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第二章

第二章. 标量衍射理论. （ Scalar diffraction theory ）. 衍射. l Sommerfeld 定义. 标量 衍射理论（ scalar diffraction. theory ）的适用范围. 电场的偏振性可以忽略， （ 傍轴近似 paraxial. aproximation ）. 以 Kirchhoff 衍 射公式讨论衍射问题，并. 利用线性系统理论赋予新的解释。. 把衍射过程看做线性不变系统，讨论其 脉冲响应和传递函数。. 2.1 基尔霍夫衍射理论 2.2 衍射的角谱理论. 2.3 菲涅尔衍射和夫琅和费衍射

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  1. 第二章 标量衍射理论 （Scalar diffraction theory）

  2. 衍射 l Sommerfeld定义 标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围 电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.

  3. 以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。 把衍射过程看做线性不变系统，讨论其 脉冲响应和传递函数。

  4. 2.1 基尔霍夫衍射理论 2.2 衍射的角谱理论 2.3菲涅尔衍射和夫琅和费衍射 2.4 透镜的傅里叶变换性质 重点掌握光的传播就是光的衍射过程这一物理思想，理解 角谱概念，在傅里叶光学的角度重新理解透镜这一基本光 学元件的成像机理。

  5. 2.1 基尔霍夫衍射理论 （Kirchhoff diffraction theory）

  6. 2.1.1 Huygens-Fresnel 原理与kirchhoff 衍射 一、惠—菲原理 波传到的任何一点都是子波的波源；设S是某光波的波阵面， 在其上任一面元dsi都可看作是次波的光源，各子波在空间某点 的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。 e jkr U (Q) = c òòU 0 ( P) K (q ) S dU(Q) Q 方向因子K (q ): dS r q = 0 , K = K m ax q - Þ K(q) ¯ n q P r · · dS S(波前) q ³p /2, K(q) = 0 无后退波 •表征子波传播并非各向同性

  7. 二、Kirchhoff衍射 a0 e jkr0 cos(n, r ) - cos(n, r0 ) e jkr 2 1 jl òòS r0 [ ] r ds U (Q) = Kirchhoff衍射公式 任意单色光照明 下对孔径平面产 生的光场分布 a 0 r0 U 0 ( P ) = e jkr0 e jkr 1 j l òòS U 0 ( P ) K (q ) r d s U ( Q ) = e jkr r U (Q) = c òòU 0 ( P) K (q ) S dS 1 j l cos(n, r ) - cos(n, r0 ) 2 c = K (q ) =

  8. 讨论： 1. ¥ ò -¥ò U 0 ( P) K (q ) r ds e jkr 1 jl U (Q) = 2. 描写衍射屏宏观光学性质的复振幅透过率 U t ( P ) U i ( P ) t ( P ) = 衍射 障碍物 3. 把衍射看作光振动由衍射屏后表面到观察面的自由传 播 U 0 ( P ) = U t ( P ) = t ( P )U i ( P )

  9. 三、H-F原理与叠加积分 e jk r r 1 j l K (q ) h ( P , Q ) = 令 òò U S U ( Q ) = ( P ) h ( P , Q ) ds 0 与线性系统公式比较: 1. 叠加积分: 衍射系统与线性系统 2. h(P,Q)的物理意义

  10. 四、相干光场在自由空间传播的平移不变性 e jk r r cos(n, r ) - cos(n, r0 ) 2 近轴条件下： 1 j l K ( q ) h ( P , Q ) = K (q ) » 1 K (q ) = 当点光源p足够远，而且入射光在孔径 平面上各点的入射角都不大，此外，如 果观察平面与孔径平面的距离远大于孔 径，而且在观察平面上仅考虑一个对孔 1 e jk r j l z h ( P , Q ) = 径上各点张不大的范围 1 jlz h(x0 , y0; x, y) = exp[ jk z + (x - x0 ) + ( y - y0 ) ] 2 2 2 忽略倾斜因子的变化后，就可以把光波 过一个线性不变系统。 ¥ dy -¥ = U 0 ( x, y) * h( x, y)

  11. r = z 2 + ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 ¥ 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ; , )U x y U x y h x y x y dx= ò ò dy -¥

  12. 四、相干光场在自由空间传播的脉冲响应近似表达式四、相干光场在自由空间传播的脉冲响应近似表达式 x - x 0 z y - y 0 z r = z[1 + ( ) + ( 2 ) ]1 2 2 ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 [( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 ]2 2 4 当衍射孔径和观察范围确定后，只要z取得足够大 - + L] r = z[1 + 2z 8z 1 x - x0 2 1 y - y0 2 r = z[1 + ( ) + ( ) ] 2 z 2 z 菲涅尔近似 1 jlz h(x - x0 , y - y0 ) = exp[ jk z2 + (x - x0 )2 + ( y - y0 )2 ] 菲涅尔近似 exp( jkz) jlz k 2z h(x - x0, y - y0 ) = [(x - x0 )2 + (y - y0)2 ]} exp{ j

