1. 刚体运动学

1. 1. 刚体运动学 1.1 刚体的平动和转动 (1)刚体、刚体的平动 刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小不变，理想化的模型。 (2)刚体的平动 刚体内任何一条给定的直线,在运动中始终保持它的方向不变。 各质点具有相同的速度和加速度，所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体的运动。 刚体的平动时可看成质点。

2. 转轴 P 参考方向 (3)刚体的转动 刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动. 转轴固定不动,称为定轴转动. (4)转动运动学的物理量 转动平面：任取一垂直于转轴的平面 P为刚体上一质点，在转动平面内绕0点作圆周运动。 dt d 再任取一点K，在同一个dt内，也转过同样的d角。 0 K d 所以：刚体中任何其它质点都具有相同的，，

3. 即(，，)三量具有普遍性。知一点的(，，)，可知整个刚体的运动。即(，，)三量具有普遍性。知一点的(，，)，可知整个刚体的运动。 故用(,,）描写刚体的转动。 所以：定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的，，

4. 1.2 角速度矢量 转轴 P 0

5. 例：一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速运动, ( 沿z轴正方向)，设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为： （单位为“10-2m”），若以“10-2ms-1”为单位，则该时刻P点的速度为： 解： 还可解行列式

6. 0 r O 刚体运动学综合例题: 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t =50s后静止。 (1)求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； (2)求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ； 解(1)初角速度为0 =21500/60=50 rad/s，方向如图 对于匀变速转动，应用以角量表示的运动方程， 在t=50s时刻 =0，代入方程=0+t 得 (2)t=25s时飞轮的角速度为 从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N分别为 的方向与0相同；

7. 讨论 对轴的角动量和对轴的力矩, 矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或 力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。 P63 Lz：质点对z轴的角动量 Mz：质点对z轴的力矩

8. 转轴 转动平面 求力对z 轴的力矩Mz的(教材)简化步骤： 第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点垂直转轴的平面，即过质点的xy平面） 第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量, 第3步，算出力对z轴的力矩. 结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩

9.  p 0 2 转动定理 转动惯量（刚体动力学） 2.1力对转轴的力矩. (1)外力在垂直于转轴的平面内。 如果：

10. 转轴 0 转动平面 (2) 外力不在垂直于转轴的平面内 P63 结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩。 P

11. O i 2.2 转动定理 合内力矩=0 合外力矩M

12. 合外力矩M 合内力矩=0 M=I—转动定理 定轴转动定理（律）在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律

13. 讨论 例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上， 如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． 答案：( ) D 参考解答：在应用转动定律M=I 时应注意M是合外力矩，是外力力矩之和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。 例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。 答:并不是一定为零。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不为零。

14. 2.3 转动惯量的计算 按转动惯量的定义有 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式 r—质元到转轴的距离 dm—质元的质量 平动：一维直线运动 类比： 转动：定轴转动 质量是平动中惯性大小的量度。 转动惯量是转动中惯性大小的量度。

15. 注意：转动惯量与质量有关，与运动速度无关。注意：转动惯量与质量有关，与运动速度无关。 质量一定时,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。 转动惯量计算： m 例： 三个质点m组成一个正三角形刚体结构。求IA、I0 。 d d 0 A m m d 叠加原理 与转轴的位置有关。

16. dx 质量连续分布： 例：细棒质量m,均匀分布,长l x dx 0 x (1) 转轴过中心,与棒垂直. 转动惯量与转轴的位置有关 取dx： (2) 转轴过顶端,与棒垂直 x 0 取dx：

17. 质心C 2 1 m，R 平行轴定理： d两平行轴之间的距离。 例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求I0。 取半径为r，宽为dr的圆环 dr r r 0

18. 例：如图所示,滑轮质量m,半径R(注意:在中学里 一般滑轮质量略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。  T1 a m1g T2 a 又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向加速度R,和物体的加速度相等. （ m2 m1 ）

19. 0 d dr e 例: 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？ 解：由于摩擦力不是集中作用于某一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，其力矩的计算要用积分法。 如图，把圆盘分成许多如图的质元，每个质元的质量为dm， dm=dV=rddre，(e是盘的厚度) 所受到的阻力矩dM=rdmg。 质元 阻力矩向下，与0方向相反！ 圆盘所受阻力矩

20.  r e 质元 也可以把圆盘分成许多圆环形质元，每个质元的质量dm=dV=2rdre，所受到的阻力矩是rdmg。 因m=eR2，代入得 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度. 设圆盘经过时间t停止转动，则有 由此求得：

21. r a dS b r 0 例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为0，转动时受到空气的阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m． 解 在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度 为dr的面积元，其面积为dS = bdr 当板的角速度时，面积元的速率为v=r 所受的阻力为 df = kv2dS= k2r2bdr， 阻力产生的力矩为 dM = rdf = k2r3bdr， 因此合力矩为 注意： 其角加速度为 不成立！？ 负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反.

