分段求解，然后进行叠加，即 (9.12)

32. 上式表明，扭转角 与扭矩 、轴的长度 成正比,与 成反比，其 中 为圆轴截面的扭转刚度。 对于空心的圆管来说，上式依然可用。只是把轴的极惯性矩换成圆管 的极惯性矩，即将 替换为 ，其中为 圆管内径与外径的比值。 二、 圆杆扭转刚度条件 在进行轴的设计时，除了考虑强度问题外，对于许多轴，还应该对其变形有一定限制，即应满足刚度要求。例如机器的传动轴的扭转角过大，将会使机器在运转时产生较大的振动，精密机床的轴若变形过大，将影响机床的加工精度。在工程实际中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率（或称为单位长度的扭转角），用 来表示，使其最大值不超过某一规定的许用值由式（a）可知，扭转角的变化率为 （9.13）

33. 所以，圆轴扭转的刚度条件为 （9.14） 对于等截面圆轴，要求 （9.15） 在上式中， 代表圆轴单位长度许用扭转角。应该指出，扭转角变化率 的单位为 ，而单位长度许用扭转角的单位一般为 ，

34. 因此，圆轴的扭转刚度条件又可写成 (9.16) 对于一般传动轴， 为 ～ ；对于精密机器与仪表的轴， 之值可根据有关设计标准或规范确定。

35. 例 9.4 图9.8为一圆截面轴 ，受扭转力偶矩 ， 与 作用。已 知 ， ， ， ， ， ， 。试计算该轴的总扭转角 （即截面C对截面A的相对转角），并校核轴的刚度。 图 9.8

36. 解：（1）扭转变形分析： 利用截面法，得与段的扭矩分别为 设上述二段轴的扭转角分别为 和 ，则 由式（9.10）可得 由叠加原理可知杆的总转角为

37. 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。在图9.8中，同时画出了扭转时母线AC的位移情况，它由直线 变为折线 ，由此可更清晰地显示轴的扭转变形。 （2）刚度校核： 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为 可见，该轴的刚度符合要求。

38. 例9.5 图9.9所示圆锥形轴，两端受扭转力偶矩 作用。 设轴长为 ，左、右端的直径分别为 与 ，材料的切变模量为 。试计算轴的总扭转角 。 解：设距离左端距离为 处截面的直径为 ，则 该截面的极惯性矩为

39. 截面的扭矩为 截面的扭矩为 将 和 带入转角公式，得轴的总转角为

40. 例9.6由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比= 0.5 。已知材料的许用切应力[ ] = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大值为Tmax = 9.56 kN·m，轴的许可单位长度扭转角[ ]=0.3 。试选择轴的直径。 解:(1)按强度条件求所需外直径D 由 有

41. (2)按刚度条件求所需外直径D 由 由 ， 有

42. (3)空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知

43. 第四节 梁的变形·刚度条件 本节主要研究梁的变形，其目的是为了进行梁的刚度计算以及超静定梁的分析，同时也为以后压杆稳定等提供有关基础。

44. 一、 挠度与转角 以变形前的轴线为x轴，梁横截面的铅垂对称轴为y轴，外力F作用在铅垂对称面内。由于外力的作用，梁的轴线将由直线变为曲线（图9.10）。变形后梁的轴线称为挠曲线，它是一条连续光滑的曲线。对于平面弯曲问题，挠曲线为一平面曲线，且与外力在同一平面内。 图9.10

45. 梁的变形可用横截面形心的线位移与截面角位移表示。横截面的形心（即轴线上的点）在垂直于梁轴线方向的位移 称为挠度。不同截面的挠度一般不同，如果沿变形前的梁轴线建立坐标轴 ，则挠曲线方程为 (9.17)

46. 当梁弯曲时，由于梁的轴线长度保持不变，因此，截面形心沿梁轴线方向也存在位移。但在小变形的条件下，挠曲线是一条很平坦的曲线，横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可忽略不计，式（9.17）即代表挠曲线的解析表达式，称为挠曲线方程。 弯曲变形中梁的横截面相对其原来位置转过的角度θ称为转角，因为挠曲线是一条平坦的曲线，在实际工程中，转角θ一般都很小，基本不超过1º (或0.0175rad)。由挠曲线方程得 （9.18） 即横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。由此可见，只要求得挠曲线方程，就能确定梁任一横截面的挠度和转角。挠度以向上为正，转角以截面逆时针转动为正。

47. 二、 挠曲线的近似微分方程 前面在导出纯弯曲正应力公式时，曾得到用中性层曲率表示的弯曲变形公式为 （a） 横力弯曲中，如果忽略剪力的影响，则梁轴线的曲率为 （b） 其中 与 均为坐标x的函数，即挠曲线上任一点处的曲率 与该点处横截面上的弯矩 成正比，而与该截面的弯曲刚度 成反比。 由微积分的基本知识，挠曲线与曲率满足以下关系

48. （c） 将（b）式代入（c）式，可得 （9.19） 这就是挠曲线微分方程，是一个二阶非线性微分方程，适用于任意的弯曲变形。

49. 由于梁的挠曲线为一平坦曲线，因此 与1相比十分微小，可忽略不计，故上式可近似的写为 图 9.11

50. 建立如图9.11所示坐标系，坐标轴以向上为正。由图可知：当梁段承受正弯矩时，挠曲线为向下凸曲线（图9.11a），有极小值， 为正； 反之，当梁段承受负弯矩时，挠曲线为向上凸曲线（图9.11b），有极大值， 为负。即 与 的 符号相同，故 （9.20） 式（9.20）即为梁的挠曲线近似微分方程，这是求梁变形的基本公式。