  13. 只要使传播距离充分大于孔径的 线度和观察范围的线度即可 菲涅耳衍射公式 ¥ ò -¥ò U 0 ( x0 , y0 ) exp[ jk ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 2z exp( jkz) jl z U ( x, y) = ]dx0 dy0 在菲涅耳近似的基础上进一步限定传 播距离z远远大于孔径的线度，可以 忽略(x02+y02)/(2z)，而观察范围的 线度与z相比尽管很小，但还未小到 可以略去(x2+y2)/(2z)的程度 x 2 + y 2 x0 x + y0 y 2 z z 夫琅禾费近似 或远场近似 r = z + - exp( jkz) jl z k k 2z z h( x0 , y0 ; x, y) = ( x2 + y 2 )]exp[- j ( x0 0 y)] x + y exp[ j

  14. 2.2 衍射的角谱理论

  15. 一、单色平面波与本征函数 相干光场在自由空间两平面间的传播是二维线性空不变系统 exp é j 2p (x x +h y )û 线性平移不变系统的本征函数 振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅分布 ë ù 如果把相干光场在自由空间两平面间的传播看作是通过一个二维线性空不 变系统，则单色平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统的本征函 数。 平面波在自由空间中传播一段距离后，只是相位改变一定数值， 而无其它变化，即相当于乘上一个复常数 单色

  16. 二、角谱的传播 cos a cos b U 0 ( x0 , y0 ) 角谱 A0 ( , ) 孔径平面光场 l l ¥ U 0 ( x0 , y0 ) = ò ò A0 ( -¥ cosa cos b cosa l cos b cosa cos b )exp[ j 2p ( x0 + y0 )]d ( , )d ( ) l l l l l cos a cos b U ( x, y) A( , ) 观察平面光场 角谱 l l ¥ U ( x, y) = ò ò A( -¥ cosa cos b cosa l cos b l cosa cos b )exp[ j 2p ( x + , y)]d ( )d ( ) l l l l 衍射公式 U ( x, y) U 0 ( x0 , y0 ) ? cos a cos b cos a cos b A( , ) A0 ( , ) l l l l

  17. (Ñ + k )U ( x, y ) = 0 2 2 标量波动方程 cosa cos b cosa cos b d 2 2 ) + k 2 (1 - cos2 a - cos2 b ) A( ) = 0 A( , , l l l l dz cos a cos b cos a cos b ) exp( jkz 1 - cos2 a - cos2 b ) ) = A0 ( A( , , l l l l 讨论： cos a + cos b < 1 2 2 1： 对应于空间某一确定方向传播的平面波，这些平面波分量在空间传播一 定距离，仅仅是引入了一定的相位移动，而振幅不发生变化。

  18. cos a cos b cos a cos b ) exp( jkz 1 - cos2 a - cos2 b ) ) = A0 ( A( , , l l l l cos 2 a + cos 2 b > 1 2： m = k cos 2 a + cos 2 b - 1 cos a cos b cos a cos b ) exp(- m z ) ) = A0 ( A( , , l l l l 在几个波长的距离内几乎衰减为零，对应于这些传播方向波动分量称为 倏逝波． cos2 a + cos2 b = 1 3： 该波动分量的传播方向垂直于z轴，它在z轴方向的净能量流为零．

  19. cos a cos b cos a cos b ) exp( jkz 1 - cos2 a - cos2 b ) ) = A0 ( A( , , l l l l A (x ,h ) = A0 (x ,h ) H (x ,h ) A(x ,h ) A0 (x ,h ) H (x ,h ) = 传递函数 = exp[ jkz 1 - (lx ) 2 - (lh ) ] 2 ìïexp[ jkz 1 - (lx )2 - (lh )2 ] x 2 + h 2 < 1/ l 2 其它 H (x ,h ) = í ïî 0 等价于低通滤波器，截止频率1/l

  20. 基尔霍夫理论 系统的脉冲响应：球面子波在观 空域 球面子波 察平面上的复振幅分布 角谱理论 频域 平面波 系统的传递函数：脉冲响应的傅 立叶变换

  21. 三、孔径对角谱的影响 U i ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 ) 入射到孔径平面的光场 衍射屏的复振幅透过率 U 0 ( x0 , y0 ) = U i ( x0 , y0 )t ( x0 , y0 ) 衍射屏后表面光场 cos b 0 i U i ( x0 , y0 ) = 1 单位振幅平面波垂直入射 cos a cos b cos a cos b ) = d ( Ai ( , , ) l l l l cos a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b ) = d ( ) = T ( A0 ( , , ) *T ( , , ) l l l l l l l l 空域限制入射波面大小， 频域角谱分量大大增加

