Теорема Піфагора

1. Теорема Піфагора

2. ПіфагорСамоський “ Не вважай себе великою людиною за розміром твоєї тіні під час заходу Сонця. ” ПІФАГОР (бл. 580 – бл. 500 р. до н.е.)

3. Про життя Піфагора відомо небагато. Він народився в 580 р. до н.е. в Стародавній Греції на острові Самос, який знаходиться в Егейському морі біля берегів Малої Азії, тому його називають Піфагором Самоським. Народився Піфагор в родині різьбяра по каменю, який знайшов швидше славу, ніж багатство. Ще в дитинстві він виявляв неабиякі здібності, і коли підріс, невгамовній уяві юнака стало тісно на маленькому острові. Піфагор перебрався до міста Мілет і став учнем Фалеса, якому на той час йшов восьмий десяток. Мудрий вчений порадив юнакові відправитися до Єгипту, де сам, колись вивчав науки. Перед Піфагором відкрилася невідома країна. Його вразило те, що в рідній Греції боги були в образі людей, а єгипетські боги - в образі напівлюдей-напівтварин. Знання були зосереджені в храмах, доступ до яких був обмежений.

4. Піфагору потрібні були роки, щоб глибоко вивчити єгипетську культуру перш, ніж йому було дозволено познайомитися з багатовіковими досягненнями єгипетської науки. Коли Піфагор осягнув науку єгипетських жерців, то почав збиратися додому, щоб там створити свою школу. Жерці, не бажали поширення своїх знань за межі храмів, не хотіли його відпускати. З великими труднощами йому вдалося подолати цю перешкоду. Однак по дорозі додому, Піфагор потрапив у полон і опинився в Вавилоні. Вавилоняни цінували розумних людей, тому він знайшов своє місце серед вавілонських мудреців. Наука Вавилона була більш розвиненою, ніж єгипетська. Найбільш вражаючими були успіхи алгебри. Вавілоняни винайшли і застосовували при сеті позиційну систему числення, вміли розв'язувати лінійні, квадратні і деякі види кубічних рівнянь.

5. Піфагор прожив у Вавилоні близько десяти років і в сорокарічному віці повернувся на батьківщину. Але на острові Самос він залишався недовго. На знак протесту проти тирана Полікрата, який тоді правив островом, оселився в одній з грецьких колоній Південної Італії в місті Кротоні. Там Піфагор організував таємний союз молоді з представників аристократії. В цей союз приймалися з великими церемоніями після довгих випробувань. Кожен вступник відрікався від свого майна і давав клятву зберігати в таємниці вчення засновника. Піфагорійці, як їх пізніше стали називати, займалися математикою, філософією, природничими науками. В школі існував декрет, за яким авторство всіх математичних робіт присвоювалося вчителю.

6. Відкриття піфагорійців Піфагорійцями було зроблено багато важливих відкриттів в арифметиці і геометрії, в тому числі: • теорема про суму внутрішніх кутів трикутника; • побудова правильних багатокутників і розподіл площини на деякі з них; • геометричні способи розв'язування квадратних рівнянь; • розподіл чисел на парні і непарні, прості і складні; введення фігурних, досконалих і дружніх чисел; • доведення того, що корінь з двох не є раціональним числом; • створення математичної теорії музики і вчення про арифметичні, геометричні і гармонійні пропорції та багато іншого.

7. Відомо також, що крім духовного і морального розвитку учнів Піфагора турбувало їх фізичний розвиток. Він не тільки сам брав участь в Олімпійських іграх і двічі перемагав у кулачних боях, але і виховав плеяду великих олімпійців. Близько сорока років учений присвятив створеної ним школі і, за однією з версій, у віці вісімдесяти років Піфагор був убитий у вуличній сутичці під час народного повстання. Після його смерті учні оточили ім'я свого вчителя безліччю легенд. Союз піфагорійців був таємний. Емблемою або розпізнавальним знаком союзу була пентаграма-п'ятикутна зірка. Пентаграмі привласнювалася здатність захищати людину від злих духів.

