Ułamki Egipskie

1. Ułamki Egipskie

2. Kilka słów o historii… Najdawniejsze matematyczne teksty pisane , znane obecnie ,zachowały się mniej więcej z początku drugiego tysiąclecia p.n.e. , głównie w Egipcie. Jeśli chodzi o matematykę Wczesnego i Starego Państwa ,to nie wiemy prawie nic. Zachowały się tylko liczbowe zapisy , a nawet rysunki na kamiennych płytach i skałach .Większa część tekstów matematycznych , które zachowały się w zabytkach starożytnego Egiptu , pisana była na papirusie. Nasze podstawowe informacje o staroegipskiej matematyce odnoszą się do jednego okresu i nie jesteśmy w stanie pokazać , jak w dawnej cywilizacji rozwijała się ona w ciągu swych dziejów. Mimo to naukowcom udało się zgłębić w tajnikach egipskich liczb . Po licznych obserwacjach zauważono , że cyfrom i liczbom przyporządkowano znaki lub symbole graficzne jak pałeczka czy zwinięty liść palmy. Przy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczające jedności , dziesiątki , setki itd. pisano tyle razy ,ile było w danej liczbie jedności w odpowiednich rzędach , przy czym rzędy pisano w porządku odwrotnym do naszego (starożytni Egipcjanie pisali od prawej do lewej ).

3. Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych , nie potrafimy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie – kiedy odkryto ułamki ??? Dorysowanie owalu nad hieroglifem, było chyba jednak początkiem ułamków . Z całą pewnością wiadomo , że najwcześniej poznanymi spośród wszystkich ułamków są połowa i ćwierć .Egipcjanie do zapisywania tych ułamków stosowali znaki indywidualne :

4. Sposób zapisywania pozostałych ułamków egipskich był bardzo prosty. Jedynkę w liczniku zapisywano za pomocą owalu, a liczbę w mianowniku przedstawiano sposobem podobnym do rzymskiego systemu zapisu liczb. Analizując poniższe przykłady bardzo łatwo zauważyć zasady ich tworzenia.

5. Świadczyć o tym może odkrycie , którego dokonała ,na terenie dzisiejszego Luxoru ,pewna europejska ekspedycja naukowa w połowie zeszłego stulecia. W ruinach starożytnych Teb, miasta będącego swego czasu stolicą Egiptu, znaleziono drogocenny papirus. Papirus ten ,zwany „PAPIRUSEM RHINDA” (od nazwiska angielskiego oficera , który nabył go na własność w 1858 roku) zawierał 84 zadania, a w 1877 roku wydano go w tłumaczeniu drukiem . Ten przeszło 5-m długości i około 30 cm szerokości, zapisany czarnym i czerwonym tuszem dokument uznany został za najstarszy dokument matematyczny świata . „Sposoby do poznania wszelkich tajemnic”, o których pisał Ahmes , zawierały wiele bardzo ciekawych informacji o matematyce egipskiej . Zadania są w nim sklasyfikowane według tematów nie metod. Jedną z najbardziej interesujących części dokumentu była część zawierająca informacje o ułamkach. Egipcjanie, ze względu na łatwość zapisywania, używali ułamków prostych. Kiedy w swych obliczeniach posługiwali się ułamkami, zawsze zakładali, że licznik jest równy jedności, natomiast mianownik ulega zmianie (tzw. ułamki alikwotne ).W ten sposób dysponowali faktycznie wszystkimi liczbami wymiernymi. Należy jednak zaznaczyć, że najważniejszym zagadnieniem, do którego sprowadza się prawie cała arytmetyka egipska, było dążenie do rozkładu ułamków na sumę różnych ułamków alikwotnych o licznikach równych jedności czyli tzw. ułamków egipskich!!!