  22. 2.3 菲涅尔衍射和夫琅和费衍射

  23. 一、菲涅耳衍射 ¥ ò -¥ò U0 ( x0 , y0 ) exp[ jk ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 2z exp( jkz) jl z U ( x, y) = ]dx0 dy0 2 2 2 近似条件 2p éë( x - x0 0 ) ùû ) + ( y - y Dj = l 8z3 ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 取最大值时，Δj<<2p 当 2 2 2 éë ûù ( x - x0 0 ) ) + ( y - y z >> 3 即 max 8l 充分但非必要条件 在一般问题中，菲涅尔衍射很容易实现

  24. 二、菲涅耳衍射的角谱理论推导 co s a co s b cos a cos b cos a cos b ) = A0 ( A ( , , ) H ( , ) l l l l l l cos a cos b ) = exp[ jkz 1 - cos 2 a - cos 2 b ] H ( , l l cos 2 a + cos 2 b < 1 当 2 2 12 1 1 2 8 2 2 2 éë( x - x0 0 ) ùû ) + ( y - y z 8 l (cos 2 a + cos 2 b ) 2max << 1 z >> 3 max 8l 菲涅尔近似

  25. cos a cos b ) = exp[ jkz 1 - cos 2 a - cos 2 b ] H ( , l l 2 2 1 2 k 2 1- cos a - cos b »1- (cos2 a + cos2 b ) cosa cos b ) = exp( jkz )exp[- j z (cos2 a + cos2 b )] H ( , l l H (x ,h ) = exp( jkz) exp[- jpl z(x 2 + h 2 )] cosa cos b cosa cos b cosa cos b ) = A0 ( A( , , )H( , ) l l l l l l 作傅立叶逆变换 ¥ ò ò U -¥ U ( x, y ) = ( x0 , y0 )h( x - x0 , y - y0 )}dx0 dy0 0

  26. ¥ , y - y ) +h( y - y -¥ 1 jl z k 2z = [(x - x0 )2 + ( y - y0 )2 ]} exp( jkz)exp{ j ¥ exp( jkz)ò ò U0 (x0 , y0 )exp{ j -¥ 1 jlz k 2z U(x, y) = [(x - x0 )2 + ( y - y0 )2 ]}dx0dy0 1 jlz k 2z = (x2 + y2 )] exp( jkz)U0 (x0 , y0 )*exp[ j 与基尔霍夫理论得出的叠加积分完全相同

  27. 二、Tabor 效应 定义：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函 数的图片时，在该透明片后的某些距离上出现该周期函数 的像，这种衍射成像称作泰伯效应。 复振幅透过率 ¥ n =-¥ n d g0 (x0 ) = å cn exp( j2p x0 ),(n = 0, ±1, ±2,L) 用单位振幅的平面波垂直照明，紧靠物体后的光场分布 ¥ n =-¥ n d g0 (x0 ) = å cn exp( j2p x0 ),(n = 0, ±1, ±2,L) 从频域讨论与物平面相距为Z的观察平面上的光场分布

  28. ¥ n = -¥ n d å G 0 ( x ) = c n d ( x - ) H (x ) = exp( jkz ) exp( - jpl zx ) 菲涅耳衍射传递函数 2 ¥ n = -¥ 观察面 n d G (x ) = G0 (x ) H (x ) = å cnd (x - ) exp( jkz ) exp( - jpl zx 2 ) ¥ n = -¥ n n 2 d d = å cnd (x - ) exp( jkz ) exp( - jpl z ( ) ) 2 md 2 l ¥ n = -¥ n d G (x ) = å c n d (x - ( m = 1, 2 , 3, L )时 当 z = ) ex p ( jkz ) IFT 2 2 g( x0 ) = g0 ( x0 )exp( jkz) I ( x0 ) = g(x0 ) = g0 0 ) ( x 2 d 2 l z T = 为 Tab o r 距 离

  29. 三、夫琅和费衍射 2p (x02 + y02 )max l 2z 1 2l <<2p z >> (x02 + y02 )max 或 条件 衍射公式 ¥ )ò ò U0 (x0 , y0 )exp[- j -¥ 2p lz x2 + y2 2z exp( jkz) jl z U (x, y) = (x0 x + y0 y)]dx0 dy0 exp( jk x2 + y2 2z exp( jkz) jlz x y l z l z = exp( jk )F {U0 (x0 , y0 )} x = ,h = 说明： 1. 2. 3. 4. 观察平面上的场分布正比于孔径平面上出射光场分布的傅里叶变 换； 近似条件很苛刻,可以用会聚透镜实现; 能用来计算菲涅尔衍射的公式也能用来计算夫琅和费衍射,反之不能; 菲涅尔衍射传递函数表达式仍然有效

