习题例题 4.3.1 改为不接地 , 求球内电场 .

-q’ d 图1 点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场习题例题4.3.1 改为不接地,求球内电场. 解:已知接地情况下的解为: b (金属球壳内) 关键一：不接地情况比之接地情况的不同点在于球壳不再是零电位，而是一常数电位球。关键二：如何再用像电荷获得球壳上的常数电位，即大小、分布？

图1 点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场 错解：绝大部分人的答案：加一放在球心的+q ’。原因：球内是待求解区域，不能放像电荷。正解：球壳外表面上均匀分布电荷+q ’’。且由此电荷单独产生的电势是使整个球为等位体。所以球内任一场点的电位为：关键三：q ’’=？ =q ,YES.可根据边界条件-电位连续确定.球外的电场与在圆心的点电荷的电场是相同的.可求得球壳上的电位为: =q ’？ =q ？

y a o x 习题 4.4 解：建立坐标系如图. 由题意知,该场与z坐标无关,所以是个二维场问题。根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边界条件为

直角坐标系中方程可写为 （二维问题，与z无关）且由得上式两端同除以为实数为虚数 ◇假设待求函数有分离变量形式的解：根据边界条件的类型，选择特定形式的一般解。y坐标对应的边界条件两边相等，选择三角函数；x坐标对应的边界条件是非周期性或两边不相等，且x坐标对应的是无限区域，选择指数函数。即因此该式成立的条件：

则由边界条件于是由边界条件由边界条件得则得得得

将边界条件 令这实际上是将一已知函数展为傅里叶级数。利用傅里叶级数的系数公式得原问题的解

例题1: 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。(习题4.1) 解: 设点电荷离地面高度为h，则（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为（用极坐标）

习题4.2 设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前，试分析如何求解这一电场。解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。

原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：这种方法只能用来求第一象限的电场。 。

对于夹角为 的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的问题，只要n为整数，在区域内的镜像: 点电荷对于夹角为垂直的接地两块相连导电平面的镜像: 无限长带电线 (柱体)的情况:

习题 例题 4.3.1 改为不接地 , 求球内电场 .