8. Поворотна симетрія 5-го порядку Цей п'ятикутник має цікаву геометричну властивість: поворотнью симетрію п'ятого порядку, тобто має п'ять осей симетрії, що суміщаються при кожному повороті на 72 градуси. Саме цей тип симетрії найбільш розповсюджений у живій природі у квіток незабудки, гвоздики, колокольчика, шипшини, лапчатки гусинної, вишні, груші, малини, горобини і т.д. Поворотна симетрія п'ятого порядку зустрічається і в тваринному світі, наприклад, у морської зірки і панцира морського їжака.

9. Теорема ПІФАГОРА: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

10. Для закріплення щогли потрібно встановити 4 троса. Один кінець кожного троса повинен кріпитися на висоті 12 м, інший на землі на відстані 5 м від щогли. Чи вистачить 50 м троса для кріплення щогли? Задача

11. Задача Розв`язання <KLM вписаний в коло іспирається на діаметрKM. Оскількивписані кути, якіспираються на діаметр - прямі, то KLM прямий. Отже, KLM – прямокутний. За теоремою Піфагора для KLMзгіпотенузою КМ: KM2 = KL2 + KM2 = 52 + 122= 169, KM = 13.

12. Рисунок – опорнийсигнал Якщо ви раптом забули теорему Піфагора, то пропонується рисунок-опорний сигнал, який дуже легко запам'ятовується. Відрубав Іван-царевич дракону голову, а у нього дві нові виросли. На математичній мові що означає: провели в трикутнику ABC висотуCDі утворились два нові прямокутні трикутникиADCі BDC. Згадавши цей малюнок, ви згадайте додаткову побудову і початок доведення теореми. АС2 + ВС2 = АВ2 АВ=AD+DB AC2+BC2 = AB(AD+DB) AC2 = ADAB BC2 = DBAB

13. Відкриття теореми Піфагора оточено ореолом красивих легенд. Розповідають, що він на честь цього відкриття приніс у жертву бика, а у деяких легендах один бик перетворився на цілу сотню биків. Сонет Шаліссо: Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно бело жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, её почуяв, вслед. Они не в силах помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

14. Теорема Піфагора - одна ізнайголовніших теорем геометрії. Але, крім того, теорема Піфагорамаєвеликепрактичнезначення: вона застосовується в геометріїівжитті буквально на кожному кроці.

15. Практичні стародавні задачі

16. На березі річки тополя росла І вітру порив її стовбур зламав. Тополя упала і стовбур її Кут прямий з течією ріки утворив. Пам’ятай, в тому місці ріка Чотири фути була шириною. Верхівка схилилась до краю, Залишивши три фути всього над водою. Прошу, тепер швидше скажи мені ти: Тополя якої була висоти? Часто математики записувалисвоїзавдання у віршованійформі. Ось однеіззавданьіндійського математика XII століттяБхаскара:

17. Задача із китайської «Математики в дев'яти книгах» Є водойм зі стороною в 1 чжан = 10 чі. У центрі його росте очерет, який виступає над водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до берега, то він як раз торкнеться його. Питається: яка глибина води і яка довжина очерету?

18. Задача зпідручника«Арифметика» ЛеонтіяМагницкого Захотілосьдеякійлюдині до стінидрабинупритулити, висотастінитієї 117 стоп, а довжинадрабини 125 стоп. І знати хоче, скільки стоп цядрабинамаєвіднижньогокінцяі до стіни.

19. Застосування теореми Піфагора

20. Будівництво • Вікна • Дахи • Блискавковідводи

21. Вікна У будинках готичного і ромaнського стилю верхнічастинивіконрозчленовуютьсякам'яними ребрами, які не тільки грають роль орнаменту, а йсприяютьміцностівікон. На малюнку представлений простий приклад такого вікна в готичномустилі. Спосібпобудовийогодужепростий: З малюнка легко знайтицентри шести дуг кіл, радіусиякихдорівнюютьширинівікна(b)для зовнішніх дуг і половині ширини (b / 2), для внутрішніх дуг. Залишається ще повна окружність, що стосується чотирьох дуг. Так як вона укладена між двома концентричними колами, то її діаметр дорівнює відстані між цими колами, тобто b / 2і, отже, радіус дорівнюєb / 4. А тоді стає ясним і становище її центру. У розглянутому прикладі радіуси перебували без всяких ускладнень. В інших аналогічних прикладах можуть знадобитися обчислення; покажемо, як застосовується в таких задачах теорема Піфагора