  30. 2.4 透镜的傅立叶变换特性

  31. 一、透镜的相位变换作用 1.薄透镜 透镜厚度相当薄,以至于光线经过透镜之后的出射点和其相 对应的入射点在垂直光轴方向上的位移可以忽略. 几何光学的观点: 点物成点像 波面变换的观点: 发散球面波成会聚球面波

  32. 2. 薄透镜的相位变换作用 ( ) ( )1 ,, U x yt x y ¢=透镜的复振幅透过率 U1 ( x, y )

  33. 2 2ké ù ( )x y+ 傍轴近似下 ( ) ( )1 , exp expU x y A jkp= ê ú j ë 2 p û é k 2 2 ù ë 2q û ( )x y+ ( ) ( )1 , exp expU x y A jkq¢ = - ê ú j- ( )1 ,U x y¢ t ( x, y ) = ( )1 ,U x y é k æ 1 1 öù é k 2 2 ù ( ) ( ), exp expt x y j x y= - + =ê úç ÷ ê ú ( )x y+ j+ - 2 2 2 ë 2 f û p qè ûø ë

  34. é k 2 2 ù ë 2 f û 讨论： 1. 平面波垂直入射情况: é k 2 2 ù ë 2 f û 2. 考虑透镜孔径的有限大小: ì1, î0, 透镜孔内 其他 P ( x, y ) = í 孔径函数(光瞳函数): é k 2 2 ù ë 2 f û

  35. 二、透镜的傅立叶变换特性 é k ë 2( p - d0 2 ù û () x0 0 2 )ú 1.物在透镜之前 A0t ( x0 , y0 ) exp ê j + y é k A0 exp ê j 2 ù û () x0 0y 2 )ú + ë 2( p - d0 é k ë 2 f û é k ( x0 + y0 ) ù é k ( x' - x )2 + ( y ' - y )2 ù A0 jl d0 U1 ( x' , y' ) = t ( x0 , y0 ) exp ê j ú exp ê j ú dx0 0 òò å 0 0 0 2( p - d0 ) ê 2d0 ú ë û dy êë ûú

  36. ê 2q ú ë û ' ï 2 ëq ( f - d0 ) + fd0 ù þ -¥ ë q ( f - d0 ) + fd0 û 输入平面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布的一般公式 (不考虑透镜有限孔径大小) 讨论： 1. 输入平面位于透镜前焦面 d0=f ¥ ' -¥ è f ø é ûî ï 2. 输入平面紧贴透镜 d0=0 ¥ jk - jk 0 0 dy 2q è f ø æ x 2 + y 2 ö æ x x + y y ö U ( x, y ) = c' exp ç ÷ ò ò t ( x0 , y0 ) exp ç ÷ dx0 0 è ø -¥

  37. é ë ù é k ù k 2 p ( x'2 + y'2 )ú exp ê- j ( x'2 + y '2 )ú 2。物在透镜之后 A0 exp ê j û ë 2 f û é k ( x'2 + y'2 )ù U '0 ( x0 , y0 ) = t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) A0 exp ê ú j ë 2 p û '2 '2 '2 '2 0 0 2 p 2 f ç 2d0 ÷ è 2 2 ø 1 x0 - x' + y0 - y ' dy å 0 è ø

  38. ¥ 2(q - d0 ) ø -¥ ' æ è x2 + y 2 ö æ x x + y y ö è q - d0 ø U ( x, y ) = c exp ç jk t ( x0 , y0 ) exp ç ÷ dx0 0 ÷ òò - jk 0 0 dy 输入平面位于透镜后，计算光源共轭面上场分布的一般公式 (不考虑透镜有限孔径大小) 讨论： 1。不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面 (输入面)和观察面(输出面)之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面 上的衍射场都是夫琅禾费型． 2. 输入平面紧贴透镜 d0=0 ' 2q è f ø æ x 2 + y 2 ö ¥ æ x x + y y ö U ( x, y ) = c exp ç ÷ ò ò t ( x0 , y0 ) exp ç ÷ dx0 0 - jk 0 0 jk dy è ø -¥

  39. 3。考虑孔径效应（物在透镜前，相干平行光照明）3。考虑孔径效应（物在透镜前，相干平行光照明） æ ( f - d0 ) ( x2 + y 2 ) ö ¥ æ d d ö ø U ( x, y ) = c' exp ç jk ÷ ò ò t ( x0 , y0 )P ç x0 + 0 x, y0 + 0 y ÷ ´ ç 2 f 2 ÷ -¥ è f f è ø æ x0 x + y0 y ö - jk exp ç ÷ dx0dy0 è f ø

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