22. 由于= d/dt，可得转动的微分方程 分离变量得 积分得 当t = 0时，= 0，所以C = -1/0，因此得： 当= 0/2时，解得时间为 ：

23. Z O 3.1 刚体的转动动能 3 刚体的动能与势能 整个刚体的转动动能等于各质点动能之和。 刚体的转动动能

24. Z P i i d 0 P 3.2 定轴转动的动能定理 (1)力矩的功 外力矩 刚体从角位移1—2时， 外力矩M所作的功。

25. (2)定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于其转动动能的增量。

26. . C A 0 光滑轴 . C mg 例：如图：均匀细棒（m、l），水平开始下摆，到竖直位置时，中心点C和端点A的速度各为多少？ 解：当棒摆到如图所示位置时， 任取一中间过程 下摆d， 再问：水平位置和竖直位置棒的角加速度各为多少?

27. m h(y) 3.3 刚体的重力势能 . c 0 x 刚体势能的计算:把刚体的质量看成集中于质心,计算质心势能即可.

28. 3.4 刚体系统的功能原理 A外力+A非保守内力=（Ek2 +Ep2 ）–（Ek1 +Ep1） 系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量功能原理 3.5 机械能守恒定律 系统机械能守恒. 平动动能+转动动能+重力势能+弹性势能=恒量 如上例：棒定轴转动，只有保守力(重力)作功，机械能守恒。 水平，机械能：mgh（注意势能零点的选择） 机械能守恒： 竖直，机械能：

29. m1 R O h m2 例: 质量m1，半径为R 的定滑轮（当作均质圆盘）上绕一轻绳，绳的一端固定在滑轮上，另一端挂一质量为m2的物体而下垂，如图所示。忽略轴处摩擦，求物体m2由静止下落h高度时的速度。 解 将滑轮、物体、绳和地球视为一个系统，根据机械能守恒定律

30. 4.4 刚体角动量和角动量守恒定律 1. 刚体的角动量 刚体为特殊质点系，质点系对轴线的角动量定理（2.43） 可直接应用于刚体，略去下标z，写成 刚体所受对某给定轴 的合外力矩等于刚体对该轴 的角动量对时间的变化率。 P63

31. 2.角动量(动量矩)定理 设想:角动量定理: 动量定理:

32. 3. 角动量守恒定律 刚体所受的合外力矩等于零时,刚体的角动量保持不变.

33. . 平面 0 问题：公式（3）的物理意义？ 解: 小球：动量定理(向上为正)： 例：如图所示,球—棒,完全弹性碰撞.求小球的回跳速度v, 棒的角速度 。 细棒：角动量定理(方向以为正)： 球,棒系统,弹性碰撞,动能守恒： 另解:棒球系统,碰撞过程角动量守恒.

34. A l . P v m B 例：均匀细杆长L质量M ,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l,求枪弹射入之前的速度v. 解:完全非弹性碰撞,外力:重力,轴的支承力,对转轴的力矩为零,角动量守恒. 碰后瞬间：设棒和枪弹开始一起运动时的角速度为 叠加原理 角动量守恒： 常见错误：

35. A rc l . C h 零势能点 . C . P v m B 例：均匀细杆长L质量M ,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l,求枪弹射入之前的速度v. 此后，棒和枪弹一起以运动，机械能守恒。 枪弹射入后,棒和枪弹系统的质心位置rc： 竖直，机械能： 最大偏转角处,机械能：

36. A A B B C C A   例:工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为IA=10kgm2，B的转动惯量为IB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？

37. A B A B C C    解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得 为两轮啮合后共同转动的角速度 以各量的数值代入得 或共同转速为 在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为

38. A O R1 B R2 例: 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？ 解 圆轮A对B的压力为N = M1g， 两轮之间的摩擦力大小为f = N = M1g， 摩擦力对A的力矩大小为MA = fR1= M1gR1， 摩擦力对B的力矩大小为MB = fR2 = M1gR2 设A和B的角加速度大小分别为A和B，转动惯量分别为IA和IB，根据转动定律得方程 MA = IA A，即A = MA /IA． 同理可得B = MB/IB． 当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v， A的角速度为A = v/R1， B的角速度为B = v/R2． A – = – At， B = Bt， 根据转动运动学的公式得 得R1= (R1A+ R2B)t

39. O A R1 B R2 解得 问题：能用角动量守恒定律解答？ [注意]在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律． 经过的时间为

40. 位置矢量 角 位 置 角 位 移 角 速 度 角加速度 位 移 速 度 加 速 度 转动惯量 力 矩 转动定律 转动动能 质 量 力 牛顿定律 动 能 平动与转动的对应关系 角 量 线 量

41. 平动与转动的对应关系(续前) 平 动 定 轴 转 动 动量 角动量 角动量定理 动量定理 角动量守恒定律 动量守恒定律 动能定理 动能定理 机 械 能 守 恒 定 律 本章结束