第 7 週目： 周波数伝達関数とボード線図

1. 1/16 • 周波数伝達関数 • ボード線図 第7週目：　周波数伝達関数とボード線図 TUT, System & Control laboratory

2. 2/16 今週の大きな目的 　　周波数伝達関数，ボード線図について学ぶ．周波数伝達関数から正弦波入力を与えたときの定常状態での出力を求めることができる．ボード線図は制御系を設計する際に利用する．今週の授業内容は，制御系の応答を確認する際や制御系を設計する際に重要なものである． • 周波数伝達関数を学ぶ • ボード線図の概念を学ぶ • 積分要素のボード線図を学ぶ • 微分要素のボード線図を学ぶ • １次遅れ要素のボード線図を学ぶ • ２次遅れ要素のボード線図を学ぶ • むだ時間要素のボード線図を学ぶ 今週の授業の目的 TUT, System & Control laboratory

3. 3/16 伝達関数G(s)で表される安定なシステムに，周波数w0の正弦波入力 を加えると，十分長い時間がたった後，すなわち，定常状態において出力は， 周波数伝達関数（１） となる．このように，出力は入力と同じ周波数w0をもつ正弦波になる．ただし，その振幅は|G(jw0)|倍され，位相は∠G(jw0)だけ遅れる．|G(jw0)|を周波数w0におけるゲイン，∠G(jw0)を位相角と呼ぶ． w0をさまざまな値に変化させたときの入力u(t)と，出力y(t)の伝達関数G(s) (0<w<∞)を周波数伝達関数，あるいは周波数応答と呼ぶ．これは伝達関数G(s)においてs=jwとおいて得られるものである．|G(jw)|をゲイン特性，∠G(jw)を位相特性と呼ぶ． TUT, System & Control laboratory

4. 4/16 例１：周波数1Hzの正弦波入力で，ゲインは0.5，位相角は0degの出力波形 例２：周波数1Hzの正弦波入力で，ゲインは１，位相角は180degの出力波形 周波数伝達関数（２） 例１ 例２ 位相角180[deg] 位相角0[deg] ゲイン：１ ゲイン：0.5 t t u(t) y(t) u(t) y(t) TUT, System & Control laboratory

5. 5/16 ここで入力u(t)から出力y(t)を導出しておく．入力u(t)，出力y(t)のラプラス変換をそれぞれU(s)，Y(s)とおく．定常状態を考えると， 周波数伝達関数（３） が得られる．ただし， である． TUT, System & Control laboratory

6. 6/16 G(jw0)とG(-jw0)が，互いに共役な複素数であることに注意すれば， 周波数伝達関数（４） となる． TUT, System & Control laboratory

7. 7/16 逆ラプラス変換すれば， 周波数伝達関数（５） ここで下記の公式を用いると，出力y(t)が得られる． ただし，以下の関係を用いる． TUT, System & Control laboratory

8. 8/16 例：1+s s=jwと代入したとき，実部と虚部は，Re[G(jw)]=1，Im[G(jw)]=wとなる．このとき，先の公式から， 周波数伝達関数（６） の関係を得る． w=0.01のとき w=1のとき w=10のとき 定常状態の出力は，このように明らかにできる．また，これらの関係をグラフで表わしたものをボード線図と呼び，続けて説明する． TUT, System & Control laboratory

9. 9/16 周波数伝達関数G(jw)のゲイン特性|G(jw)|と位相特性∠G(jw)を，周波数wの関数として別々のグラフに図示したものをボード線図という．横軸に角周波数wを対数目盛でとり，縦軸にゲインの対数量g(w)=20log10|G(jw)| dBで表わしたものをゲイン曲線，また，別のグラフに縦軸に位相角をf(w)=∠G(jw) degとして表わしたものを位相曲線と呼ぶ．ボード線図は，広い範囲で詳細な特性を表わすことができることから，フィードバック制御系の解析や設計において広く用いられている． 積分要素，微分要素，１次遅れ要素，２次遅れ要素，むだ時間要素のゲイン特性と位相特性の式，ボード線図を説明する．また，次回予定でボード線図の折線近似，１次遅れ要素，２次遅れ要素のパラメータによるボード線図の違いや応答の違いを紹介する． ボード線図 TUT, System & Control laboratory

10. 10/16 積分要素G(s)=1/sに対してs=jwとおくことで，周波数伝達関数は， となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． ボード線図（積分要素） つまり，ゲインはw=1のとき0であり，wが10倍されるとき20dBだけ減少する．通常，ゲイン特性の直線の傾きを表わすために，[dB/dec]という単位を用いる．よって，積分要素のゲイン特性の傾きは-20dB/decである．一方，位相は全体にわたって-90degである． -20dB/dec -90[deg] TUT, System & Control laboratory

11. 11/16 積分要素G(s)=sに対してs=jwとおくことで，周波数伝達関数は， となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． ボード線図（微分要素） つまり，ゲインはw=1のとき0であり，傾きは20dB/decである．また，位相は全体にわたって90degである． 20dB/dec 90[deg] TUT, System & Control laboratory

12. 12/16 １次遅れ要素G(s)=1/(1+Ts)に対する周波数伝達関数は， となる．Tを時定数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． ボード線図（１次遅れ要素） T =1 -20dB/dec wT<<1のときは，ゲインは0であり，wに関係なく一定値となる．逆にwT>>1のときには，g(w)=-20log10(wT)となり，傾きは-20dB/decである．また，位相角はw→0のとき0degとなり， w→∞のとき-90degである． wT =1のとき-45degとなる． TUT, System & Control laboratory

13. 13/16 ２次遅れ要素G(s)=wn2/(s2+2zwn+wn2)に対する周波数伝達関数は， ボード線図（２次遅れ要素）（１） となる．wnを固有角周波数，zを減衰係数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． wn =1, z=1 -40dB/dec 周波数が増加するにつれて，ゲイン曲線は0dBの直線から-40dB/decの傾きに，位相曲線は0degから-180degに変化する． TUT, System & Control laboratory

14. 14/16 減衰係数zの変化に対するボード線図を下記に示す．減衰係数が小さいとき固有角周波数のゲインにピークが現れる． -40dB/dec ボード線図（２次遅れ要素）（２） ２次遅れ要素の例として，自動車のショックアブソーバがある（２回目，３回目資料参照）．分子の係数は異なるがゲイン曲線の形状は同じであることに注意する． 自動車が走行する道路として，①細かいでこぼこ道と②ゆっくりとしたでこぼこ道を考える．でこぼこ道から受ける力は外乱f=sinwtと考えることができ，①はwが大きいことに，②はwが小さいことに対応する．zが小さく，f(t)にw=wnの成分が含まれると，その成分の振動が増幅されるため，乗り心地が悪くなってしまう．そこで，自動車の振動をやわらげるためには，車体重量に合わせて，バネ，ダンパ係数を調整して，ゲイン特性に現れるピークを抑える必要がある．方法としては，望ましいバネ，ダンパ係数を持つアブソーバを使う方法（パッシブ制御）のほか，路面の状況に合わせて，バネ，ダンパ係数を油圧や空気圧の力によって変化させる方法（アクティブ制御）などがある． TUT, System & Control laboratory

15. 15/16 むだ時間Lのむだ時間要素G(s)=e-sLにする周波数伝達関数は， となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． ボード線図（むだ時間要素） L =1 L=1とした場合のボード線図を示す．ゲインは常に0dBであり，位相はwに比例して遅れる． TUT, System & Control laboratory

16. 16/16 下記のシステムにu(t) =asinwt の入力を加えたときの時間応答y(t) を求めよ． 課題 TUT, System & Control laboratory