6. Tak na przykład w papirusie Rhinda Ahmes zapisał sposobem egipskim egipską wartość liczby π = 3 + 1/13 + 1/17 + 1/173 .W dokumencie znalazły się także następujące rozkłady : 4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10 1/3 = 1/6 + 1/6 1/2 = 1/6 + 1/6 + 1/6 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 2/3 = 1/2 + 1/6 Oprócz ułamków z jedynką w liczniku , Egipcjanie używali ułamka 2/3 ,który stanowił wyjątek a przedstawiany był następująco :

7. Ułamki alikwotne typu 1/n są pierwszymi ułamkami algorytmicznymi . Dalszym etapem rozwoju liczby wymiernej było wprowadzenie do użytku tych części jako m liczb całkowitych, tzn. interpretacja ułamka m/n jako liczby całkowitej mianowanej. Nasuwa się pytanie czy zapis w postaci ułamka egipskiego był zawsze możliwy? Okazuje się, że tak. Obecnie znamy nawet twierdzenie, które mówi, że : KAZDĄ LICZBĘ WYMIERNĄ MOŻNA PRZEDSTAWIC JAKO SUMĄ RÓŻNYCH UŁAMKÓW EGIPSKICH.

8. A zaczęło się od bochenka chleba… Nie zapominajmy jednak, że sztuka matematyczna starożytnych Egipcjan rozwinęła się głównie w kierunku praktycznym, zaś głównym powodem takiej reprezentacji ułamków egipskich był optymalny sposób podzielenia bochenków chleba . Zgodnie z zapiskami w papirusie Ahmesa była to metoda zalecana do dzielenia bochenków chleba między kilka osób . Na przykład jak rozdzielić 5 bochenków między 6 osób.5/6 możemy przedstawić jako 1/2 +1/3. Innymi słowy, 5 = 6(1/2 + 1/3) = 6(1/2) + 6(1/3). W myśl metody opisanej w Papirusie Ahmesa , musimy każdy z 6(1/2) = 3 bochenków podzielić na dwie równe części i każdy z 6(1/3) = 2 bochenków na trzy równe części . W rezultacie mamy 6 połówek i 6 trzecich bochenka. Każda z sześciu osób otrzyma 1/2 i 1/3 bochenka.

9. Możliwe odpowiedzi W metodzie rozkładu na ułamki egipskie musimy dzielić bochenki chleba na równe kawałki. Jedno cięcie dzieli bochenek na dwie równe części, generalnie gdy chcemy go podzielić na q równych części wykonamy q-1 cięć. Wracając do powyższego przykładu, jeśli dzielimy 5 bochenków między 6 osób, wówczas każdy otrzyma 5/6 bochenka chleba. Do podzielenia każdego z bochenków na 6 równych części potrzeba 6-1 = 5 cięć ,więc dzieląc 5 bochenków w taki sposób otrzymujemy 25 cięć! Z drugiej strony, możemy rozwiązać ten problem za pomocą ułamków egipskich . Musimy podzielić trzy bochenki na dwie równe części (1 cięcie każdy) i dwa bochenki na trzy równe części (2 cięcia każdy) .Ostatecznie otrzymujemy 3 + 4 = 7 cięć < 25 cięć…

16. Podsumowanie Ułamki miały swoje zalety: 1. Ułatwiały wbrew pozorom dzielenie. Powiedzmy, że chcemy 5 ciasteczkami obdzielić 8 osób. Dziś zapewne podzielilibyśmy każde ciastko na 8 części i każdemu dali o 5 takich małych kawałków. Ile by przy tym było okruszków! Taki sposób podziału jest logiczną konsekwencją zapisu 5/8. Starożytny Egipcjanin ułamek ten zapisałby (zgodnie z papirusem Ahmesa) jako 1/2 +1/8, a zatem podzieliłby on 4 ciasteczka na połowy a jedno tylko na 8 kawałków i każdemu dałby oczywiście jedną połówkę i jeszcze jedną ósmą część. Proste, efektywne i okruszków mniej 2. Ułatwiały porównywanie ułamków. Co jest większe 3/4, czy 4/5? My sprowadzilibyśmy oba ułamki do wspólnego mianownika i porównali liczniki. Dla Egipcjan 3/4 to pół i ćwierć, a 4/5 to pół, ćwierć i jeszcze 1/5. Oczywiste jest to który ułamek jest większy i od razu wiadomo o ile. Istnieje też wiele bardziej rozbudowanych problemów dotyczących ułamków egipskich, a nierozwiązanych do tej pory. Np. nie udało się rozstrzygnąć, czy każdy ułamek postaci 4/n można przedstawić jako sumę trzech ułamków egipskich. Problem ten nosi nazwę problemu Erdosa-Straussa. Pokazano dotąd, że jest to prawda dla liczb naturalnych mniejszych od

17. Projekt wykonały: Anna Owczarczyk Anna Sieradzka Aneta Słomska