均值不等式的应用

x S y 均值不等式的应用

复习回顾： 均值不等式：当a>0,b>0有（当且仅当a=b时等号成立）已知都是正数 1如果积是定值, 那么当时和有最小值（） 2如果和是定值，那么当时积有最大值　（）注意：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值） 2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”

例１、求证：对于任意正实数a，b，有 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 证明：

例２、已知为正实数，求证： ∵ 以上三式相加： ∴ ∴ 证：　

例３、已知，求： （１）当时，求的最大值（２）当时，求的最小值（２）∵ ∴ 即（１）∵ 而而 ∴ 　∴ 　即 ∴ ∴ 的最小值为４ ∴ 的最大值为２５解：

例４（１）用一根长为３２cm的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各例４（１）用一根长为３２cm的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？（２）为了围成一个面积为３６cm２的矩形小框，至少要用多少的铁丝？解：（１）设矩形的长于宽分别为xcm，ycm，面积为Ｓcm２则x＋y＝１６，Ｓ＝xy 所以当且仅当x=y=8时，Ｓ有最大值为64 答：矩形的长与宽都等于8cm时，面积最大，达到64cm２。（2）设矩形的长于宽分别为xcm，ycm，则xy=36 所以当且仅当x=y=6时，x+y有最小值12，即2（x+y）的最小值为24 答：至少要用24cm长的铁丝。

例5、已知，求 的最小值，并求相应x的值。解：∵ ∴ ∴ 当且仅当即x=0时取到最小值为1 练习：已知，求的最小值，并求相应的x的值。

已知都是正数 1如果积是定值，那么当时和有最小值注意：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值） 2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等” （）（） 2如果和是定值，那么当时积有最大值作业：P55 1，2

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