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Generación de números aleatorios

Generación de números aleatorios. Programa de doctorado en Biometría y Estadística Simulación numérica de modelos estocásticos. Contenido:. ¿Qué entendemos por secuencia de números aleatorios? Cómo se generan n. aleatorios Generadores congruenciales lineales Propiedades de los GCL

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Presentation Transcript

  1. Generación de números aleatorios Programa de doctorado en Biometría y Estadística Simulación numérica de modelos estocásticos Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  2. Contenido: • ¿Qué entendemos por secuencia de números aleatorios? • Cómo se generan n. aleatorios • Generadores congruenciales lineales • Propiedades de los GCL • Otros tipos de generadores • De Tausworthe (“feedback shift register”) • “Barajados” (??) (“shuffled”) Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  3. ¿Qué entendemos por secuencia de números aleatorios? • En teoría, realización de secuencia de v.a. R1, R2, ..., Rn, ... iid, Ri U(0,1) • En la práctica criterios menos estrictos: • n-distributividad: todas las n-tuplas {(Ri, Ri+1 ..., Ri+n-1)} uniformes sobre (0,1)n • (k,n)-distributividad: cada k-ésima subsecuencia de longitud n uniforme (0,1)n • p.e. (5,2) seria {(R5i,R5i+1)}, {(R5i+1,R5i+2)}, {(R5i+2,R5i+3)}, {(R5i+3,R5i+4)}, {(R5i+4,R5i+5)} uniformes sobre (0,1)x(0,1) Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  4. Cómo se generan n. aleatorios • Dispositivos físicos “aleatorios” (ruletas, contadores de rayos cósmicos, ...) • ± auténticamente aleatorios • no repetible, difícil conexión con programas • Algoritmo recursivo (determinista) • repetible (total control sobre la secuencia generada), informáticamente “natural” • “pseudoaleatorio”, limitaciones intrínsecas a aleatoriedad: ciclos, autocorrelación, ... Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  5. Generadores congruenciales lineales (GCL) • Producen secuencia de enteros no negativos {Xi}, 0 £Xi < m-1, a partir de semilla inicial X0, mediante multiplicador módulo incremento Y secuencia de “números aleatorios” mediante Ri = Xi/m, RiÎ[0,1) Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  6. Propiedades de los GCL • A pesar de sus limitaciones son los más usados (y mejor conocidos): • Período: menor entero k tal que Xk=X0 (¡y la secuencia se repite!). Siempre k£m. • Período completo sii k = m. Condición necesaria y suficiente (Hull y Dobell): • c primo respecto de m • (a-1) múltiplo de q, para todo factor primo q de m • (a-1) múltiplo de 4, si m lo es Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  7. GCL mixtos (c > 0) • Ordenadores binarios: si m = 2b,mod es simple desplazamiento de bits. Si 32 bits: m = 231 o m = 232 (período alcanzable  4,29·109), (16 bits período alcanzable 215=32767 o 216=65534) • En este caso período completo si c impar y (a-1) múltiplo de 4. Pega: período de los últimos d bits también del orden de 2d Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  8. GCL multiplicativos (c = 0) • 1ª condición de Hull y Dobell imposible de cumplir nunca período completo. • Recomendable m primo. Si a es un elemento primitivo módulo (EPM) m  período igual a m-1 (Knuth) • Escoger m primo lo más grande posible (cerca de 2b, b núm. bits) y a EPM m • m primo y m = 2h-1 (primo de Mersene)  mod eficiente (ideal h=b) Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  9. Los tres tipos de GCL en el software actual • Información escasa, en general: Tipo A: mixtos de período completo, m = 2b, a-1 múltiplo de 4, c impar (NAG?) Tipo B: multiplicativos de período máximo dado m (es decir, período m-1), m primo, a elemento primitivo modulo m (Simpscript II) Tipo C: multiplicativos, m=2b, a-5 múltiplo de 8, período = m/4. Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  10. Propiedades estadísticas calculables teóricamente Autocorrelación: solamente algunas cotas, complicadas y no muy útiles. Estructuras de mayor orden (n-distributividad) propiedades en general muy malas en este tipo de generadores, especialmente para pocos bits. Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  11. Otros tipos de generadores • Generador lineal congruencial general No hay repetición hasta que Potencialmente, período máximo mp-1. p=2, a1=a2=1: de Fibonacci (muy malos) Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  12. Generadores de Tausworthe. I • Caso de generador lineal congruencial general con m primo. Período máximo si xp - a1xp-1 ... -ap es un polinomio primitivo módulo m • Tausworthe: si m=2: secuencia de bits, ai = 0 ó 1. Suelen emplearse trinomiales de forma xp + xq + 1, p > q recurrencia: Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  13. Generadores de Tausworthe. II • Posteriormente estos bits agrupados en enteros de longitud L (Lp), según bits por entero deseados. Q bits de espacio para siguiente entero (QL). • Más independientes de la máquina • Propiedades estadísticas de primer y segundo orden y n-distributividad mucho mejores que en congruenciales. Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

  14. Otros métodos • “Shuffled”: propuestos diversos algoritmos para “barajar” de alguna manera la salida de otro generador. • Otra posibilidad es combinar generadores, p.e. mediante xor • Se puede demostrar que si Xi e Yi son aleatorias, Zi = XixorYi también lo es • Poco conocidos teóricamente, principal ventaja parece mejor n-distributividad Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

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