Автор: Смирнов Михаил 11 класс Научный руководитель:

1. Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах Автор: Смирнов Михаил 11 класс Научный руководитель: Секацкая Е. Г., учитель математики и информатики шк.№21 Научный консультант: Степаненко В. А., доцент кафедры высшей математики СФУ

2. Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной треугольной пирамиды («малая проблема Циха»), а далее – и произвольного выпуклого многогранника в трехмерном пространстве («большая проблема Циха»). В данной работе мы предлагаем вам решение этих проблем. Цель научной работы: вычислить сумму телесных углов при вершинах выпуклого многогранникав трёхмерном пространстве. Применить полученные формулы при решении некой экстремальной задачи. Определение :Мероймногогранного угла называется площадь, ограниченная сферическим многоугольником, полученным пересечением гранеймногогранного угла сферой с радиусом, равным единице и с центром – в вершине многогранного угла. Определение : Телесный угол- часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла. Определение :Стерадиан – единица измерения телесного угла.Стерадиан - телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы. Полная сфера образует телесный угол, равный 4

3. Идея решения. Отличие от подхода Циха Цих советовал решать задачу геометрически, рассматривая разнотипные фигуры на сфере (три остроугольных и три- трапециоподобных фигуры), не рассматривая диаметрально противоположную ситуацию Мы же рассматриваем три однотипные тупоугольные фигуры- внешние углы к сферическому треугольнику- “ломтики”, и рассматриванием диаметрально противоположную ситуацию(на другом полюсе).

4. Лемма о площади “ломтика”. Следствие Угол COD есть величина двугранного угла «ломтика» сферы ACBDA, и он равен углу между касательными прямыми к “меридианам” ABC и ADB в их общей точке A. Он соответствует сферическому углуCAD, обозначает sCAD или sA. Найдем площадь «ломтика» ACBDA.- внешнего сферического угла треугольника на сфере. Лемма 1:SABCDA= Доказательство: Пусть COD= рад, тогда из простой пропорции получаем SABCDA= 2- 4 Что и требовалось доказать. Следствие: В случае единичной сферы (R=1) : SABCDA =2 

5. Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла OABC вычисляется по формуле OABC=S = 2-(++) - внешние сферические углы к внешнему сферическому треугольнику ABC. Напомним, что площадь измеряет в стерадианах величину искомого трехгранного угла Доказательство: Обозначим “ломтики” Как отмечалось выше, вся сфера состоит из трех ломтиков и двух равных сферических треугольников. Поэтому (2+2+2)+2S =4. Поделим на2 . +++S =2, где S -мера трехгранного угла, тогда OABC=S =2-(++)=2--- Что и требовалось доказать

6. Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла Лемма 3: OABCD=S4-ка=2-(1+2+3+4) Доказательство: (21+22+23+24)+2S4-ка= 4. Поделим обе части равенства на 2. 1+2+3+4+S4-ка=2, где S4-ка-мера четырехгранного угла, то OABCD=S4-ка =2-(1+2+3+4)=2-1-2-3-4, где n– внешние углы. Итак, OABCD=S4-ка=2-(1+2+3+4)

7. =2-(++). OABC= S OABCD=S4-ка =2-(1+2+3+4) Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла. Лемма 4: OABCD=Sn=2-(1+2+…+n), OA1A2...An=

8. Решение «Малой проблемы Циха» Выражение телесныхуглов через внешние перпендикуляры граней n-гранный (телесный) угол измеряется с помощью двугранных, образованных его гранями, а измерение двугранных углов мы сводим к углам между внешними перпендикулярами к его граням. Посмотрим вдоль (навстречу) оси OA , мы увидим ситуацию, изображенную на рисунке. Очевидно, что двугранный равен углу между векторами - внешними перпендикулярами к соответственным граням , и как углы с соответственно перпендикулярными сторонами ( и оба одновременно тупые или острые).

9. A=A1,B=A3,C=A2, По лучу OA1 пересекается ,(т.е. ) Рассмотрим в точке A1 их внешние перпендикуляры Аналогично, в точке A2(=С): Косинус угла между ними определяется по формуле . И в точке A3(=B) : а сам внешний угол при вершинеA1: .

