轨迹方程的求法

轨迹方程的求法 澄衷高级中学王文颐

解析几何要解决的基本问题是： （1）已知曲线的性质，求曲线的程；（2）已知曲线的方程，研究曲线的性质。

求动点的轨迹方程的常用方法 • 直接法:根据动点所满足的几何条件,直接写出其坐标所满足的代数方程. • 代入法(也称相关点法): 所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点Mo的运动,将Mo的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程即为所求. • 定义法:若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程.

Y P A B X O 例1．由动点P向圆x2+y2=1引切线PA，PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程。并指出方程所表示的曲线。解：根据切线的性质，由圆外一点向圆所作的两条切线的切线长相等。 OP平分∠APB， ∴∠APO=30° AO=1 ，PO=2。

P到定点O的距离等于定长2。 ∴P点的轨迹方程是： x2+y2=4 P点的轨迹是圆。

解：设P（x，y)， 则P到直线x+y=6距离的平方d2= Y P X O 围成矩形的面积为S= 例2 动点P到直线x+y=6的距离的平方等于两坐标轴与点P到两坐标轴的垂线所围成的矩形的面积，求P点的轨迹。

= P点的轨迹方程为：（x-6)2+(y-6)2=36 (xy≥0) x2+y2+4xy-12x-12y+36=0(xy<0) 当xy≥0时，方程为（x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-12y+36=0

Y A M H X O Q 例3.过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线ℓ，M为ℓ上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，当点M在直线ℓ上移动时，求△MAQ的垂心H的轨迹方程。

解：H是三角形AMQ的垂心 ∴QH⊥AM，OA⊥AM，∴QH∥OA 同理AH∥OQ，∴AOQH为平行四边形又∵AO=OQ，∴AOQH为菱形。设H（x，y），Q(xo，yo) xo=x，yo=y-2，Q(xo，yo)在圆O上。即H的轨迹方程为x2+(y-2)2=4。（x≠0）

Y A X P O B 例4 已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

解：设P（x，y)，B(xo，yo)，P分线段AB的比 =AP∶PB=2 解得：代入抛物线方程得P点轨迹方程为：分析：已知A（3，1），B在抛物线上，P为AB的定比分点，所以，P点的坐标可以由B点的坐标表示。

C 分析：连CO，可知 CO2=BO2+CB2 CB=AB CO2=BO2+AB2 Y B X O A 即C点的轨迹方程为： x2+y2=5 练习1：设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.

Y B R A X O P 练习2：已知P（4，0）是圆x2+y2=36内一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求AB中点R的轨迹方程；

解：连OR、PR，AB是圆的弦，∴OR⊥AB。 △ABP是Rt△，R是AB中点,∴PR= AB， OR2+（ AB)2=OA2，即OR2+PR2=OA2 设R（x,y） x2+y2+(x-4)2+y2=36, 化简后得：（x-2）2+y2=14。 ∴AB中点R的轨迹方程是（x-2）2+y2=14

俯视照： 杀手照片：正面照：

杀手成长史

思考：某海滨城市附近海面有一台风，据 监测，当前台风中心位于城市O的东偏南（ = arccos ) 的方向300km的海面 P处，并以每小时20km的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，目前半径为60km，并以每小时10km的速度扩大。问几小时后该城市开始受到影响？

O 45º P

解：以O为原点，正东方向为x轴正方向建立坐标系。解：以O为原点，正东方向为x轴正方向建立坐标系。在时刻t(h)，台风中心P(m，n)的坐标为：台风侵袭区域为(x-m)2+(y-n)2≤（r(t))2 r(t)=60+60t

若在时刻t，O城受到侵袭， 则（0-m)2+(0-n)2≤（10t+60)2 化简后得： T2-36t+288 ≤0 12 ≤t ≤24 O城在12小时后将受到影响

注意 1.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来限制),不足的点要补充. 2.轨迹是指动点移动形成的曲线形状，轨迹方程表示该曲线的方程。在解题时注意区别。

轨迹方程的求法

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