22. У романській архітектурі часто зустрічається мотив, представлений на малюнку. Якщо bяк і раніше означає ширину вікна, то радіуси півкола будуть рівні R = b / 2 іr = b / 4. Радіусp внутрішнього кола можна обчислити з прямокутного трикутника, зображеного на рисунку пунктиром. Гіпотенуза цього трикутника, що проходить через точку дотику кіл, дорівнює b / 4 + p, один катет дорівнює b / 4, а іншийb/2-p. За теоремою Піфагора маємо: (b / 4 + p) = (b / 4) + (b/4-p) або b/16 + b * p / 2 + p = b/16 + b/4-b * p + p, звідки b * p / 2 = b/4-b * p. Поділивши на bі скоротивши подібні члени, отримаємо: (3/2) * p = b / 4, p = b / 6.

23. Дахи При будівництві будинків і котеджів часто постає питання про довжину крокв для даху, якщо вже виготовлені балки. Наприклад: у будинку задумано побудувати двосхилий дах (форма в перетині). Якої довжини повинні бути крокви, якщо виготовлені балки AC = 8 м, іAB = BF. Розв'язання: Трикутник ADC - рівнобедренийAB = BC = 4 м, BF = 4 м. Якщо припустити, що FD = 1,5 м, тоді: А) З трикутника DBC: DB = 2,5 м, Б) з трикутника ABF:

24. Блискавковідводи Відомо, що громовідвід захищає від блискавки всі предмети, відстань яких від його заснування не перевищує його подвоєної висоти. Необхідно визначити оптимальне положення блискавковідводу на двосхилим даху, що забезпечує найменшу його доступну висоту. Розв'язання: З теореми Піфагора h2 ≥ a2 + b2,отжеh ≥ (a2 + b2) 1/2.

25. Астрономія В кінці дев'ятнадцятого століття висловлювалися різноманітні припущення про існування мешканців Марса подібних людині, це стало наслідком відкриттів італійського астронома Скіапареллі (відкрив на Марсі канали які довгий час вважалися штучним) та ін. Природно, що питання про те, чи можна за допомогою світлових сигналів пояснюватися з цими гіпотетичними істотами, викликали жваву дискусію. Паризькою академією наук була навіть встановлена ​​премія в 100000 франків тому, хто перший встановить зв'язок з якимось мешканцем іншого небесного тіла; ця премія все ще чекає щасливця. В жарт, хоча і не зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора. Невідомо, як це зробити, але для всіх очевидно, що математичний факт, який виражається теоремою Піфагора має місце всюди і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.

26. На цьому малюнку показані точки A іB і шлях світлового променя від A до B і назад. Шлях променя показаний зігнутою стрілкою для наочності, насправді, світловий промінь - прямий. Який шлях проходить промінь? Оскільки світло йде туди і назад однаковий шлях, запитаємо одразу: чому дорівнює відстань між точками? На цьому малюнку показаний шлях світлового променя тільки з іншої точки зору, наприклад з космічного корабля. Припустимо, що корабель рухається вліво. Тоді дві точки, між якими рухається світловий промінь, стануть рухатися вправо з тією ж швидкістю. Причому, в той час, поки промінь пробігає свій шлях, вихідна точка A зміщується і промінь повертається вже в нову точкуC.

27. Мобільний зв'язок Яку найбільшу висоту повинна мати антена мобільного оператора, щоб передачу можна було приймати в радіусі R = 200 км? (радіус Землі дорівнює 6380 км.) Розв'язання: Нехай AB=x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB=OA+ABOB=r + x. Застосовуючи теорему Піфагора отримаємо: Відповідь: 2,3 км.