10. Обозначим для удобства векторы Тогда OA1A2A3= Воспользуемся симметрией скалярного умножения и перепишем более удобно полученную формулу: OA1A2A3= Последнюю запись формализуем: OA1A2A3= . Аналогично, когда угол n-гранный, получаем: OA1A2...An= , где

11. Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды A1A2A3A4 A2A1A4A3 A3A1A2A4 A4A1A3A2=

12. Искомаясумма: A1A2A3A4+ A2A1A4A3+ A3A1A2A4+ A4A1A3A2= Перепишем еще более удобно: (1234)+ (2143)+ (3124)+ (4132)=

13. Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные векторы внешних перпендикуляров к ее граням: Ai=

14. Пример 2: (усложненный пример 1)Рассмотрим октаэдр с центром в начале координат, тогда (1,1,1);(-1,1,1);(-1,-1,1);(1,-1,1)координаты внешних перпендикуляров его граней. Нормируем эти векторы: Вычислим сумму арккосинусов соответствующих попарных скалярных произведений: тогда -величина одного телесного угла. Таким образом, искомая сумма всех телесных углов равна = Ai

15. Заметим, что октаэдр состоит из 8 одинаковых пирамид из примера 1, тогда должно выполняться тождество: которое сводится к более простому а последнее эквивалентно .

16. Решение «Большой проблемы Циха» Сумма телесных углов n – гранника С учетом соотношения Эйлера: Г+В-Р=2 , где Г- количество граней, В-вершин, Р-ребер многогранника, для задания выпуклого n-гранника мало задать число граней, нужно указать еще и число вершин. Например, у куба и фигуры, составленной из двух треугольных пирамид число граней одинаково (6), а числа вершин различны ( 8 и 5, соответственно). Пусть в трехмерном пространстве задан выпуклый n-гранник с m-вершинами, тогда сумма всех его телесных углов при m вершинах представляется следующей формулой: где n- число граней , а индекс j пробегает количество всех ребер.

17. Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n- гранников (m- вершинников) найти те, сумма телесных углов которых минимальна и максимальна. Пример 1: Дана прямоугольная пирамида с вершинами на осях координат.Три вершины фиксированы: (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;0), а четвертая движется по оси OZ и имеет координаты (0;0;h). Выпишем внешние единичные нормали для всех трех координатных граней : (0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0) и для наклонной грани: A1равен A2 и Заметим, кроме того, что угол ( очевидно), углы A3 равны, поэтому достаточно найти только угол A2и угол A4. Вычислим их. A2= A4= Находим искомую сумму углов ( как функцию параметра h):

18. Используем формулу тогда производная всей суммы равна: Так как знаменатель строго положителен, знак производной определяет только числитель. Решим уравнение: Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического смысла(0<h<+∞). При h (0;1) функция монотонноубывает, а при h (1;+∞) функция монотонно возрастает, имея в точке h=1 минимум, равный И, наконец, рассмотрим два предельных случая, когда h и h . При h , когда пирамида сплющивается к своему основанию- треугольникусумма углов равна: . . . При h , когда пирамида вытягивается в вертикальную бесконечную треугольную призму, сумма углов также равна Заметим, что при h =1 ответ, как и ожидалось, совпадает с полученным(*).

19. Пример 2. Рассмотрим правильную пирамиду с вершинами в точках A, B, C, D. Тогда A= B= C. Достаточно вычислить A и затем утроить его. D вычисляется самостоятельно. Выпишем внешние единичныенормали , , и -основание. Тогда: Решим уравнение: не имеет геометрического смысла. корень при функция убывает ивозрастает при Знак определяется величиной

20. Рассмотрим пирамиду АBCO. (0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0), Будем варьировать три вершины. Вычислим углы: Данная сумма углов инвариантна относительно круговой подстановке переменных a, b, c: Найдем производные : Обозначим тогда:

21. Тогда: Данная система инвариантна относительно круговой подстановки переменных. Следовательно, она имеет решение с одинаковыми координатами, т.е. A=B=C=t, тогда для переменной t получается одно тождество, справедливое при всех значениях t: . общее решение нашей задачи будет(t >0) и, окончательно, получаем a=b=c= . Вывод: сумма внутренних углов пирамиды с тремя вершинами на осях координат и четвертой- в начале координат, минимальна только тогда, когда вершины, лежащие на осях, равноудалены от начала координат.

22. Сравнительный анализ внешние углы сферического треугольника. , где , где внутренние углы сферического треугольника. Аналогично и для n-угольника:

23. Заключение • В ходе работы мы рассматриваем вспомогательные задачи, формулируем и доказываем ряд лемм о вычислении телесных углов; получаем новые формулы, выражающиетелесные углычерез внешние перпендикуляры граней; вычисляем сумму телесных углов при вершинах треугольной пирамиды, а также получаем формулу для вычисления суммы всех телесных углов выпуклого n-гранника с m-вершинами. Вводим ряд новых обозначений. • Показываем применение нашего подхода к решению вариационных задач